浅谈矩阵的秩及其应用的开题报告汇总

鞍山师范学院

本科毕业生毕业论文开题

报告

题目：浅谈矩阵的秩及其应用

系别：数学与信息科学学院

专业：数学与应用数学

年级：13级2班

姓名：杨笑

导师：张立新

（一）选题意义

1. 理论意义：

高等代数作为数学专业基础课程之一，矩阵理论又是它主要的内容，其中矩阵的秩特别重要，它是反映矩阵固有性质的一个重要概念。不管是数学专业还是非数学专业，掌握矩阵的秩的定义以及简单性质，有助于我们解决一些基本的矩阵的秩的相关问题。通过本篇论文,可以让我们对矩阵的秩有更加深刻的理解,及灵活运用矩阵的秩分析相关问题有一定的意义和作用。

2. 现实意义：

矩阵的秩几乎贯穿矩阵理论的始末，是矩阵的一个重要的本质属性，在解线性方程组，判断线性空间中点线面的位置关系，以及在解析几何中，判断空间两直线位置关系等领域都有广泛的应用。

（二）论文综述

1、国内外研究现状及分析：

矩阵是数学中的一个重要的基本概念,是代数学的一个主要研究对象,也是数学研究和应用的一个重要工具。最初，矩阵概念的产生是作用于解线性方程组，英国数学家凯莱在矩阵论的研究中作出了巨大贡献，定义了矩阵的秩、初等因子、矩阵初等变换等概念，并且讨论了矩阵初等变换的一些重要性质，同时，弗罗伯纽斯的贡献也不是不可磨灭的，在凯莱的基础上，引进了正交矩阵、矩阵的相似变换等概念，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。矩阵本身所具

有的性质依赖于元素的性质,矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展,现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论。

矩阵的应用也是相当广泛的，不仅仅是在数学领域，在物理、力学、科技等方面也发挥了不可忽视的作用，目前，虽然很多数学家在矩阵的秩的研究中做出了很多贡献，但是，矩阵的秩作为矩阵的一个重要性质，在高等代数、几何空间、数学分析等方面都有密切关系，例如矩阵分析法在企业战略管理、营销活动、供应链管理技术、教学效率评价、射击训练效果评价等方面都起到举足轻重的作用。在解析几何中,矩阵的秩可用来判断空间中两直线、两平面及直线和平面之间的关系。在控制论中,矩阵的秩可用来确定线性系统是否为可控制的,或可观察的。此外,矩阵的秩也可用来判定向量组的线性相关性、两个向量组之间的等价、求向量组的极大无关组、向量组的线性表示、求齐次线性方程组的基础解系、求解非齐次线性方程组等等。分块矩阵是矩阵论中一个比较重要的内容，它的应用研究非常广泛和深刻，特别是在高等代数和线性代数中分块矩阵的应用更加广阔，例如在计算行列式、求逆矩阵及矩阵的秩等方面，都有着很重要的应用。但国内一些专家对其研究主要是在证明和计算等方面。如研究用分块矩阵解决行列式和方程组等问题，研究用分块矩阵解循环分块矩阵方程问题，研究用分块矩阵求逆矩阵问题。但在分块矩阵的推广方面很少有研究，难以创新，但分块矩阵的应用的研究不能仅仅停留于现在这个程度，应该使其推广和应用到其它领域之中，使之能够成为我们学习和研究便利的工具。所以矩阵依然有着很大的研究价值。

2、本文创新点

本文主要从秩的性质和秩的应用两方面介绍了矩阵的秩，解决矩阵的秩的一些相关问题，寻找矩阵运算的简便方法，最后能够熟练的运用矩阵的秩来解决数学问题。

（三）论文提纲

前言：矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是应用数学研究的一个重要的工具。而矩阵的秩是一个基本的概念，也是矩阵最重要的数量特征之一，它在初等变换下是一个不变量。矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念，无论是在线性代数中，还是在解析几何中，甚至在概率论中，都有不可忽略的作用。不管对于数学专业的学生学习高等代数或者非数学专业的学生学习线性代数来说，学习和理解它的含义都是十分必要的。本课题的目的在于讨论和总结两个矩阵和的秩及两个矩阵积的秩，矩阵的和与乘积是矩阵的两种基本运算，关于他们的秩可以用相关矩阵秩的不等式表示，进一步给出有条件的等式表示，本文利用矩阵的秩的几个结论，讲述矩阵的秩在线性代数，解析几何以及向量中的应用。

1、矩阵的秩的定义

2、矩阵的秩的性质

3、矩阵的秩的计算方法及优劣比较

1）子式判别法（定义法）求矩阵的秩

2）初等变换法求矩阵的秩

3）两种方法的优劣比较

4、矩阵的秩的应用

（四）参考文献

【1】北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编.王萼芳、石生明修订.高等代数[M].高等教育出版社·北京2003年7月第三版【2】张贤达著.矩阵分析与应用[M].清华大学出版社.2004.

【3】张禾瑞、郝鈵新. 高等代数（第五版）[M].北京·高等教育出版社,2007.

【4】丘维声. 高等代数[M].北京·高等教育出版社.1996.

【5】钱吉林.高等代数解题精粹[M].北京·中央民族大学出版社.2002.

【6】萧永震等.空间解析几何解题指导[M].天津·天津科学技术出版社.1990.

【7】刘丁酋.矩阵分析[M]. 武昌·武汉大学出版社, 2003. 8. 【8】雷雪萍.高等代数中一道习题的推广[J].大学数学.2006,22(4):161-163

【9】同济大学应用数学系．线性代数(第四版)[M].北京·高等教育出版社.2003.

【10】谢帮杰.线性代数[M].人民教育出版社.1978年.

【11】H.J.赖顿瑟著.李乔译.组合数学[M].科学技术出版社.1983年

（五）论文写作进度安排