角动量转动惯量
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2
3. 求质量 m ,半径 R 的球壳对直径的转动惯量
dl
R
r
d
r
dl
d
o
R
解：用一系列垂直于轴线的平 面来切分球壳,得到无数个环 面.当上下两圆无限接近时,所 夹面元面积相当于一圆柱面的 侧面面积,且极限下该面元上 各点到轴线距离相等
ds 2rdl 2Rsin Rd
m 4R 2
12
m 1 L3 L3 1 2 m L 12 L 3 8 8
(2) 轴过一端端点
dm
o
x
J r dm x dm
2 2 L
L
x
2
若使用平行轴定理：
0
m1 3 L 1 2 x mL L3 0 3
1 l m 2 x dx J m l m 12 2 L 1 1 2 2 ml ml 12 4 1 2 ml 13 3
dm
2. 计算 J ri 2 mi
i
与刚体总质量有关
与刚体质量分布有关 与转轴的位置有关
刚体对轴的转动惯量 J
练习
1. 由长l 的轻杆连接的质点如图所示，求质点系 对过A垂直于纸面的轴的转动惯量
J m 0 2 2m l2 3m(2l ) 2 4m( 2l ) 2 5m( 2l ) 2 32m l2
1 dm ds msin14 d 2
3. 求质量 m ,半径 R 的球壳对直径的转动惯量
dl
R
r
d
ds 2rdl 2Rsin Rd
o
m 4R 2
1 dm ds msind 2
对圆环： dJ r dm Rsin
2 2
1 dm mR 2sin 3d 2
2 2 i
式中
J ri mi
2 i
i
i
刚体对轴的转动惯量
8
对质量连续分布的定轴转动刚体：
dLo r dmv dLz r dmv rvdm
rrdm dm r
2
z
v
o r
dm
刚体对z轴的总角动量为：
Lz dLz r 2dm r 2 dm J
方向：右手规则
p
o
r
3
L r p r mv
z
L
o
r
x
r
m p
p
y
大小：L rm vsin p r L 方向：垂直于 r 和p组成的平面， 服从右手规则。 4
设m作直线运动 以o为参考点：L 0 以o为参考点：L 0 若r、p大小相同，则： p ，L
L Li ri pi ri mi vi
i i i
p i p2 p i c r1 ri rc r2 mi o ri
p1
6
3. 定轴转动刚性质点系对转轴的角动量
转轴 z 角速度 刚体上任一质点 mi
mi 绕
同学们好！
1
角动量 角动量守恒定律
角动量 转动 惯量 角动量 变化率 力矩
角动量 定理
角动量守 恒定律
空间旋转 对称性
刚体定轴转动定律 重要性：
大到星系，小到基本粒子都有旋转运动；
微观粒子的角动量具有量子化特征； 角动量遵守守恒定律，与空间旋转对称性相对应。
2
一、角动量
角动量
转动惯量
力矩
问题：将一绕通过质心的固定轴转动的圆盘视为一 个质点系，则由于该系统质心速度为零，所以，系 统总动量为零，系统有机械运动，总动量却为零？ 说明不宜用动量来量度转动物体的机械运动量。
注意：P 总 pi Mvc , vc 0 P 总 0
*引人与动量
p 对应的角量 L
——角动量（动量矩）
p
1. 质点对参考点的角动量 大小：
L r p r mv
m r p pr
式中
J r 2 dm
刚体对轴的转动惯量
9
二、刚体对轴的转动惯量 1. 定义
J ri 2 mi
i
（离散刚性质点系）
刚体对定轴的转动惯量等于其各质点的质量与该 质点到转轴距离的平方之积求和。
若质量连续分布，则
J r dm
2
积分元选取：
dl
dS
dV
线密度： , 线元：dl 面密度： , 面元：dS 体密度： , 体元：dV 10
o
r
r
m
p
p
o
作直线运动的物体同样 也可能有角动量（不要 以为只 有转动运动才有角动量 ；选择不同的参考点， 哪怕考 察的是同一个物体，得 到的角动量也可以不同 （具有 相对性）。
* 质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考 点旋转运动这一机械运动的强弱。
5
2. 质点系对同一参考点的总角动量 系统内所有质点对同一参考点角动量的矢量和
z
vi
转轴与其转动平面交点
o
转动 平面
mi 对 o 的角动量： Lio ri mi vi
大小：Lio ri mi vi mi ri 2 Lio 方向：沿 2 即 Lio mi ri
o圆周运动半径为 ri
o ri
mi
7
定义：质点 mi 对其转动平面上圆心 o 点的角动 量的大小，称为质点对转轴的角动量。
m
4m
l l l
2m
3m
A
l
5m
11
2. 一长为 L 的细杆，质量 m 均匀分布 ，求该杆对垂 直于杆，分别过杆的中点和一端端点的轴的转动惯量。 解：(1) 轴过中点
L
2
o
dm x x dx dx 0
L 2 L 2
x
L 2
J r 2 dm x 2 dm
L m1 3 2 2 m x dx x L L L 3 2
2 Liz ri mi vi mi ri
刚体定轴转动的特点： (1) 质点均在各自的垂直于转轴的转动平面内，作 半径不同的圆周运动； (2) 各质点的角速度 大小相等，且均沿轴向。 定义：刚体对 z 轴的总角动量为：
Lz Liz ri mi ri mi J
3. 求质量 m ,半径 R 的球壳对直径的转动惯量
dl
R
r
d
r
dl
d
o
R
解：用一系列垂直于轴线的平 面来切分球壳,得到无数个环 面.当上下两圆无限接近时,所 夹面元面积相当于一圆柱面的 侧面面积,且极限下该面元上 各点到轴线距离相等
ds 2rdl 2Rsin Rd
m 4R 2
12
m 1 L3 L3 1 2 m L 12 L 3 8 8
(2) 轴过一端端点
dm
o
x
J r dm x dm
2 2 L
L
x
2
若使用平行轴定理：
0
m1 3 L 1 2 x mL L3 0 3
1 l m 2 x dx J m l m 12 2 L 1 1 2 2 ml ml 12 4 1 2 ml 13 3
dm
2. 计算 J ri 2 mi
i
与刚体总质量有关
与刚体质量分布有关 与转轴的位置有关
刚体对轴的转动惯量 J
练习
1. 由长l 的轻杆连接的质点如图所示，求质点系 对过A垂直于纸面的轴的转动惯量
J m 0 2 2m l2 3m(2l ) 2 4m( 2l ) 2 5m( 2l ) 2 32m l2
1 dm ds msin14 d 2
3. 求质量 m ,半径 R 的球壳对直径的转动惯量
dl
R
r
d
ds 2rdl 2Rsin Rd
o
m 4R 2
1 dm ds msind 2
对圆环： dJ r dm Rsin
2 2
1 dm mR 2sin 3d 2
2 2 i
式中
J ri mi
2 i
i
i
刚体对轴的转动惯量
8
对质量连续分布的定轴转动刚体：
dLo r dmv dLz r dmv rvdm
rrdm dm r
2
z
v
o r
dm
刚体对z轴的总角动量为：
Lz dLz r 2dm r 2 dm J
方向：右手规则
p
o
r
3
L r p r mv
z
L
o
r
x
r
m p
p
y
大小：L rm vsin p r L 方向：垂直于 r 和p组成的平面， 服从右手规则。 4
设m作直线运动 以o为参考点：L 0 以o为参考点：L 0 若r、p大小相同，则： p ，L
L Li ri pi ri mi vi
i i i
p i p2 p i c r1 ri rc r2 mi o ri
p1
6
3. 定轴转动刚性质点系对转轴的角动量
转轴 z 角速度 刚体上任一质点 mi
mi 绕
同学们好！
1
角动量 角动量守恒定律
角动量 转动 惯量 角动量 变化率 力矩
角动量 定理
角动量守 恒定律
空间旋转 对称性
刚体定轴转动定律 重要性：
大到星系，小到基本粒子都有旋转运动；
微观粒子的角动量具有量子化特征； 角动量遵守守恒定律，与空间旋转对称性相对应。
2
一、角动量
角动量
转动惯量
力矩
问题：将一绕通过质心的固定轴转动的圆盘视为一 个质点系，则由于该系统质心速度为零，所以，系 统总动量为零，系统有机械运动，总动量却为零？ 说明不宜用动量来量度转动物体的机械运动量。
注意：P 总 pi Mvc , vc 0 P 总 0
*引人与动量
p 对应的角量 L
——角动量（动量矩）
p
1. 质点对参考点的角动量 大小：
L r p r mv
m r p pr
式中
J r 2 dm
刚体对轴的转动惯量
9
二、刚体对轴的转动惯量 1. 定义
J ri 2 mi
i
（离散刚性质点系）
刚体对定轴的转动惯量等于其各质点的质量与该 质点到转轴距离的平方之积求和。
若质量连续分布，则
J r dm
2
积分元选取：
dl
dS
dV
线密度： , 线元：dl 面密度： , 面元：dS 体密度： , 体元：dV 10
o
r
r
m
p
p
o
作直线运动的物体同样 也可能有角动量（不要 以为只 有转动运动才有角动量 ；选择不同的参考点， 哪怕考 察的是同一个物体，得 到的角动量也可以不同 （具有 相对性）。
* 质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考 点旋转运动这一机械运动的强弱。
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2. 质点系对同一参考点的总角动量 系统内所有质点对同一参考点角动量的矢量和
z
vi
转轴与其转动平面交点
o
转动 平面
mi 对 o 的角动量： Lio ri mi vi
大小：Lio ri mi vi mi ri 2 Lio 方向：沿 2 即 Lio mi ri
o圆周运动半径为 ri
o ri
mi
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定义：质点 mi 对其转动平面上圆心 o 点的角动 量的大小，称为质点对转轴的角动量。
m
4m
l l l
2m
3m
A
l
5m
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2. 一长为 L 的细杆，质量 m 均匀分布 ，求该杆对垂 直于杆，分别过杆的中点和一端端点的轴的转动惯量。 解：(1) 轴过中点
L
2
o
dm x x dx dx 0
L 2 L 2
x
L 2
J r 2 dm x 2 dm
L m1 3 2 2 m x dx x L L L 3 2
2 Liz ri mi vi mi ri
刚体定轴转动的特点： (1) 质点均在各自的垂直于转轴的转动平面内，作 半径不同的圆周运动； (2) 各质点的角速度 大小相等，且均沿轴向。 定义：刚体对 z 轴的总角动量为：
Lz Liz ri mi ri mi J