经济数学—微积分2-3

y y0 当 x 0时， 称 的极限为函数 y f ( x ) x x0
在 x x0处的相对变化率，也就是相对导数，或称为 函数 y f ( x ) 在 x x0处的弹性（点弹性） ．
记作
Ex
Ex
x x0
Ey , x x0 Ex
y y0 y x0 lim lim x 0 x x x 0 x y0 0
表示当生产量为每月20吨时，再增加1吨，利 润将增加50元，
(Q ) Q 25 (25) 0
表示当产量为每月25吨时，再增加1吨，利 润不变；
(Q ) Q 35 ( 35) 100
当产量为35吨时,再增加1吨,利润将减少100元． 以上说明，对厂家来说，并非生产的产品越多 利润越高.
常用的边际函数
1.边际成本
总成本函数TC=TC(Q)对产量Q的导数称 为边际成本（函数）.
dTC MC dQ
2.边际收益
总成本函数TR=TR(Q)对产量Q的导数称 为边际收益（函数）.
dTR MR dQ
3.边际利润
总利润函数π=π(Q)对产量Q的导数称为 边际收益（函数）. d 或 ( Q )
dQ
由于π(Q)=TR(Q)-TC(Q),所以
d MR MC dQ
即边际利润为边际收益与边际成本之差.
边际利润的情形分析
>0,表示再销售1个单位 产品，总利润的增加量.
d MR MC dQ
=0,表示再销售1个单位 产品，总利润不再增加.
<0,表示再销售1个单位 产品,总利润的减少量.
f (250) 180, f 250 2 .
解（1）表示该物体在下一秒的运动中大约运动 10m. （2）表示采第2001吨追加的成本是100元. （3）f(250)=180表示投入250元的广告费用 时，预定份数位180份; f'(250)=2表示投入250元的广告费用时，再 增加1元，预定份数将增加2份.
经济数学——微积分
2.3 导数在经济学中的简单应用
一、边际与边际分析 二、弹性与弹性分析
三、小结
一、边际与边际分析
定义 设经济函数y=f(x)可导，反映一个经济 变量y相对于另一个经济变量x的变化率，即
y x 或 y x 0 x lim
称为经济变量y的边际（边际函数）.
y 是平均意义上的边际. x y lim 是在 x处的边际，由导数的定义有 x 0 x y lim f ( x ) x 0 x
平均成本为 AC (Q ) Q 900
1775 1.97 900
（2）生产900个单位到1000个单位时总成本的 平均变化率为
TC (Q ) TC (1000) TC (900) 1993 1775 1.58 Q 1000 900 100
2Q Q ( 3)边际成本函数 MC ,当Q 900 1200 600 时的边际成本 MC Q 900 1.5
例3 设某产品生产单位的总成本为， Q2 TC (Q ) 1100 1200 求：(1)生产900个单位的总成本和平均成本； (2)生产900个单位到1000个单位时的总成 本的平均变化率； (3)生产900个单位的边际成本，并解释其 经济意义.
解 (1)生产900个单位时的总成本为
T C (Q ) Q 900 900 2 1100 1775 1200
例4 某厂家打算生产一批商品投放市场，已 知该商品的需求函数为
P (Q ) 10e

Q 2
其中Q为需求量,P为价格，且最大需求量为6， 求该商品的收益函数和边际Biblioteka Baidu益函数. 解 收益函数
TR(Q ) PQ 10Qe
边际收益函数


Q 2
( 0 Q 6)
MR(Q ) 5( 2 Q )e
4. 边际需求
若Q f ( P )是需求函数，则需求量Q对价格P dQ 的导数 f ( P )称为边际需求函数 . dP 例6 某商品的需求函数为Q(P)=75-P2，求 P=4时的边际需求，并说明经济意义． dQ 解 Q ( P ) 8
P 4 dP 经济意义:当价格为4时，价格上涨（或下降） 1个单位，需求量将减少（或增加）8个单位.
Q (P)
2 P ,
二、弹性与弹性分析
1. 弹性的定义 定义 设函数 y f ( x ) 在点 x0 处可导，且 x0 0 ，
y 称函数的相对改变量 与自变量的相对改变量 y0
y y0 x 之比 称为函数从 x0 到 x0 x 两点间 x0 x x0
的平均相对变化率，或称为 x0 与 x0 x 两点间 的弹性（弧弹性） ．
f'(x)在x0处的值f'(x0)称为边际函数值. 经济意义：在x0点处，当x产生一个单位的改 变时，y近似改变f'(x0)个单位． 在应用问题中解释边际函数值的具体意 义时往往略去“近似”二字． 例1 试求函数y=x2在x=5时的边际函数值并解 释其经济意义． 解 因为 y 2 x ，所以 y x 5 10 ． 经济意义：当x=5时，x增加（或减少）1个 单位，y增加(或减少）10个单位．
Q 2
( 0 Q 6)
例5 某工厂对其产品的销售情况进行大量统计 后分析后，得出总利润 (元)与每月产量 (吨)的 关系为 π(Q)=250Q-5Q2,试确定每月生产20吨， 25吨，35吨的边际利润，并做出经济解释．
解 边际利润为 (Q ) 250 10Q , 则
(Q ) Q 20 ( 20) 50
例2
解释下列边际函数值或函数值的实际意义
（1）一个物体在 t 2 时的速度为 10m / s . （2）从一个矿井采铜矿石 T 吨的成本是 C f T 元, f 2000 100 的含义. （3）一份报纸在某个月新的预定份数 y 是当月广 告投入金额 x 元的函数 y f ( x ) ，解释