1.定积分的背景——面积和路程问题
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第四章 §1 定积分的概念
1.1 定积分的背景——面积和路程问题
学习目标
1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法. 2.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一 曲边梯形的面积 思考1 如何计算下列两图形的面积？
答案 ①直接利用梯形面积公式求解. ②转化为三角形和梯形求解.
s1′＝[v(1)＋v(2)＋v(3)＋v(4)＋v(5)]×1＝30(m). 不论用过剩估计值s1还是不足估计值s1′表示s， 误差都不超过：s1－s1′＝55－30＝25(m). 为了得到更加精确的估计值，可以将滑行时间分得更细些.
反思与感悟
求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯 形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解.
类型一 求曲边梯形的面积
例1 求由曲线f(x)＝2x，直线x＝1，直线x＝0及x轴所围成的平面图形的 面积S，并写出估计值的误差.
解 (1)分割：将区间[0,1]5等分，即插入4个分点，在每个分点处作与y 轴平行的直线段，将整个曲边梯形分成5个小曲边梯形； (2)近似替代：若用f(0.2)，f(0.4)，f(0.6)，f(0.8)，f(1)分别表示这5个小 曲边梯形的高，分别得到每个小曲边梯形的面积f(0.2)·0.2，f(0.4)·0.2， f(0.6)·0.2，f(0.8)·0.2，f(1)·0.2. 若用f(0)，f(0.2)，f(0.4)，f(0.6)，f(0.8)分别表示这5个小曲边梯形的高， 分 别 得 到 每 个 小 曲 边 梯 形 的 面 积 f(0)·0.2 ， f(0.2)·0.2 ， f(0.4)·0.2 ， f(0.6)·0.2，f(0.8)·0.2；
(3)求和：由上述方法得曲边梯形面积的过剩估计值为 S1＝(20.2＋20.4＋20.6＋20.8＋21)×0.2≈1.55， 不足估计值为s1＝(20＋20.2＋20.4＋20.6＋20.8)×0.2≈1.35. (4)逼近：在这种情况下，无论过剩估计值还是不足估计值，误差都不超 过0.20.如果需要，我们可以将区间分得更细，得到更精确的估计值.
示). 3.求曲边梯形面积的步骤：(1) 分割 ，(2) 近似代替 ， (3) 求和 ，(4)取极限 .
知识点二 求变速直线运动的(位移)路程 如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么也可以采用分割 、 近似代替 、 求和 、 取极限 的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.
类型一 求曲边梯形的面积 例1 求由曲线f(x)＝2x，直线x＝1，直线x＝0及x轴所围成的平面图形的 面积S，并写出估计值的误差.
求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限.应特别注意 变速直线运动的时间区间.
(4)逼近：在这种情况下，无论过剩近似值还是不足近似值，误差都不 会超过0.20，如果需要，可将区间分得更细，得到更精确的估计值.
类型二 求变速运动的路程 例2 一辆汽车的司机猛踩刹车，汽车滑行5 s后停下，在这一过程中， 汽车的速度v(单位：m/s)是时间t的函数： v(t)＝t2－10t＋25(0≤t≤5). 请估计汽车在刹车过程中滑行的距离s.
例2 一辆汽车的司机猛踩刹车，汽车滑行5 s后停下，在这一过程中， 汽车的速度v(单位：m/s)是时间t的函数： v(t)＝t2－10t＋25(0≤t≤5). 请估计汽车在刹车过程中滑行的距离s.
解 将滑行时间5 s平均分成5份. 分别用v(0)，v(1)，v(2)，v(3)，v(4)近似替代汽车在0～1 s，1～2 s， 2～3 s,3～4 s,4～5 s内的平均速度，求出滑行距离s1：s1＝[v(0)＋v(1)＋ v(2)＋v(3)＋v(4)]×1＝55(m)， 由于v是下降的，所以显然s1大于s，我们称它为汽车在5 s内滑行距离的 过剩估计值. 如果用v(1)，v(2)，v(3)，v(4)，v(5)分别近似替代汽车在0～1 s，1～2 s,2～3 s,3～4 s,4～5 s内的平均速度，求出汽车在5 s内滑行距离的不足 估计值s1′：
思考2 如图，为求由抛物线y＝x2与直线x＝1，y＝0所围成的平面图形 的面积S，图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？
答案 已知图形是由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的，可称为曲 边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是 直线段.
1.曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲
线 y＝f(x)
所围成的图形称为曲边梯形(如图
①所示).
2.求曲边梯形面积的方法
把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆
Байду номын сангаас
分为一些 小曲边梯形，对每个 小曲边梯形“以直代
曲”，即用 矩形的面积近似代替 小曲边梯形的面积，
得到每个小曲边梯形面积的
近似，值对这些近似
值 求，和就得到曲边梯形面积的 近(似如值图②所
反思与感悟
通过求曲边梯形面积的四个步骤：分割、近似替代、 求和、取极限可以理解定积分的基本思想.
跟踪训练1 求抛物线f(x)＝1＋x2与直线x＝0，x＝1，y＝0所围成的平 面图形的面积S，并写出估计值的误差.
跟踪训练1 求抛物线f(x)＝1＋x2与直线x＝0，x＝1，y＝0所围成的平 面图形的面积S，并写出估计值的误差. 解 (1)分割：将区间[0,1]5等分，在每个分点处作与y轴平行的直线段， 将整个曲边梯形分成五个小曲边梯形. (2)近似替代：用f(0.2)，f(0.4)，f(0.6)，f(0.8)，f(1)表示这5个小曲边梯形 的高，则可得到曲边梯形的过剩近似值； 用f(0)，f(0.2)，f(0.4)，f(0.6)，f(0.8)表示这5个小曲边梯形的高，可得到 曲边梯形面积的不足近似值. (3)求和：曲边梯形面积的过剩近似值S＝(f(0.2)＋f(0.4)＋f(0.6)＋f(0.8)＋ f(1))×0.2＝1.44. 曲边梯形面积的不足近似值为s＝(f(0)＋f(0.2)＋f(0.6)＋f(0.8))×0.2＝1.24.
1.1 定积分的背景——面积和路程问题
学习目标
1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法. 2.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一 曲边梯形的面积 思考1 如何计算下列两图形的面积？
答案 ①直接利用梯形面积公式求解. ②转化为三角形和梯形求解.
s1′＝[v(1)＋v(2)＋v(3)＋v(4)＋v(5)]×1＝30(m). 不论用过剩估计值s1还是不足估计值s1′表示s， 误差都不超过：s1－s1′＝55－30＝25(m). 为了得到更加精确的估计值，可以将滑行时间分得更细些.
反思与感悟
求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯 形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解.
类型一 求曲边梯形的面积
例1 求由曲线f(x)＝2x，直线x＝1，直线x＝0及x轴所围成的平面图形的 面积S，并写出估计值的误差.
解 (1)分割：将区间[0,1]5等分，即插入4个分点，在每个分点处作与y 轴平行的直线段，将整个曲边梯形分成5个小曲边梯形； (2)近似替代：若用f(0.2)，f(0.4)，f(0.6)，f(0.8)，f(1)分别表示这5个小 曲边梯形的高，分别得到每个小曲边梯形的面积f(0.2)·0.2，f(0.4)·0.2， f(0.6)·0.2，f(0.8)·0.2，f(1)·0.2. 若用f(0)，f(0.2)，f(0.4)，f(0.6)，f(0.8)分别表示这5个小曲边梯形的高， 分 别 得 到 每 个 小 曲 边 梯 形 的 面 积 f(0)·0.2 ， f(0.2)·0.2 ， f(0.4)·0.2 ， f(0.6)·0.2，f(0.8)·0.2；
(3)求和：由上述方法得曲边梯形面积的过剩估计值为 S1＝(20.2＋20.4＋20.6＋20.8＋21)×0.2≈1.55， 不足估计值为s1＝(20＋20.2＋20.4＋20.6＋20.8)×0.2≈1.35. (4)逼近：在这种情况下，无论过剩估计值还是不足估计值，误差都不超 过0.20.如果需要，我们可以将区间分得更细，得到更精确的估计值.
示). 3.求曲边梯形面积的步骤：(1) 分割 ，(2) 近似代替 ， (3) 求和 ，(4)取极限 .
知识点二 求变速直线运动的(位移)路程 如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么也可以采用分割 、 近似代替 、 求和 、 取极限 的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.
类型一 求曲边梯形的面积 例1 求由曲线f(x)＝2x，直线x＝1，直线x＝0及x轴所围成的平面图形的 面积S，并写出估计值的误差.
求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限.应特别注意 变速直线运动的时间区间.
(4)逼近：在这种情况下，无论过剩近似值还是不足近似值，误差都不 会超过0.20，如果需要，可将区间分得更细，得到更精确的估计值.
类型二 求变速运动的路程 例2 一辆汽车的司机猛踩刹车，汽车滑行5 s后停下，在这一过程中， 汽车的速度v(单位：m/s)是时间t的函数： v(t)＝t2－10t＋25(0≤t≤5). 请估计汽车在刹车过程中滑行的距离s.
例2 一辆汽车的司机猛踩刹车，汽车滑行5 s后停下，在这一过程中， 汽车的速度v(单位：m/s)是时间t的函数： v(t)＝t2－10t＋25(0≤t≤5). 请估计汽车在刹车过程中滑行的距离s.
解 将滑行时间5 s平均分成5份. 分别用v(0)，v(1)，v(2)，v(3)，v(4)近似替代汽车在0～1 s，1～2 s， 2～3 s,3～4 s,4～5 s内的平均速度，求出滑行距离s1：s1＝[v(0)＋v(1)＋ v(2)＋v(3)＋v(4)]×1＝55(m)， 由于v是下降的，所以显然s1大于s，我们称它为汽车在5 s内滑行距离的 过剩估计值. 如果用v(1)，v(2)，v(3)，v(4)，v(5)分别近似替代汽车在0～1 s，1～2 s,2～3 s,3～4 s,4～5 s内的平均速度，求出汽车在5 s内滑行距离的不足 估计值s1′：
思考2 如图，为求由抛物线y＝x2与直线x＝1，y＝0所围成的平面图形 的面积S，图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？
答案 已知图形是由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的，可称为曲 边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是 直线段.
1.曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲
线 y＝f(x)
所围成的图形称为曲边梯形(如图
①所示).
2.求曲边梯形面积的方法
把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆
Байду номын сангаас
分为一些 小曲边梯形，对每个 小曲边梯形“以直代
曲”，即用 矩形的面积近似代替 小曲边梯形的面积，
得到每个小曲边梯形面积的
近似，值对这些近似
值 求，和就得到曲边梯形面积的 近(似如值图②所
反思与感悟
通过求曲边梯形面积的四个步骤：分割、近似替代、 求和、取极限可以理解定积分的基本思想.
跟踪训练1 求抛物线f(x)＝1＋x2与直线x＝0，x＝1，y＝0所围成的平 面图形的面积S，并写出估计值的误差.
跟踪训练1 求抛物线f(x)＝1＋x2与直线x＝0，x＝1，y＝0所围成的平 面图形的面积S，并写出估计值的误差. 解 (1)分割：将区间[0,1]5等分，在每个分点处作与y轴平行的直线段， 将整个曲边梯形分成五个小曲边梯形. (2)近似替代：用f(0.2)，f(0.4)，f(0.6)，f(0.8)，f(1)表示这5个小曲边梯形 的高，则可得到曲边梯形的过剩近似值； 用f(0)，f(0.2)，f(0.4)，f(0.6)，f(0.8)表示这5个小曲边梯形的高，可得到 曲边梯形面积的不足近似值. (3)求和：曲边梯形面积的过剩近似值S＝(f(0.2)＋f(0.4)＋f(0.6)＋f(0.8)＋ f(1))×0.2＝1.44. 曲边梯形面积的不足近似值为s＝(f(0)＋f(0.2)＋f(0.6)＋f(0.8))×0.2＝1.24.