微分算子法中D的运算

微分算子法中D 的运算

D ：微分的意思，如Dx 2=2x ， D 3x 2=0

D 1:积分的意思，如D 1x=2

x 2

******************************************************************************* 定理1：)()(F k F e e D kx kx = 注意使用公式时的前后顺序

例： x x x x e e k e e D 22222225)12()1()1(=+=+=+ 推论：)

(1)(F 1k F e e D kx

kx = （F(k)≠0） 例：x e y y 2=+''

x e y D 22)1(=+

x x x e e e D y 22222*5

1121)1(1=+=+= ****************************************************************************** 定理2：)(sin sin )(F 22a F ax ax D -⋅=

)(c o s c o s )(F 22a F ax ax D -⋅= 注意使用公式时的前后顺序 推论：)

(1sin sin )(F 122a F ax ax D -⋅= （F(-a 2) ≠0） 例：x y y 3cos 24=+）（

x y D 3c o s 2)1(4

=+ x x x x D x D y 3cos 4113cos 82121)3(13cos 23cos 1)(123cos )1(1222224*=⋅⋅=+-⋅⋅=⋅+⋅=⋅+⋅=遇到sinax,cosax 时，要凑出D 2来。F(D)里有D 2，即可代换为-a 2，代换后继续算F(D)。

******************************************************************************* 定理3： )()()()(F x v k D F e x v e D kx kx += 注意使用公式时的前后顺序 推论：)()

(1)()(F 1x v k D F e x v e D kx kx += 例：x e x y y 22y 44⋅=+'-''

x e x y D D 222)44(⋅=+-

42222222222*12

11)2)2((1)2(1x e x D e x D e x e D y x x x x ⋅=⋅⋅=⋅-+=⋅-= 例：x e y y y =-'+''-'''y 33

x e y D =-3)1(

x e D y 3*)

1(1-= 此时不能用定理1，故 3333*6

1111)1)1((1x e D e D e D e y x x x x ⋅⋅=⋅=⋅=-+= ******************************************************************************

例： x y y e 4=-）（

x e D e D e e D e D e D D e D D D e D y x x x x x x x x ⋅==-+⋅=-⋅=+⋅⋅⋅-=⋅⋅+⋅-=⋅+⋅-⋅+=⋅-=411411114111411112111211111111111)1(12224*例：22+-=+''x x y y

2)1(22+-=+x x y D

)2()

1(122*+-+=x x D y 用长除法：按幂次增加排列，至得出的D 的最高幂次与x 的最高幂次相同。

4

422

2

22

11

)1D 1D D D D D D ---++- x

x x x x x D y -=-+-=+--=2222*22)2)(1( )

(1D F 除法举例：F(D)=D 2-2D-3 x 最高阶为2，所以除到D 的2次幂即可

434323

23

22

2

2227

7272027727149792979294323132313211

)D 232779231D D D D D D D D D D D D D D D D D +--++-++--+--++---+- 注意：对sinax 和cosax 不适用，因为除不到尽头。

******************************************************************************* 推论：

)()

(1)(f )(1)()(f )(12121x f D F x D F x f x D F ⋅+⋅=+）（ ax a a ax a ax D a ax D D ax D n n n n n n cos 1)1(1sin )(1sin 1)(1sin 1sin 1222212-⋅⋅-=⋅-=⋅-=⋅=⎰+)s i n c o s (1s i n )()(1s i n s i n 12

22222222ax b ax ka b a k ax b kD b a k ax b D k b kD ax b kD -⋅+-=⋅-⋅--=--=+x x x D c o s 21s i n 112⋅⋅-=+ x x x D sin 21cos 112⋅⋅=+