二项分布及其应用

2
2
⑴甲打完 5 局才能取胜,相当于进行 5 次独立重复试验，
且甲第 5 局比赛取胜，前 4 局恰好 2 胜 2 负 新疆 王新敞 奎屯
∴甲打完 5 局才能取胜
的概率
P1
C42
(
1 )2 2
(
1 )2 2
1 2
3 16
.
例 3(运用 n 次独立重复试验模型解题): 实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定
练习.判断下列事件是否为相互独立事件.
① 篮球比赛的“罚球两次”中， 事件A：第一次罚球，球进了.
是
事件B：第二次罚球，球进了.
②袋中有三个红球，两个白球，采取不放回的取球.
不是 事件A：第一次从中任取一个球是白球.
事件B：第二次从中任取一个球是白球.
③袋中有三个红球，两个白球，采取有放回的取球.
③ 三人中恰有一个投进； ③A·B·C＋A·B·C＋A·B·C ④ 三人中至少有一个投进；④1－P( A·B·C )
⑤ 三人中至多有一个投进。
⑤A·B·C ＋ A·B·C ＋ A·B·C＋A·B·C
n 次独立重复试验: 一般地,在相同条件下，重复做的n 次试验称
为 n 次独立重复试验.
在 n 次独立重复试验中， 记 Ai 是“第 i 次试验的结果” 显然， P( A1 A2 An ) = P( A1 )P( A2 )
5 局 3 胜制（即 5 局内谁先赢 3 局就算胜出并停止比赛）． ⑴试求甲打完 5 局才能取胜的概率． ⑵按比赛规则甲获胜的概率．
(2) 记事件 A “甲打完 3 局才能取胜”， 记事件 B =“甲打完 4 局才能取胜”， 记事件 C =“甲打完 5 局才能取胜”．
事件 D ＝“按比赛规则甲获胜”，则 D A B C ，
例 3(运用 n 次独立重复试验模型解题): 实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定
5 局 3 胜制（即 5 局内谁先赢 3 局就算胜出并停止比赛）． ⑴试求甲打完 5 局才能取胜的概率． ⑵按比赛规则甲获胜的概率．
解：甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为
1 ，乙获胜的概率为 1 ．
事件A：第一次从中任取一个球是白球.
是 事件B：第二次从中任取一个球是白球.
例2：设A、B、C三人投篮命中的概率分别为0.9、 0.8、 0.7，且他们相互之间投篮是没有影响的。现在每人各投 篮一次，求以下问题发生的概率：
① 三人都投进； ①P(A·B·C） ② 三人都没投进； ②P(A·B·C )
6
C110
11
6
( 5 )9 6
Fra Baidu bibliotek……
C1k0
(
1 6
)kk
(
5 6
)10k
……
1( 10)10
6
服从二项分布
预备题2
（1）第一次抽到黑球的概率； （2）第一、第二次都抽到黑球的概率； （3）在第一次抽到黑球的条件下，第二次抽到 黑球的概率。
相互独立事件：
设A,B两个事件,如果事件A是否发生对事件B发
生的概率没有影响(即 P( AB) P( A)P(B) ), 则称
事件A与事件B相互独立.
如果事件与相互独立， 那么A与B，A与B，A与B也相互独立。
解:(1)ξ～B(5,1/3),ξ的分布列为
P(ξ=k)=
C5k
(
1 3
)k
(
2 3
)5,kk=0,1,2,3,4,5.
(2)所求的概率:P(ξ≥1)=1-P(ξ=0)=1-32/243 =211/243.
预备题1
练习.将一枚均匀的骰子抛掷10次，试写出点数 6向上的次数ξ 的分布列.
ξ P
(
50)10
P( An )
一般地,如果在 1 次试验中事件 A 发生的概率是 p ，
那么在 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概
率
Pn
(k
)
C
k n
pk
(1
p)nk
或
Pn (k ) cnk pkqnk
（其中
q 1 p ,一次试验中事件 A 发生的概率为 p）．
在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次 独立重复试验中这个事件恰发生x次,显然x是一个随机 变量.
本大节主要学了哪些内容？ 1，条件概率 2，事件的相互独立 3，独立重复试验与二项分布
条件概率
定义 设Ａ，Ｂ为同一个随机试验中的两个随机事件 ,
且Ｐ（A）＞０， 则称
P(B A) P( AB) P( A)
为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．
例 1,袋中装有 3 个黑球和 2 个白球，如果不放 回地依次抽取两个球，求
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
ξ 0 1… k …
p … … Cn0 p0qn Cn1 p1qn1
C
k n
pkqnk
n
C
n n
p
nq
0
我们称这样的随机变量ξ服从二项分布,记作 x ~ B(n, p,)
其中n，p为参数,并记
C
k n
pk (1
p)nk
b(k; n,
p)
你能举几个二项分布的例子吗？
又因为事件 A 、 B 、 C 彼此互斥， 故 P(D) P( A B C) P( A) P(B) P(C)
1 3 3 1 ．答：按比赛规则甲获胜的概率为 1 ．
8 16 16 2
2
练习：1名学生每天骑自行车上学,从家到学校的途中有5 个交通岗,假设他在交通岗遇到红灯的事件是独立的,并且 概率都是1/3.(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的 分布列.(2)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.