2020年中考数学选择填空压轴题汇编最值问题含解析

2020年中考数学选择填空压轴题汇编：
最值问题
1.（2020•广东）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待
与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC ＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，E为MN的中点，点D到BA，BC 的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为2√5−2 ．
【解答】解：如图，连接BE，BD．
由题意BD=√22+42=2√5，
∵∠MBN＝90°，MN＝4，EM＝NE，
MN＝2，
∴BE=1
2
∴点E的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的弧，
∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小，
∴DE的最小值为2√5−2．
故答案为2√5−2．
2.（2020•玉林）把二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y
＝﹣a（x﹣1）2+4a，若（m﹣1）a+b+c≤0，则m的最大值是（）
A．﹣4 B．0 C．2 D．6
【解答】解：∵把二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y ＝﹣a（x﹣1）2+4a，
∴原二次函数的顶点为（1，﹣4a），
∴原二次函数为y＝a（x﹣1）2﹣4a＝ax2﹣2ax﹣3a，
∴b＝﹣2a，c＝﹣3a，
∵（m﹣1）a+b+c≤0，
∴（m﹣1）a﹣2a﹣3a≤0，
∵a＞0，
∴m﹣1﹣2﹣3≤0，即m≤6，
∴m的最大值为6，
故选：D．
̂于点D，点E为半径OB上一动3.（2020•河南）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交BB
点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为6√2+B
．
3
【解答】解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，
此时E′C+E′C最小，即：E′C+E′C＝CD′，由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，∴∠COD′＝90°，
∴CD′=√BB2+BB′2=√22+22=2√2，
BB
̂的长l=30B×2
180=B
3
，
∴阴影部分周长的最小值为2√2+B
3=6√2+B
3
．
故答案为：6√2+B
3
．
4.（2020•鄂州）如图，已知直线y=−√3x+4与x、y轴交于A、B两点，⊙O的半径为1，P为AB上一动点，
PQ切⊙O于Q点．当线段PQ长取最小值时，直线PQ交y轴于M点，a为过点M的一条直线，则点P到直线a的距离的最大值为2√3．
【解答】解：如图，
在直线y=−√3x+4上，x＝0时，y＝4，
当y＝0时，x=4√3
3
，
∴OB＝4，OA=4√3
3
，
∴tan∠OBA=BB
BB =√3
3
，
∴∠OBA＝30°，
由PQ切⊙O于Q点可知：OQ⊥PQ，
∴PQ=√BB2−BB2，
由于OQ＝1，
因此当OP最小时PQ长取最小值，此时OP⊥AB，
∴OP=1
2
OB＝2，
此时PQ=√22−12=√3，
BP=√42−22=2√3，
∴OQ=1
2
OP，即∠OPQ＝30°，
若使点P到直线a的距离最大，
则最大值为PM，且M位于x轴下方，
过点P作PE⊥y轴于点E，
BP=√3，
∴EP=1
2
∴BE=√(2√3)2−(√3)2=3，
∴OE＝4﹣3＝1，
OP，
∵OE=1
2
∴∠OPE＝30°，
∴∠EPM＝30°+30°＝60°，
即∠EMP＝30°，
∴PM＝2EP＝2√3．
故答案为：2√3．
5.（2020•荆门）在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B
（0，4），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为（）
A．2√5B．2√10C．6√2D．3√5
【解答】解：设C（m，0），
∵CD＝2，
∴D（m+2，0），
∵A（0，2），B（0，4），
∴AC+BD=√B2+22+√(B+2)2+42，
∴要求AC+BD的最小值，相当于在x轴上找一点P（m，0），使得点P到M（0，2）和N（﹣2，4）的距离和最小，（PM+PN=√B2+22+√(B+2)2+42），
如图1中，作点M关于原点O的对称点Q，连接NQ交x轴于P′，连接MP′，此时P′M+P′N的值最小，
∵N（﹣2，4），Q（0，﹣2）
P′M+P′N的最小值＝P′N+P′M＝P′N+P′Q＝NQ=√22+62=2√10，
∴AC+BD的最小值为2√10．
故选：B．
6.（2020•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O
x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为上一动点，点C为弦AB的中点，直线y=3
4
2 ．
【解答】解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．
∵AC＝CB，AM＝OM，
OB＝1，
∴MC=1
2
∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．
x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，
∵直线y=3
4
∴D（4，0），E（0，﹣3），
∴OD＝4，OE＝3，
∴DE=√32+42=5，
∵∠MDN＝∠ODE，∠MND＝∠DOE，
∴△DNM∽△DOE，
∴BB
BB =BB
BB
，
∴BB
3=3
5
，
∴MN=9
5
，
当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小，最小值=1
2×5×（9
5
−1）＝2，
故答案为2．
7.（2020•徐州）在△ABC中，若AB＝6，∠ACB＝45°．则△ABC的面积的最大值为9√2+9 ．
【解答】解：作△ABC的外接圆⊙O，过C作CM⊥AB于M，
∵弦AB已确定，
∴要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可，
如图所示，当CM过圆心O时，CM最大，
∵CM⊥AB，CM过O，
∴AM＝BM（垂径定理），
∴AC＝BC，
∵∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，
∴OM＝AM=1
2AB=1
2
×6=3，
∴OA=√BB2+BB2=3√2，∴CM＝OC+OM＝3√2+3，
∴S△ABC=1
2AB•CM=1
2
×6×（3√2+3）＝9√2+9．
故答案为：9√2+9．
8.（2020•扬州）如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝10，BC＝8，点E为边AB上的一个动点，连接ED并
延长至点F，使得DF=1
4
DE，以EC、EF为邻边构造▱EFGC，连接EG，则EG的最小值为9√3．
【解答】解：作CH⊥AB于点H，
∵在▱ABCD中，∠B＝60°，BC＝8，
∴CH＝4√3，
∵四边形ECGF是平行四边形，
∴EF∥CG，
∴△EOD∽△GOC，
∴BB
BB =BB
BB
=BB
BB
，
∵DF=1
4
DE，
∴BB
BB =4
5
，
∴BB
BB =4
5
，
∴BB
BB =4
5
，
∴当EO取得最小值时，EG即可取得最小值，
当EO⊥CD时，EO取得最小值，
∴CH＝EO，
∴EO＝4√3，
∴GO＝5√3，
∴EG的最小值是9√3，
故答案为：9√3．
9.（2020•聊城）如图，在直角坐标系中，点A（1，1），B（3，3）是第一象限角平分线上的两点，点C的
纵坐标为1，且CA＝CB，在y轴上取一点D，连接AC，BC，AD，BD，使得四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值为4+2√5．
【解答】解：∵点A（1，1），点C的纵坐标为1，
∴AC∥x轴，
∴∠BAC＝45°，
∵CA＝CB，
∴∠ABC＝∠BAC＝45°，
∴∠C＝90°，
∵B（3，3）
∴C（3，1），
∴AC＝BC＝2，
作B关于y轴的对称点E，
连接AE交y轴于D，
则此时，四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值＝AC+BC+AE，过E作EF⊥AC交CA的延长线于F，
则EF＝BC＝2，AF＝6﹣2＝4，
∴AE=√2+2=√22+42=2√5，
∴最小周长的值＝AC+BC+AE＝4+2√5，
故答案为：4+2√5．
10.（2020•泰安）如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点
M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）
A．√2+1 B．√2+1
2C．2√2+1 D．2√2−1
2
【解答】解：如图，
∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，∴C在⊙B的圆上，且半径为1，
取OD＝OA＝2，连接CD，
∵AM＝CM，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM=1
2
CD，
当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，
∴BD＝2√2，
∴CD＝2√2+1，
∴OM=1
2CD=√2+1
2
，即OM的最大值为√2+1
2
；
故选：B．
11.（2020•乐山）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x与双曲线y=B
B
交于A、B两点，P是以点C（2，2）为圆心，半径长1的圆上一动点，连结AP，Q为AP的中点．若线段OQ长度的最大值为2，则k的值为（）
A．−1
2B．−3
2
C．﹣2 D．−1
4
【解答】解：点O是AB的中点，则OQ是△ABP的中位线，
当B、C、P三点共线时，PB最大，则OQ=1
2
BP最大，
而OQ的最大值为2，故BP的最大值为4，
则BC＝BP﹣PC＝4﹣1＝3，
设点B（m，﹣m），则（m﹣2）2+（﹣m﹣2）2＝32，
解得：m2=1
2
，
∴k＝m（﹣m）=−1
2
，
故选：A．
12.（2020•内江）如图，在矩形ABCD中，BC＝10，∠ABD＝30°，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个
动点，则AM+MN的最小值为15 ．
【解答】解：作点A关于BD的对称点A′，连接MA′，BA′，过点A′H⊥AB于H．
∵BA＝BA′，∠ABD＝∠DBA′＝30°，
∴∠ABA′＝60°，
∴△ABA′是等边三角形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝10，
=10√3，
在Rt△ABD中，AB=BB
BBB30°
∵A′H⊥AB，
∴AH＝HB＝5√3，
∴A′H=√3AH＝15，
∵AM+MN＝A′M+MN≥A′H，
∴AM+MN≥15，
∴AM+MN的最小值为15．
故答案为15．
13.（2020•新疆）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC
的最小值为 6 ．
【解答】解：如图所示，作点A关于BC的对称点A'，连接AA'，A'D，过D作DE⊥AC于E，∵△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2，
∴BH＝1，AH=√3，AA'＝2√3，∠C＝30°，
CD，即2DE＝CD，
∴Rt△CDE中，DE=1
2
∵A与A'关于BC对称，
∴AD＝A'D，
∴AD+DE＝A'D+DE，
∴当A'，D，E在同一直线上时，AD+DE的最小值等于A'E的长，
×2√3=3，
此时，Rt△AA'E中，A'E＝sin60°×AA'=√3
2
∴AD+DE的最小值为3，
即2AD+CD的最小值为6，
故答案为：6．。