数学建模-数据包络分析法教程

它也可以用来研究多种方案之间的相对有效性 （例如投资项目评价）；研究在做决策之前去预 测一旦做出决策后它的相对效果如何（例如建立 新厂后，新厂相对于已有的一些工厂是否为有效)。 DEA模型甚至可以用来进行政策评价．

特别值得指出的是，DEA方法是纯技术性的，与 市场（价格）可以无关。只需要区分投入与产出， 不需要对指标进行无量纲化处理，可以直接进行 技术效率与规模效率的分析而无须再定义一个特 殊的函数形式，而且对样本数量的要求不高，这 是别的方法所无法比拟的。

每一个DMU都有相应的效率评价指数
u yj v xj
T T
hj

u y
r 1 m r
n
rj
v x
i 1
, j 1, 2,
,t
i ij

其中
x j ( x1 j ,
, xmj )T , y j ( y1 j ,
, ynj )T , j 1,2,
,t
可以适当地选取权系数和，使其满足:

数据包络分析（the Data Envelopment Analysis，简称DEA）是1978年由美国著 名的运筹学家A.Charnes和W.W.Cooper等 学者，以相对效率概念为基础发展起来的 一种效率评价方法。他们的第一个模型被 命名为C2R模型，从生产函数角度看，这 一模型是用来研究具有多个输入、特别是 具有多个输出的“生产部门”同时为“规 模有效”与“技术有效”的十分理想且卓 有成效的方法。1984年 R.D.Banker,A.Charnes和W.W.Cooper给出 了一个被称为BC2的模型。
OUTPUT FILE NAME
NUMBER OF FIRMS NUMBER OF TIME PERIODS NUMBER OF OUTPUTS NUMBER OF INPUTS 0=INPUT AND 1=OUTPUT ORIENTATED 0=CRS AND 1=VRS 0=DEA(MULTI-STAGE), 1=COST-DEA, 2=MALMQUIST-DEA, 3=DEA(1-STAGE), 4=DEA(2-STAGE)


（2）SUMMARY OF OUTPUT SLACKS、 SUMMARY OF INPUT SLACKS分别表示
产出和投入指标的松弛变量取值，即原模
型中的s值。

（3）SUMMARY OF PEERS: 表示非DEA有效单元根据相应的DEA有效
单元进行投影即可以实现相对有效。后面
有相应的权数SUMMARY OF PEER WEIGHTS。

对应于一组权系数
v (v1 ,
输入矩阵
vm ) , u (u1,
T
, un )
T
输出矩阵
x x x x x x
11 21 31
12
... ... ...
22
32
x x x
1j 2j 3j
... ... ...
x x x
1n 2n 3n
各字母定义如下：



xij-------- 第j个决策单元对第i种类型输入的投入总量.xij〉0 yrj-------- 第j个决策单元对第r种类型输出的产出总量.yrj〉0 vi -------- 对第i种类型输入的一种度量，权系数 ur -------- 对第r种类型输出的一种度量，权系数 i ----------1,2,…,m r ----------1,2,…,s j ----------1,2,…,n Nhomakorabea其中
x0 x j 0 , y0 y j 0 ,1 j0 t

对该分式规划进行Charnes－Cooper变换，令
1 s T 0, s v, s u v x0

则有等价的线性规划问题：

max h j0 T y0 T T s . t . x y j 0, j 1, 2, j ( PC 2 R ) T x0 1, 0, 0.
数据包络分析法 （DEA）

1.DEA的简介


2.C2R模型
3.BC2模型 4.投入冗余率和产出不足率 5.deap 2.1软件分析过程及结果解释 6. DEA法的应用实例
1.DEA的简介

在人们的生产活动和社会活动中常常会遇到这样的问 题：经过一段时间之后，需要对具有相同类型的部门 或单位（称为决策单元）进行评价，其评价的依据是 决策单元的“输入”数据和“输出”数据，输入数据 是指决策单元在某种活动中需要消耗的某些量，例如 投入的资金总额，投入的总劳动力数，占地面积等等； 输出数据是决策单元经过一定的输入之后，产生的表 明该活动成效的某些信息量，例如不同类型的产品数 量，产品的质量，经济效益等等．再具体些说，譬如 在评价某高校各个学院的时候，输入可以是学院的全 年的资金，教职员工的总人数，教学用占用教室的总 次数，各类职称的教师人数等等；输出可以是培养博 士研究生的人数，硕士研究生的人数，大学生本科生 的人数，学生的质量（德，智，体），教师的教学工 作量，学校的科研成果（数量与质量)等等．根据输 入数据和输出数据来评价决策单元的优劣，即所谓评 价部门（或单位）间的相对有效性．

该模型的基本思想：通过对样本的投 入、产出数据的分析确定出有效生产 前沿面，并根据个DMU与生产前沿面 的距离状况，确定个DMU是否为DEA 有效。
A E
B
E’
C=C’
D

如图所示，假设A、B、C、D分别表示有效率的 DMU，他们构成生产前沿面ABCD，E表示无效 率的DMU。设E’与C’分别为OE与OC在生产前沿 面ABCD上的交点，则E的效率值为OE’/OE<1， 而C得效率值为OC’/OC=1。
min t s.t. j x j x0 , j 1 t y y , j j 0 j 1 I 1 0, j 1, 2, j
, t,

其中 I=（1，1，…，1）1*t 。

目标函数求得的即是纯技术效率（PTE）， 根据SE=TE/PTE可以求出规模效率SE，

DEA方法假定每个输入都关联到一个或者多个输出，且输
入输出之间确实存在某种联系，但不必确定这种关系的显 示表达式
2. C2R模型 ：规模报酬不变

假设有t个被评价的同类部分,称为决策单元 DMU,每个决策单元均有m投入变量和n个 产出变量.如下,其中xij表示第j个DMU对第i 种输入的投入量, xij >0;yrj表示第j个DMU对 第r种输出的产出量, yrj >0;vi表示第i种输入 的一种度量(或称“权”);ur表示第r中输出 的一种度量（或称“权”）,i=1,2,…,m; r=1,2,…,n. xij , yrj为已知数据,可以根据历 史资料得到,vi,ur为变量.
0
0
0
投 入 冗 余 率为 Y / Y 0 0 0
。
，产出不足率为
A E
B
E’
D
5.deap 2.1软件分析过程及结果解 第一步，设置参数，变量及选定所用模型。 释： eg1.dta DATA FILE NAME

eg1.out
16 1 4 3 0 1 0
PTE是测度当规模报酬可变时，银行与生产
前沿面的距离。SE是测度当规模报酬可变 时，生产前沿面与规模报酬不变时的生产 前沿面的距离。
4. 投入冗余率和产出不足率

-、 根据DMU在DEA相对有效面的投影原理：如果 S 0 ( X 0 , Y0 ) ( X , Y ) 0 0 + 2 S0 以及θ0是C R模型的解，则 作为 在DEA相对有效面上的投影，其构成的投入和产 出相对于原来的n个DMU是有效的。则投入冗余 Y0 X 0 别 产 出 不 足 S , Y Y Y 分 X 0 X和 X (1 ) X S 0 0 0 0 0 0 0 为： , X / X
hj 1, j 1, 2,
,t

对第j0个决策单元进行效率评价，一般说来，hj0越大表明 DUMj0能够用相对较少的输入而取得相对较多的输出。
这样我们如果对DUMj0进行评价，看DUMj0在这n个
DMU中相对来说是不是最优的，我们可以考察当尽可能 的变化权重时， hj0的最大值究竟是多少。

（4）SUMMARY OF OUTPUT TARGETS、
SUMMARY OF INPUT TARGETS
为各单元的目标值，即达到有效的值，如 果是DEA有效单元则是原始值

（5）FIRM BY FIRM RESULTS即针对各个单元 的详细结果 ：
original value 表示原始值； radial movement表示投入指标的松弛变量取值，即投入 冗余值； slack movement 表示产出指标的松弛变量取值，即产 出不足值； projected value达到DEA有效的目标值。
DEA方法的特点：

适用于多输出-多输入的有效性综合评价问题，在处理多 输出-多输入的有效性评价方面具有绝对优势

DEA方法并不直接对数据进行综合，因此决策单元的最优 效率指标与投入指标值及产出指标值的量纲选取无关，应 用DEA方法建立模型前无须对数据进行无量纲化处理（当
然也可以）

无无须任何权重假设，而以决策单元输入输出的实际数据 求得最优权重，排除了很多主观因素，具有很强的客观性

数据包络分析(即DEA)可以看作是一种统计分析的 新方法，它是根据一组关于输入－输出的观察值来 估计有效生产前沿面的。在有效性的评价方面，除 了DEA方法以外，还有其它的一些方法，但是那些 方法几乎仅限于单输出的情况。相比之下，DEA方 法处理多输入，特别是多输出的问题的能力是具有 绝对优势的。并且，DEA方法不仅可以用线性规划 来判断决策单元对应的点是否位于有效生产前沿面 上，同时又可获得许多有用的管理信息。因此，它 比其它的一些方法（包括采用统计的方法）优越， 用处也更广泛。
, t,
其对偶规划为（DC2R），并引入松弛变 量为：
min t s.t. j x j x0 , j 1 t ( DC 2 R ) j y j y0 , j 1 0, j 1, 2, j

, t,
min t s.t. j x j x0 s j 1 t 1 y y0 j j ( DC 2 R ) s j 1 j 0, j 1, , t , 0 s s

其中θ无约束。
θ为第i个DMU的技术效率值，满
足 0 1 。当θ=1且时，则称DMU
为DEA有效，当θ<1时，DMU为非
DEA有效。
3. BC2模型：规模报酬可变

1984年，Banker，Charnes和Cooper为生 产可能集合建立凸性性质。无效率性质、 射线无限制性质和最小外插性质等四项公 理，并引进了Shepherd距离函数的概念， 将技术效率（TE）分解为纯技术效率 （PTE）和规模效率（ I =1 SE），即： TE=PTE*SE。通过增加对权重λ的约束条 件： ，建立如下的规模报酬可变模型：

1 现在对第j0个DMU进行效率评价 ( j0 t )， 以权系数v和u为变向量，第j0个DMU的效率 指数为目标，以所有的DMU（也包括第j0个 DMU）的效率指数为约束，构建如下的最 优化模型:
u T y0 max T v x0 T u yj ( P) s.t. T 1, j 1, 2, , t , v xj u 0, v 0, u 0, v 0.


第二步，结果解释：
（1）效率分析EFFICIENCY SUMMARY:

firm
crste
vrste
scale

四列数据分别表示： firm样本次序； crste不考虑规模收益是的技术效率（综合效率）； vrste考虑规模收益时的技术效率（纯技术效率）； scale考虑规模收益时的规模效率（规模效率）， 纯技术效率和规模效率是对综合效率的细分； 最后有一列irs,---，drs,分别表示规模收益递增、不变、 递减。