函数与导数专题复习导航

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一、考纲与考向

函数与导数是高中数学最重要的知识板块，又是考查数学思想方法，如函数方程、数形结合、分类讨论等的理想素材，因而是高考数学命题中份量最重的一部分内容.高考对函数问题的考查常设置两个客观题，一个解答题，分值在22分左右，约占总分的14%，其考查特点一是以基本初等函数或抽象函数为载体，全面考查函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性、有界性，以及函数图象变换等基础知识；二是以基本初等函数为载体，在方程、不等式、数学建模与导数、代数推理等交汇处设置解答题，考查函数五大性质的应用、不等式问题和函数方程思想、数形结合思想等综合问题.

高考导数试题的考查特点一是设置客观题，主要考查导数概念、性质、几何意义等基础知识；二是以函数知识为载体设置解答题，主要考查导数的单调性、极值、几何意义和物理意义等主干知识的应用；三是在导数与三角函数、向量、不等式、解析几何、数学建模等知识的交汇处设置试题，主要考查导数的工具性作用、同学们的综合解题能力和数学应用意识、高考导数试题的分值约为17分左右、约占总分11%的左右.

二、知识与方法

1.函数的重点知识有：(1)函数解析式的求法和分段函数的求法；(2)函数的五大性质，特别是函数的对称性、周期性、复合函数的单调性、函数图象变换等性质的应用；(3)指数函数、对数函数、幂函数的概念、图象和性质及其应用；(4)函数、导数、数学建模与代数推理等交汇问题.

导数的重点知识有：(1)客观题考查导数概念、性质、几何意义、物理意义等基础知识；(2)解答题考查导数在函数的单调性、极值等性质中的应用以及导数工具在代数、几何与数学建模等综合问题中的应用.

2.复习函数时，应立足考纲和基础，搞好以函数概念、性质及其应用为主线的复习.一是夯实基础，知识与能力并重：没有基础就谈不到能力，复习要真正地回到重视基础的轨道上来.要认真分析、处理各种关系，加深对函数基础知识系统的整体把握，深入理解有关概念，正确运用有关性质，抓住函数的本质特征，掌握求函数表达式、定义域、值域、最值、单调区间的方法.二是加强对数学思想方法的掌握和运用：对于函数与方程的综合问题，关键是正确运用等价转化思想；对于函数与不等式的综合问题，要主要用运动变化的观点去观察、分析问题，函数方程思想、分类讨论思想和数形结合思想是解决这类问题的关键；对于函数与其他知识的综合问题一般难度较大，应综合运用多种数学思想方法解决.三要注意几点：①在研究函数综合问题时，应首先考虑函数的定义域，并始终考虑变量的范围；②解决含参数的函数综合问题时，常需要应用函数知识对参数进行讨论；③对函数问题进行转化求解时，应保证等价转化.

复习导数，一要夯实基础知识，准确理解导数定义、性质、几何意义、物理意义，牢固掌握“和、差、积、商的导数公式和复合函数的求导法则”；二会运用导数知识解决函数单调性、极值和数学建模问题；三是构造函数，运用导数和函数的单调性质，解决代数式大小比较、不等式证明、参数取值范围等问题.

三、交汇与应用

1.与向量交汇

例1.已知向量=(x2，x+1) ，=(1-x，t) ，若函数f(x)=·在区间(-1，1)上是增函数，求t的取

值范围.

分析：根据已知条件先确定函数f(x)的解析式，再利用导数与函数的单调性之间的关系进行求解。

解：因为f(x)=·=(，x+1) · (1-x，t)=-x3+x2+tx+t ，所以f′(x)=-3x2+2x+t 。

若函数f(x)在(-1，1)上是增函数，则当x∈(-1，1)时，-3x2+2x+t≥0 ，

得t≥3x2-2x在区间(-1，1)上恒成立。

又g(x)=3x2-2x 是对称轴为x=，且开口方向向上的抛物线，

故要使t ≥3x 2-2x 在区间(-1，1)上恒成立，则需t ≥g(-1) ，即t ≥5.

故所求的t 的取值范围是[5，+∞).

点评：本题考查了导数的应用、向量数量积的坐标运算与及二次函数等知识，在知识的交汇点处设计命题的思路和风格非常明显.

2.导数与数列的综合

例2 已知数列{a n }中，a 1＝t(t ＞0)，a 2＝t 2．当x ＝t 时，函数f(x)＝13

(a n 1－a n )x 3－(a n －a n+1)x ，(n ≥2)取得极值．

（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式．

分析：首先利用导函数，结合f

(t)＝0，确定数列{a n }的递推关系，然后利用解决递推数列的方法求{a n }的通项公式.

解：f (x)＝ (a n 1－a n )x 2－(a n －a n+1)，则f (t)＝(a n 1－a n )t －(a n －a n+1)=0,得a n+1－a n ＝t(a n －a n 1),

(n ≥2)，所以{a n+1－a n }是首项为t 2－t ，公比为t 的等比数列，

当t ≠1时，a n+1－a n ＝(t 2－t)t n 1＝t n+1－t n ，

而a 2－a 1＝t 2－t ，

a 3－a 2＝t 3－t 2，

a 4－a 3＝t 4－t 3，

…

a n －a n 1＝t n －t n 1，

各式相加，得a n －a 1＝t n －t ，而a 1＝t ，所以a n ＝t n ．

当t ＝1时，适合上式，故a n ＝t n (t ＞0)．

3.应用性问题

例3.家电下乡政策是应对金融危机，积极扩大内需的重要举措.某家电制造集团为尽快现实家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定的时间T 内完成预期运输任务Q 0，各种方案的运输总量Q 与时间t 的函数关系如下图所示，在这四种方案中，运输效率（单位时间的运输量）逐步提高的是（ ） Q Q Q Q Q 0 Q 0 Q 0 Q

O T t O T t O T t O T t

A. B. C. D.

分析：由题意可知，运输效率越来越高，只需曲线上点的切线的斜率越来越大即可，观察图形可知，选项B 满足条件，故选B.

点评：本题的题干背景与时俱进，来自于具有时代气息现实生活情形 家电下乡，属给出模型（函数图象）的一类问题.要求同学们通过结合图象分析出函数关系，找出规律，从而解决问题.

四、考题与变式

考点1.函数基本关系问题

例1.(2010·天津)设函数f(x)=，若f(a)>f(-a)，则实数a 的取值范围是（ ）

A.(-1，0)∪(0，1)

B.(-∞，-1)∪(1，+∞)

C.(-1，0)∪(1，+∞)

D.(-∞，-1)∪(0，1) 解：由题意可得或，解得a>1，或-1