整式恒等变形一览

初中数学中的整式恒等式一览表

草根雾岩

@初中理科班数学

学完乘法公式和因式分解后，对比较常见的整式恒等式进行总结，以方便学生们

进行查阅. 比较重要的恒等式都有自己的名字，一般以恒等式的形式或者发现者的名字命名；另外一些虽然在“中考中不能使用，但却是广大劳动人民智慧的结晶，所谓的‘民间定理’”！【1】

在恒等式的群山之巅闪耀着不朽的光辉！本文试着按照不同难

度要求对恒等式进行分类.

【课内涉及的恒等式】

（1）平方差公式

()()22a b a b a b +-=-

()()22a b a b b a ---=-

（2）完全平方和、差公式

222()2a b a ab b +=++

222()2a b a ab b -=-+

（3）平方和与完全平方和差的关系

()2

222a b a b ab +=+-

()2

222a b a b ab +=-+

（4）完全平方和差的关系

()

()2

2

4a b a b ab +--=

()()

()22

222a b a b a b ++-=+

（5）三项和完全平方公式

()

2

222222a b c a b c ab bc ca ++=+++++

（6）两项轮换差的完全平方和

()()()222

22212a b c ab bc ca a b b c c a ⎡⎤++---=

-+-+-⎣

⎦ （7）十字相乘法

()()()2x p x q x p q x pq ++=+++

（8）分组分解法

()()ax by ay bx a b x y +++=++

【自招中涉及的公式】 （1）立方和、差公式

2233()()a b a ab b a b +-+=+

2233()()a b a ab b a b -++=- （2）完全立方和、差公式

33223()33a b a a b ab b +=+++

33223()33a b a a b ab b -=-+-

（3）立方和差与完全立方和差的关系

()()3

333a b a b ab a b +=+-+

()()3

333a b a b ab a b -=-+-

（4）杨辉三角

()

5

54322345

510105a b a a b a b a b ab b +=+++++

()

5

54322345510105a b a a b a b a b ab b -=-+-+-

（5）四项和完全平方公式

()

2

2222222222a b c d a b c d ab ac ad bc bd cd +++=+++++++++

【几个比较有名的配方公式】

（1）()()()()()()2

2

2

2

2222a b c d ac bd ad bc ac bd ad bc ++=++-=-++

这是著名的菲波那切（Fibonacci ，1170--1250）恒等式. 该恒等式可以推出二元柯西不等式. （2）()()2

4

44222a b a b a ab b +++=++

（3）()()()2

2

2

222111n n n n n n +⋅+++=++

（4）()()()2

2

2

4444222242a b c d abcd a b c d ab cd +++-=-+-+-

该恒等式可以推出四元的均值不等式. （5）()()()()2

2123131x x x x x x ++++=++

该恒等式可以说明连续四个正整数的积不是完全平方数. （6）()()()()()2

2

2

2

2223122

a b b c c a a b c a b c -+-+-=

++-++ 一个求最值问题的变形，奥精上有这道题，去年某区初赛考了它的推广形式. （7）()()44222242222n k n nk k n nk k +=++-+

双二次式的因式分解，配方法和平方差结合的典例，类似的方法可以证明对于一

切整数1n >，441n +及44n +都是合数，前者被称为哥德巴赫定理（Goldbach ，1690--1764），后者被称为吉梅茵（Germain ，1776--1831）定理【2】

.

当然，4这个系数还可以改为64、324、1024等具有形式44t 的数。

【竞赛中常见的恒等式】 （1）()()3332223a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---

()()()()222

12

a b c a b b c c a ⎡⎤=

++-+-+-⎣⎦

一个非常有名的“民间定理”，很多的竞赛题与它有关. 这个恒等式有很多称号，

小编还查不到不知道哪个是真的. 从它可以得到下面的恒等式：

()()()()333

2222223

a b b c c a ab bc ca a b b c c a -+-+--++---=

从它还可以推出三项的均值不等式. （2）两项n 次方差公式 （Ⅰ）()()1221...n n n n n n a b a b a a b ab b -----=-++++（n 为正整数） （Ⅱ）()()1221...n n n n n n a b a b a a b ab b -----=+-++-（n 为正偶整数）

（Ⅲ）()()1221...n n n n n n a b a b a a b ab b ----+=+-+-+（n 为正奇整数）

后两个公式都源于公式（Ⅰ），都是b 取b -后，公式（Ⅰ）分别在奇数次幂和偶数次幂条件下展现的结果. 所以只要记住第一个公式就可以啦！

（3）()()()1111a b c abc ab bc ca a b c +++=+++++++

这个公式的多元推广形式可用于求正整数n 的所有正因数的和. 展开后的结果非常好记忆. 它的姊妹就稍微难一点：

（4）()()()1111a b c abc ab bc ca a b c ---=---+++-

（5）()()2222223a b c ab bc ca a b ab b c b a a a c c c b c ++++=++++++ （6）()()()2222222a b b c c a a b ab b c bc c a ca abc +++=++++++

上面这两个恒等式经常一起出现，它们只差一个abc ，常被用于证明一些有关分式的条件恒等式.

（7）()()()222222a b b c c a ab bc ca a b b c c a ---=++---

式子左边再乘以一些对称式（例如a b c ++、222a b c ab bc ca ++---）可以得到一些很漂亮的结果.

（8）()()()()444222222222a b c a b c a b c a b c a b c a b b c c a -++-++-++-=++--- 等式左边将来会出现在著名的“海伦公式”中.