指数型、对数型函数模型的应用

指数型、对数型函数模型的应用

一、选择题

1．如图是变量所对应的散点图，采用哪一个拟合函数较好

( )

A ．一次函数模型

B ．指数函数模型

C ．对数函数模型

D ．幂函数模型

2．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34

，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是( )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

3．某债券市场发行三种债券，A 种面值为100元，一年到期本息和为103元；B 种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C 种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元．作为购买者，分析这三种债券的收益，从小到大排列为( )

A ．

B ，A ，C

B ．A ，

C ，B C ．A ，B ，C

D ．C ，A ，B

4．甲用1000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票卖给乙，获利10%，而后乙又将这手股票返卖给甲，但乙损失了10%，最后甲按乙卖给甲的价格九折将这手股票卖给了乙，在上述股票交易中( )

A ．甲刚好盈亏平衡

B ．甲盈利1元

C ．甲盈利9元

D ．甲亏本1.1元

二、填空题

5．某地2000年年底人口为500万，人均住房面积为6平方米，若该地区的人口年平均增长率为1%，要使2011年年底该地区人均住房面积至少为7平方米，平均每年新增住房面积至少为________万平方米(精确到1万平方米，参考数据：1.019≈1.0937，1.0110≈1.1046，1.0111≈1.1157)．

6．工厂生产某种产品的月产量y 与月份x 满足关系y ＝a ·0.5x ＋b ，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此工厂3月份该产品的产量为________万件．

7．某个病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y ＝e kt (其中k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则k ＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．

8．为了预防流感，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒．已

知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间

t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝(错误!)t

－a(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：

(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间

t(小时)之间的函数关系式为______________________________________________；

(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．

三、解答题

9．高一某个研究性学习小组进行市场调查，某生活用品在过去100天的销售量和价格均为时间t的函数，且销售量近似地满足g(t)＝－t＋110(1≤t≤100，t∈N)．前40天的价格为f(t)＝t＋8(1≤t≤40)，后60天的价格为f(t)＝－0.5t＋69(41≤t≤100)．

(1)试写出该种生活用品的日销售额S与时间t的函数关系式；

(2)试问在过去100天中是否存在最高销售额，是哪天？

10.2011年，某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，

年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次

函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S(万元)与

销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和S与t之

间的关系)．根据图象提供的信息解答下列问题：

(1)由已知图象上的三点坐标，求累积利润S(万元)与时

间t(月)之间的函数关系式；

(2)求截止到第几月末公司累积利润可达到30万元；

(3)求第八个月公司所获利润是多少万元？

详解答案

1．选B 从散点图可以看出，随着x 的增大，y 的值呈指数函数的“爆炸式”增大，选指数函数模型来拟合较好．

2．选B 由题意可知，洗x 次后存留的污垢为y ＝(1－34)x ，令(1－34)x ≤1100

， 解得x ≥1lg2

≈3.32，因此至少要洗4次． 3．选A 三者的增长率分别为A ：103－100100＝3100

； B ：51.4－5050＝2.8100；C ：100－9797＝397

.∴C >A >B . 4．选B ∵甲第一次卖给乙时获利10%，∴此时价格为1100元，甲获利1100－1000＝100元 .

∵乙返卖给甲时损失10%，∴此时价格为1100×0.9＝990元，甲获利1000－990＝10元． 甲再卖给乙时九折，∴此时价格为 990×0.9＝891元，甲损失1000－891＝109元． ∴共计甲获利100＋10－109＝1(元)．

5．解析：设平均每年新增住房面积为x 万平方米，则

500×6＋11x 500（1＋1%）11

≥7，解得x ≥82.27≈82. 答案：82

6．解析：由题意有⎩⎪⎨⎪⎧1＝0.5a ＋b 1.5＝0.25a ＋b ，解得⎩

⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝2，∴y ＝－2×0.5x ＋2， ∴3月份产量为y ＝－2×0.53＋2＝1.75万件．

答案：1.75

7．解析：当t ＝0.5时，y ＝2，∴2＝e 12

k ，∴k ＝2ln2， ∴y ＝e 2t ln2，当t ＝5时，∴y ＝e 10ln2＝210＝1024.

答案：2ln2 1024

8．解析：(1)药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比，则设函数为y ＝kt (k ≠0)，将点(0.1，1)代入可得k ＝10，则y ＝10t ；将点(0.1，1)代入y ＝(116)t －a ，得a ＝110

.则所求解析式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t ， 0≤t ≤110

⎝⎛⎭⎫116t －110t >110.

(2)令⎝⎛⎭⎫116t －110＝0.25＝⎝⎛⎭⎫11612，∴t ＝610＝0.6.