八年级数学下册《三角形的证明》
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A．2 B．3 C．4 D．5
图S1－10
上册第一章复习 ┃ 习题讲析 5．如图S1－11，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，
DE是AB的中垂线，垂足为D，交BC于点E，若BE＝4，则AC＝ ___2_____.
图S1－11
上册第一章复习 ┃ 习题讲析
6．若点P是△ABC内一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E， PF⊥AC于F，且PD＝PE＝PF，则点P是△ABC的( C )
上册第一章复习 ┃ 考点攻略
► 考点三 勾股定理的应用 例 3 如图 S1－3，已知圆柱体底面圆的半径为π2，高为 2，
AB，CD 分别是两底面圆的直径，AD，BC 是母线，若一只小虫从 A 点出发，从侧面爬行到 C 点，求小虫爬行的最短路线的长度(结 果保留根号)．
上册第一章复习 ┃ 考点攻略
[注意] 角的平分线是在角的内部的一条射线，所以它的逆 定理必须加上“在角的内部”这个条件．
10．三角形三条角平分线的性质 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边 的距离 相等 .
上册第一章复习 ┃ 考点攻略
┃考点攻略┃
► 考点一 线段垂直平分线的性质的应用
例1 如图S1－1，在△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E， ∠A＝30°，∠ACB＝80°，则∠BCE＝____5_0_°__.
上册第一章复习 ┃ 习题讲析
1．以下命题中，是真命题的是( D ) A．两条直线只有相交和平行两种位置关系 B．同位角相等 C．两边和一角对应相等的两个三角形全等 D．等腰三角形底边中点到两腰的距离相等
上册第一章复习 ┃ 习题讲析
2．下列说法中，正确的是( C ) A．等腰三角形边上的中线也是高 B．等腰三角形的内角平分线的交点到三个顶点的距离相等 C．等边三角形每条角平分线都平分对边 D．直角三角形一边上的中线等于这边的一半
上册第一章复习 ┃ 考点攻略
[解析] 根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的 点到线段两端点的距离相等，所以EA＝EC，∠A＝∠ACE＝ 30°，又∠ACB＝80°，故∠BCE＝80°—30°＝50°.
上册第一章复习 ┃ 考点攻略
方法技巧 若题目中出现或经过构造出现线段垂直平分线，注意利用“线 段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”解决问 题．同时，我们在求一些边长、周长或角的度数时，如果能恰当地 运用线段垂直平分线性质，可以大大简化解题过程，同学们在学习 中要注意到这一点！
求证：(1)FC＝AD； (2)AB＝BC＋AD.
上册第一章复习 ┃ 习题讲析
证明：(1)因为E是CD的中点，所以DE＝CE. 因为AD∥BC，所以∠ADE＝∠FCE，∠DAE＝∠CFE.所以 △ADE≌△FCE.所以FC＝AD. (2)因为△ADE≌△FCE，所以AE＝FE.又因为BE⊥AE，所 以BE是线段AF的垂直平分线，所以AB＝FB.因为FB＝BC＋FC ＝BC＋AD.所以AB＝BC＋AD.
为5∶7∶9的三部分，分别种植不同的农作物，请你设计一种方 案．
图S1－12Biblioteka 上册第一章复习 ┃ 习题讲析 解：如图S1－13所示，分别作∠ACB和∠ABC的平分线，相
交于点D，连接AD，则S△ADC∶S△ADB∶S△BDC＝5∶7∶9.
图S1－13
上册第一章复习 ┃ 习题讲析
9.如图S1－14，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中 点，连结AE，BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.
例5 如图S1－8，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE＝ ∠CDE，∠DCE＝∠ECB.
求证：CD＝AD＋BC.
图S1－8
上册第一章复习 ┃ 考点攻略
[解析] 结论是CD＝AD＋BC，可考虑用“截长补短法”中的 “截长”，即在CD上截取CF＝CB，只要再证DF＝DA即可，这 就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的．
上册第一章复习 ┃ 考点攻略
证明：在CD上截取CF＝BC，如图S1－9，
在△FCE与△BCE中，
∴△FCE≌△BCE(SAS)，
∴∠2＝∠1.
∵AD∥BC，∴∠ADC＋∠BCD＝180°.
又∠ADE＝∠CDE，
图S1－9
上册第一章复习 ┃ 考点攻略
∴∠DCE＋∠CDE＝90°，
∴∠2＋∠3＝90°，∠1＋∠4＝90°， ∴∠3＝∠4.
连接AD，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC的中点，
∴AD＝BD，AD⊥BC，
∴∠DAC＝∠ABD＝45°，
∴∠DAF＝∠DBE＝135°.
又AF＝BE， ∴△DAF≌△DBE(SAS)，
图S1－7
上册第一章复习 ┃ 考点攻略
∴FD＝ED，∠FDA＝∠EDB， ∴ ∠ EDF ＝ ∠ EDB ＋ ∠ FDB ＝ ∠ FDA ＋ ∠ FDB ＝ ∠ ADB ＝ 90°， ∴△DEF仍为等腰直角三角形．
∴∠B＝∠DAC＝45°，
又BE＝AF，
∴△BDE≌△ADF(SAS)， ∴ED＝FD，∠BDE＝∠ADF，
图 S1－6
∴∠EDF＝∠EDA＋∠ADF＝∠EDA＋∠BDE＝∠BDA＝90°，
∴△DEF为等腰直角三角形．
上册第一章复习 ┃ 考点攻略
(2)若E，F分别是AB，CA延长线上的点，如图S1－7所示：
上册第一章复习 ┃ 考点攻略
► 考点四 等腰三角形的判别
例4 已知：在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的 中点．
(1)如图S1－4，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF， 求证：△DEF为等腰直角三角形；
(2)若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其 他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的 结论．
[解析] 这个有趣的问题是勾股定理的典型应用，此问题看上 去是一个曲面上的路线问题，但实际上能通过圆柱的侧面展开而 转化为平面上的路线问题，值得注意的是，在剪开圆柱侧面时， 要从A开始并垂直于AB剪开，这样展开的侧面才是个矩形，才 能得到直角，再利用勾股定理解决此问题．
上册第一章复习 ┃ 考点攻略 解：将圆柱的侧面展开，如图S1－4，圆柱的底面周长为2πr
上册第一章复习 ┃ 考点攻略
[解析] 要证明△DEF为等腰三角形，需要证DE＝DF.连接 AD，利用全等可得这一结论．至于在延长线上，可利用同样的 方法．
上册第一章复习 ┃ 考点攻略
解：(1)证明：连接AD，如图S1－6：
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，BD＝AD，
在△FDE与△ADE中， ∴△FDE≌△ADE(ASA)，∴DF＝DA. ∵CD＝DF＋CF，∴CD＝AD＋BC.
上册第一章复习 ┃ 考点攻略
方法技巧 “截长补短法”是解决这一类问题的一种特殊方法，利用此 种方法常可使思路豁然开朗．掌握好“截长补短法”对于更好的 理解数学中的化归思想有较大的帮助．
＝2×π×＝4，取其一半： ×4＝2，圆柱的高为2，根据勾 股定理，得AC2＝22＋22＝8，所以AC＝2 .
图 S1－4
上册第一章复习 ┃ 考点攻略
方法技巧 利用勾股定理解决最短路线问题的实质是解决旋转体的问题， 也是把立体图形转化为平面图形的问题，即将原图形的侧面展开转 化为平面图形问题——即“展曲为平”问题，特别要注意圆柱、圆 锥的侧面展开问题．这种由三维立体和二维平面的相互转化，充分 体现了新课程标准下的素质教育对学生空间想象能力、图形识别能 力、理解能力的要求，是考查空间观念和严谨认真态度的很好题型．
A．三条高的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中垂线的交点
上册第一章复习 ┃ 习题讲析
7．在平面内，到A，B，C三点距离相等的点有( D )
A．只有一个
B．有两个
C．有三个或三个以上 D．有一个或没有
上册第一章复习 ┃ 习题讲析
8．小明家有一块△ABC的土地，如图S1－12所示，其三边长 AB＝70米，BC＝90米，AC＝50米，现要把△ABC分成面积比
上册第一章复习 ┃ 知识归类
(2)三边相等的三角形叫做等边三角形； (3)三个角相等的三角形是等边三角形； (4)有两个角等于60°的三角形是等边三角形． 5．直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直 角边等于斜边的 一半 . 6．勾股定理及其逆定理 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 平方 .
上册第一章复习 ┃ 知识归纳
3．用反证法证明的一般步骤 (1)假设命题的结论不成立； (2)从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、公理、 已证定理或已知条件相矛盾的结果； (3)由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确． 4．等边三角形的判定 (1)有一个角等于60°的 等腰 三角形是等边三角形；
上册第一章复习 ┃ 考点攻略
方法技巧 等腰三角形的应用体现在利用等腰三角形的性质与判定上，尤 其是“三线合一”的性质用来对线段或角进行转化，从而摆脱用全 等三角形证明线段相等或角相等的思维定势，更简捷地说明两线段 或角相等．在中考中，等腰三角形常与其他知识结合，综合性强， 多以证明或计算题出现．
上册第一章复习 ┃ 考点攻略 ► 考点五 角平分线与“截长补短”
上册第一章复习 ┃ 知识归类
8．三线共点 三角形三条边的垂直平分线相交于 一点 ，并且这一点到 三角形三个顶点的距离 相等 . 9．角平分线的性质定理及判定定理 性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离 相等 . 判定定理：在一个角的内部，且到角的两边 距离 相等的 点，在这个角的平分线上．
上册第一章复习 ┃ 知识归类
求证：∠ABC＝∠DEF.
上册第一章复习 ┃ 考点攻略
证明：在△ABC和△DEF中， ∵BE＝CF，∴BC＝EF. 又∵AB＝DE，AC＝DF， ∴△ABC≌△DEF(SSS)． ∴∠ABC＝∠DEF.
上册第一章复习 ┃ 考点攻略
方法技巧 与全等三角形有关的开放型试题形式多样，设计新颖，能培养 同学们的逆向思维能力、创新能力和综合运用知识的能力．解答条 件开放型试题，需要执果索因，逆向推理，逐步探求结论成立的条 件．同时要注意挖掘图形中的隐含条件，如对顶角、公共角、公共 边等，然后合理选择全等三角形的知识解决．另外，要注意这类题 的答案往往不唯一，只要合理即可．
上册第一章复习 ┃ 习题讲析
3．在直角三角形中，一条直角边长为a，另一条边长为2a， 那么它的三个内角之比为( D )
A．1∶2∶3 B．2∶2∶1 C．1∶1∶2 D．以上都不对
上册第一章复习 ┃ 习题讲析 4．如图S1－9，△ABC中，∠ACB＝90°，BA的垂直平分
线交CB边于D，若AB＝10，AC＝5，则图中等于60°的角的个 数为( D )
上册第一章复习 ┃ 考点攻略
► 考点二 全等三角形的证明 例2 如图S1－2，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同
一直线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的 一个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明．
①AB＝DE，②AC＝DF，③∠ABC＝∠DEF，④BE＝CF.
上册第一章复习 ┃ 考点攻略
上册第一章复习 ┃ 知识归纳
┃知识归纳┃
1．等腰三角形的性质 性质(1)：等腰三角形的两个底角 相等 . 性质(2)：等腰三角形顶角的 平分线 、底边上的 中线 、底边 上的高互相重合． 2．等腰三角形的判定 (1)定义：有两条边 相等 的三角形是等腰三角形． (2)等角对等边：有两个角 相等 的三角形是等腰三角形．
上册第一章复习 ┃ 知识归类
逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那 么这个三角形是 直角 三角形．
7．线段的垂直平分线的性质定理及判定定理 性质定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离 相等 . 判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线 段的 垂直平分线 上．
[点拨] 线段的垂直平分线可以看作和线段两个端点距离相 等的所有点的集合．
解：答案不惟一，命题一：在△ABC和△DEF中，B，E，C， F在同一直线上，AB＝DE，AC ＝ DF，BE＝CF.求证：∠ABC ＝∠DEF.
命题二：在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一直线上， AB＝DE，∠ABC＝∠DEF，BE＝CF.求证：AC＝DF.
下面证明命题一：
已知：如题图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一 直线上，AB＝DE，AC ＝ DF，BE＝CF.
图S1－10
上册第一章复习 ┃ 习题讲析 5．如图S1－11，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，
DE是AB的中垂线，垂足为D，交BC于点E，若BE＝4，则AC＝ ___2_____.
图S1－11
上册第一章复习 ┃ 习题讲析
6．若点P是△ABC内一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E， PF⊥AC于F，且PD＝PE＝PF，则点P是△ABC的( C )
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► 考点三 勾股定理的应用 例 3 如图 S1－3，已知圆柱体底面圆的半径为π2，高为 2，
AB，CD 分别是两底面圆的直径，AD，BC 是母线，若一只小虫从 A 点出发，从侧面爬行到 C 点，求小虫爬行的最短路线的长度(结 果保留根号)．
上册第一章复习 ┃ 考点攻略
[注意] 角的平分线是在角的内部的一条射线，所以它的逆 定理必须加上“在角的内部”这个条件．
10．三角形三条角平分线的性质 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边 的距离 相等 .
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┃考点攻略┃
► 考点一 线段垂直平分线的性质的应用
例1 如图S1－1，在△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E， ∠A＝30°，∠ACB＝80°，则∠BCE＝____5_0_°__.
上册第一章复习 ┃ 习题讲析
1．以下命题中，是真命题的是( D ) A．两条直线只有相交和平行两种位置关系 B．同位角相等 C．两边和一角对应相等的两个三角形全等 D．等腰三角形底边中点到两腰的距离相等
上册第一章复习 ┃ 习题讲析
2．下列说法中，正确的是( C ) A．等腰三角形边上的中线也是高 B．等腰三角形的内角平分线的交点到三个顶点的距离相等 C．等边三角形每条角平分线都平分对边 D．直角三角形一边上的中线等于这边的一半
上册第一章复习 ┃ 考点攻略
[解析] 根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的 点到线段两端点的距离相等，所以EA＝EC，∠A＝∠ACE＝ 30°，又∠ACB＝80°，故∠BCE＝80°—30°＝50°.
上册第一章复习 ┃ 考点攻略
方法技巧 若题目中出现或经过构造出现线段垂直平分线，注意利用“线 段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”解决问 题．同时，我们在求一些边长、周长或角的度数时，如果能恰当地 运用线段垂直平分线性质，可以大大简化解题过程，同学们在学习 中要注意到这一点！
求证：(1)FC＝AD； (2)AB＝BC＋AD.
上册第一章复习 ┃ 习题讲析
证明：(1)因为E是CD的中点，所以DE＝CE. 因为AD∥BC，所以∠ADE＝∠FCE，∠DAE＝∠CFE.所以 △ADE≌△FCE.所以FC＝AD. (2)因为△ADE≌△FCE，所以AE＝FE.又因为BE⊥AE，所 以BE是线段AF的垂直平分线，所以AB＝FB.因为FB＝BC＋FC ＝BC＋AD.所以AB＝BC＋AD.
为5∶7∶9的三部分，分别种植不同的农作物，请你设计一种方 案．
图S1－12Biblioteka 上册第一章复习 ┃ 习题讲析 解：如图S1－13所示，分别作∠ACB和∠ABC的平分线，相
交于点D，连接AD，则S△ADC∶S△ADB∶S△BDC＝5∶7∶9.
图S1－13
上册第一章复习 ┃ 习题讲析
9.如图S1－14，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中 点，连结AE，BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.
例5 如图S1－8，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE＝ ∠CDE，∠DCE＝∠ECB.
求证：CD＝AD＋BC.
图S1－8
上册第一章复习 ┃ 考点攻略
[解析] 结论是CD＝AD＋BC，可考虑用“截长补短法”中的 “截长”，即在CD上截取CF＝CB，只要再证DF＝DA即可，这 就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的．
上册第一章复习 ┃ 考点攻略
证明：在CD上截取CF＝BC，如图S1－9，
在△FCE与△BCE中，
∴△FCE≌△BCE(SAS)，
∴∠2＝∠1.
∵AD∥BC，∴∠ADC＋∠BCD＝180°.
又∠ADE＝∠CDE，
图S1－9
上册第一章复习 ┃ 考点攻略
∴∠DCE＋∠CDE＝90°，
∴∠2＋∠3＝90°，∠1＋∠4＝90°， ∴∠3＝∠4.
连接AD，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC的中点，
∴AD＝BD，AD⊥BC，
∴∠DAC＝∠ABD＝45°，
∴∠DAF＝∠DBE＝135°.
又AF＝BE， ∴△DAF≌△DBE(SAS)，
图S1－7
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∴FD＝ED，∠FDA＝∠EDB， ∴ ∠ EDF ＝ ∠ EDB ＋ ∠ FDB ＝ ∠ FDA ＋ ∠ FDB ＝ ∠ ADB ＝ 90°， ∴△DEF仍为等腰直角三角形．
∴∠B＝∠DAC＝45°，
又BE＝AF，
∴△BDE≌△ADF(SAS)， ∴ED＝FD，∠BDE＝∠ADF，
图 S1－6
∴∠EDF＝∠EDA＋∠ADF＝∠EDA＋∠BDE＝∠BDA＝90°，
∴△DEF为等腰直角三角形．
上册第一章复习 ┃ 考点攻略
(2)若E，F分别是AB，CA延长线上的点，如图S1－7所示：
上册第一章复习 ┃ 考点攻略
► 考点四 等腰三角形的判别
例4 已知：在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的 中点．
(1)如图S1－4，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF， 求证：△DEF为等腰直角三角形；
(2)若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其 他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的 结论．
[解析] 这个有趣的问题是勾股定理的典型应用，此问题看上 去是一个曲面上的路线问题，但实际上能通过圆柱的侧面展开而 转化为平面上的路线问题，值得注意的是，在剪开圆柱侧面时， 要从A开始并垂直于AB剪开，这样展开的侧面才是个矩形，才 能得到直角，再利用勾股定理解决此问题．
上册第一章复习 ┃ 考点攻略 解：将圆柱的侧面展开，如图S1－4，圆柱的底面周长为2πr
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[解析] 要证明△DEF为等腰三角形，需要证DE＝DF.连接 AD，利用全等可得这一结论．至于在延长线上，可利用同样的 方法．
上册第一章复习 ┃ 考点攻略
解：(1)证明：连接AD，如图S1－6：
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，BD＝AD，
在△FDE与△ADE中， ∴△FDE≌△ADE(ASA)，∴DF＝DA. ∵CD＝DF＋CF，∴CD＝AD＋BC.
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方法技巧 “截长补短法”是解决这一类问题的一种特殊方法，利用此 种方法常可使思路豁然开朗．掌握好“截长补短法”对于更好的 理解数学中的化归思想有较大的帮助．
＝2×π×＝4，取其一半： ×4＝2，圆柱的高为2，根据勾 股定理，得AC2＝22＋22＝8，所以AC＝2 .
图 S1－4
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方法技巧 利用勾股定理解决最短路线问题的实质是解决旋转体的问题， 也是把立体图形转化为平面图形的问题，即将原图形的侧面展开转 化为平面图形问题——即“展曲为平”问题，特别要注意圆柱、圆 锥的侧面展开问题．这种由三维立体和二维平面的相互转化，充分 体现了新课程标准下的素质教育对学生空间想象能力、图形识别能 力、理解能力的要求，是考查空间观念和严谨认真态度的很好题型．
A．三条高的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中垂线的交点
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7．在平面内，到A，B，C三点距离相等的点有( D )
A．只有一个
B．有两个
C．有三个或三个以上 D．有一个或没有
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8．小明家有一块△ABC的土地，如图S1－12所示，其三边长 AB＝70米，BC＝90米，AC＝50米，现要把△ABC分成面积比
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(2)三边相等的三角形叫做等边三角形； (3)三个角相等的三角形是等边三角形； (4)有两个角等于60°的三角形是等边三角形． 5．直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直 角边等于斜边的 一半 . 6．勾股定理及其逆定理 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 平方 .
上册第一章复习 ┃ 知识归纳
3．用反证法证明的一般步骤 (1)假设命题的结论不成立； (2)从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、公理、 已证定理或已知条件相矛盾的结果； (3)由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确． 4．等边三角形的判定 (1)有一个角等于60°的 等腰 三角形是等边三角形；
上册第一章复习 ┃ 考点攻略
方法技巧 等腰三角形的应用体现在利用等腰三角形的性质与判定上，尤 其是“三线合一”的性质用来对线段或角进行转化，从而摆脱用全 等三角形证明线段相等或角相等的思维定势，更简捷地说明两线段 或角相等．在中考中，等腰三角形常与其他知识结合，综合性强， 多以证明或计算题出现．
上册第一章复习 ┃ 考点攻略 ► 考点五 角平分线与“截长补短”
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8．三线共点 三角形三条边的垂直平分线相交于 一点 ，并且这一点到 三角形三个顶点的距离 相等 . 9．角平分线的性质定理及判定定理 性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离 相等 . 判定定理：在一个角的内部，且到角的两边 距离 相等的 点，在这个角的平分线上．
上册第一章复习 ┃ 知识归类
求证：∠ABC＝∠DEF.
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证明：在△ABC和△DEF中， ∵BE＝CF，∴BC＝EF. 又∵AB＝DE，AC＝DF， ∴△ABC≌△DEF(SSS)． ∴∠ABC＝∠DEF.
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方法技巧 与全等三角形有关的开放型试题形式多样，设计新颖，能培养 同学们的逆向思维能力、创新能力和综合运用知识的能力．解答条 件开放型试题，需要执果索因，逆向推理，逐步探求结论成立的条 件．同时要注意挖掘图形中的隐含条件，如对顶角、公共角、公共 边等，然后合理选择全等三角形的知识解决．另外，要注意这类题 的答案往往不唯一，只要合理即可．
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3．在直角三角形中，一条直角边长为a，另一条边长为2a， 那么它的三个内角之比为( D )
A．1∶2∶3 B．2∶2∶1 C．1∶1∶2 D．以上都不对
上册第一章复习 ┃ 习题讲析 4．如图S1－9，△ABC中，∠ACB＝90°，BA的垂直平分
线交CB边于D，若AB＝10，AC＝5，则图中等于60°的角的个 数为( D )
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► 考点二 全等三角形的证明 例2 如图S1－2，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同
一直线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的 一个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明．
①AB＝DE，②AC＝DF，③∠ABC＝∠DEF，④BE＝CF.
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┃知识归纳┃
1．等腰三角形的性质 性质(1)：等腰三角形的两个底角 相等 . 性质(2)：等腰三角形顶角的 平分线 、底边上的 中线 、底边 上的高互相重合． 2．等腰三角形的判定 (1)定义：有两条边 相等 的三角形是等腰三角形． (2)等角对等边：有两个角 相等 的三角形是等腰三角形．
上册第一章复习 ┃ 知识归类
逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那 么这个三角形是 直角 三角形．
7．线段的垂直平分线的性质定理及判定定理 性质定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离 相等 . 判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线 段的 垂直平分线 上．
[点拨] 线段的垂直平分线可以看作和线段两个端点距离相 等的所有点的集合．
解：答案不惟一，命题一：在△ABC和△DEF中，B，E，C， F在同一直线上，AB＝DE，AC ＝ DF，BE＝CF.求证：∠ABC ＝∠DEF.
命题二：在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一直线上， AB＝DE，∠ABC＝∠DEF，BE＝CF.求证：AC＝DF.
下面证明命题一：
已知：如题图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一 直线上，AB＝DE，AC ＝ DF，BE＝CF.