第7章一阶电路阶跃、冲激响应

激励 f (t-t0) A 0 t0 t0+τ
t
0
t0 t0+τ
t
例 如图 (a)所示电路，（1）以uC(t)为输出，求电路的单位 阶跃响应s(t)；（2）若激励iS的波形如图(b)，求电路的零状 态响应uC(t)。 4Ω
解 （1）用三要素法。根据阶跃响应s(t) iS(t) 的定义， 知uC(0+) = 0 ；激励iS =ε(t) A, 可得 uC(∞) = 6×1 = 6V τ=RC = (6+4) ×0.2 =2s 故 s(t) = 6(1 – e-t/2) ε(t)
O
1 0 1 uC (0 ) uC (0 ) (t )dt C 0 C t 1 u C ( t ) e ( t ) C
推广:若冲激函数为K (t), 1 0 k uC (0 ) uC (0 ) k (t )dt C 0 C
二、冲激函数的性质
1. (t) 是 (t)的积分，(t) 是 (t)的导数； 2. 筛分性 f(t)· (t) = f(0) · (t) f(t)· (t – t0) = f(t0) · (t – t0)

f(t)
O
f (t) (t)dt f (0) (t)dt f (0) f (t) (t t 0 )dt f (t 0 ) (t t 0 )dt f (t 0 )
t
t e
1 CR
3. RL 电路的冲激响应 R iL 求 iL(t) 的冲激响应。 + uR + iL(t) 1 uL L uS(t) L (t) [ i (0 ) = 0 ]
1 0 1 i L (0 ) i L (0 ) ( t )dt L 0 L
2.阶跃响应及求解分段直 线信号引起的响应
（1）线性叠加性 则 a f1(t) + b f2(t) → a yf1(t) + byf2(t) （2）时不变性： 若f (t)→ yf (t)， 则f (t - t0)→ yf (t - t0)
f (t) A 0 τ t
线性时不变电路
yf (t) B 0 τ t 零状态响应 yf (t-t0) B
(c)
+ -Aε (t-t0)
t0
0
t0
t
此外，还可以用ε(t) 表示任意函数的作用区间。 0 -A f 3(t) = t [ε(t) - ε(t – 1)]，画出波形。
t
二、阶跃响应
1、定义：当激励为单位阶跃函数ε(t)时，电路的零状态响应称为单位阶跃响 应，简称阶跃响应，用s(t)表示。
单位阶跃函数ε(t)作用于电路相当于单位直流源(1V或1A)在t = 0时接入电 路，因此，一阶电路的阶跃响应仍可用三要素法求得。

( t t 0 )dt 1
O
t0
已知：单位冲激函数 (t) (t) = 0，t 0
(t)
1
0 0
( t)dt 1

或 ( t )dt 1
O
t
二、冲激函数的性质
1. 单位阶跃函数(t)对时间的一阶导数等于冲激函数(t) 2. 单位冲激函数(t) 对时间的积分等于单位阶跃函数(t)
结论：若线性非时变电路的某一变量的阶跃响应为s(t)， 冲激响应为 h(t)，则 s(t) 与 h(t) 满足以下关系：
ds( t ) h(t) dt
s( t ) h ()d

t
d (t ) (t ) (t ) dt (t t ) d (t t ) (t t ) 1 1 1 dt
t ( )d (t ) t ( t1 )d (t t1 )

三、电容电压uC和电感电流iL的突变
1. 冲激电流作用下的电容电压
(1)
uC(t)
C
(t) A
+ uC
1 C
O
uC(0–) = 0
t
(2) 已知 uC(0–) = U0，求 uC(0+) 及 uC(t) , t 0 . uC(t) 1 + U0 u C C C (t) A U0
t/s
7 – 8 一阶电路的冲激响应 一、冲激函数
1. 冲激函数的形成 p(t)
2. 单位冲激函数 (t)
(t) = 0，t 0
( t)dt 1
1

或 ( t )dt 1
0
0
(t)
K(t)
1 t
K
O

t
O
O
t
—— 单位冲激 函数
K(t)
冲激强度的含义:所包围面积的大小
一、阶跃函数
单位阶跃函数用ε(t)表示，其定义为：
ε
1 0
2 1 u(t) (b)
(t)
1 , t 0 (t ) 0 , t 0 该函数在t = 0处发生单位跃变，波形如图(a)。
def
(a)
t
阶跃函数的应用之一是描述某些情况 1V 下的开关动作。，即： u (t)= ε(t) V
1 i L (t) e L
R u L ( t ) ( t ) e L
=
L
–
O
t
uL(t)

t
1
O
( t )
t
t
( t )
R L
五、冲激响应与阶跃响应的关系 线性非时变电路的性质：
对于线性非时变电路，如果激励 x 产生响应 y， dy dx 则激励 将产生响应 ，激励 xdt 将产生响应 dt dt ，K 为微积分常数。 ydt K
O
t
2. 冲激电压作用下的电感电流
(1)
iL
L iL(0–) = 0
(t) V
1 L
O
iL(t)
t
(2) 已知 iL(0–) = I0，求 iL(0+) 及 iL(t) , t 0 .
iL
(t) V L
1 I0 L
O
iL(t)
I0
t
结论：(1) 电容电压突变必须为电容提供冲激电流，
或冲激电流将引起电容电压突变；
K
冲激强度的单位:
O
t
冲激电流(t) A, 其冲激强度单位: C (库仑) 冲激电压(t) V, 其冲激强度单位: Wb(韦伯)
3. 延时冲激函数 (t – t0)
(t – t0) = 0，t t0
(t – t0)
1 t
( t t 0 )dt 1
或
t 0 t 0
N
εห้องสมุดไป่ตู้
(t)V (c)
N
电路简画为图(c)。
若单位直流电源接入的时刻为t0，则可用 延迟单位阶跃函数表示，其波形如图(d)。
1
ε
0
(t-t0)
1 , t t 0 (t t 0 ) 0 , t t 0
def
t0 (d)
t
阶跃函数另一个重要应用是可以简洁地表示某些信号。
矩形脉冲信号，可以看成是 f (t) = Aε(t) - Aε(t – t0)
f 1(t) 2 0 1 (d) 2 t
4 2
f (t)
f 2(t)
(a)
A 0 t0 t
-2
0
1 2 3 t (e)
(b)
A
‖ Aε (t)
f 1(t) = 2ε(t) - 4ε(t – 1) + 2ε(t – 2) f 2(t) = 2ε(t) + 2ε(t – 1) – 2ε(t – 2) – 2ε(t – 3)
=
t 1
2. RC 电路的冲激响应
iR iC + uC
1 uC(t) C
O
R iS(t)
C
t
t e
(t)
=
[ uC(0–) = 0 ] 求 uC(t) 的冲激响应。 iC(t)
1 u C (t) C
( t ) ( t )
1
O
1 i C ( t ) ( t ) CR
(2) 电感电流突变必须为电感提供冲激电压， 或冲激电压将引起电感电流突变。
四、冲激响应h(t)
1. 概念： 零状态电路在单位冲激激励作用下的响应。
2. RC 电路的冲激响应 iR iC + uC
求 uC(t) 的冲激响应。
R iS(t)
C
(t)
[ uC(0–) = 0 ]
1 uC(t) C
2
6Ω (a)
0.2F
uC(t)
iS(t)/A
（2） iS = 2 ε(t) - 2 ε(t -2) A ，根据线性时不变 性质，得零状态响应 uC(t) = 2 s(t) - 2 s(t -2) = 12(1 – e-t/2) ε(t) – 12[1 – e-(t-2)/2] ε(t-2) V
0
2 (b)