穿越沙漠问题 的探讨

关于穿越沙漠问题的探讨

刘四云

﹙ 湖北省仙桃市第二中学 433000 ﹚

1998年第1期《数学通报》之“数学问题解答”1110题原文如下：有位探险家须穿过一片800公里宽的沙漠，他仅有的交通工具是一辆每一公斤汽油走10公里的吉普车，这辆车的油箱只能装10公斤汽油，另外车上还可携带8个可装5公斤汽油的油桶，即吉普车总共可带50公斤汽油，现在假定出发地的汽油是无限充足的。问：

﹙1﹚这位探险家怎样行驶才能通过沙漠？

﹙2﹚为了穿越800公里的沙漠，他总共用了多少公斤汽油，行驶了多少公里路程？

解：因为这辆吉普车最大限度能行驶500公里，所以这位探险家要完成这次旅行，就必须设法在他前进的道路上储存行驶另外300公里的汽油。为此，他先行驶150公里后，留下20公斤汽油，然后返回原地。再行驶150公里，留下20公斤汽油，再返回原地。这样在离起点150公里的地方就有40公斤汽油了。

于是探险家第三次行驶150公里后，就捡起了15公斤汽油，然后再往前行驶150公里，在离起点300公里的地方，他留下了20公斤汽油，倒退150公里，捡起了余下的25公斤汽油中的15公斤，返回出发点。

最后，探险家第四次加满油从出发点出发行驶到150公里的地方，捡起留下的10公斤 汽油，再行驶到300公里的地方，再捡起留下的20公斤汽油，就可以走完剩下的500公里沙漠了。

在这次旅行中，探险家总共用了200公斤汽油，行驶了2000公里的路程。 当然，探险家还有另外一种存油方法，读者可以再想一想。但 200公斤汽油是他穿越沙漠所需汽油的最少量了。”

我通过反复思考，200公斤汽油不是探险家穿越沙漠所需汽油的最少量。如果只能按5公斤为单位存取汽油，则最少需180公斤的汽油，读者可以自己想一想。如果可以任意存取汽油，理论上只需17331

公斤汽油。

因为这辆吉普车最大行程为500公里，所以探险家要穿越800公里的沙漠，就必须在距出发点300公里的道路上分设三个存油点，保证吉普车行驶到距出发点300公里的地方时，仍然有50公斤汽油。为此探险家第一次加汽油233

1

公斤，行驶333

1

公里，留下16

32公斤汽油，然后返回原地。

第二次加汽油50公斤，先行驶333

1

公里，捡起33

1

公斤汽油，继续前

行100公里，留下30公斤汽油。然后，倒退100公里，捡起33

1

公斤汽油，

返回出发点。

第三次加汽油50公斤，先行驶333

1 公里，捡起3

3

1 公斤汽油，继续行

100公里，再捡起10公斤汽油，再继续前行1663

2 公里，在离起点300公里的 地方，留下16

3

2 公斤汽油。然后，倒退166

3

2 公里，捡起10公斤汽油，继

续倒退100公里，捡起3

3

1 公斤汽油，返回出发点。

第四次加汽油50公斤，行驶到33

3

1 公里处，捡起剩下的3

3

1 公斤汽

油，继续行驶100公里，再捡起剩下的10公斤汽油，再继续行驶166 3

2 公里，

捡起留下的16

3

2 公斤汽油，就可以走完剩下的500公里沙漠了。

穿过800公里的沙漠，探险家总共用了1733

1

公斤汽油，行驶了17333

1

公里的路

一般地，设需要穿过的沙漠路程为Ｓ公里，汽车最大行程为ａ公里，如果需要加ｎ 次油才能穿过沙漠，则必须要在前进的道路上设 ﹝ｎ—1﹞个存油点，这﹝ｎ—1﹞个存油点将Ｓ分成了ｎ段，分别记为Ｓ1 ，Ｓ2 ，Ｓ3 ，……Ｓ﹙n-1﹚，Ｓｎ﹝如图﹞。

发

点 点

只有当Ｓ1 ＝ａ，Ｓ2 ＝3

1

ａ，Ｓ3 ＝5

1

ａ，……，Ｓ﹙ｎ-1﹚ ＝

3

21-n ａ ，

Ｓｎ ＝Ｓ—﹙ａ+

3

1ａ+

5

1ａ+……+

3

21-n ａ ﹚时，穿过Ｓ公里沙漠的行程最

少，最少行程为﹙ｎ-1﹚ａ+［Ｓ-﹙ａ+3

1

ａ+5

1

ａ+……+3

21-n ａ）］﹙2ｎ-1﹚

公里。第一次加油为汽车行驶路程Ｓｎ 公里所需汽油量的﹙2ｎ—1﹚倍，以后

各次加油均为行驶路程ａ公里所需的汽油量。根据最少行程即可求出最少的耗油量。