录课神奇的正方体

给垂直，有距离；长方体，能解题。
P
A C
Q B
张生（内师大附中）
2019年新课标I卷理科12题
【解析】 ∵ ? CEF ? 90? ,∴ CE ? EF ,∵ PB // EF ,
4.已知三棱锥 P? ABC 的四个顶点在球 O 的 ∴CE? PB.取 AC 中点 M ,连接 BM,PM,∵ PA ? PC ,
A．8 6? B． 4 6? C． 2 6? D． 6?
Q
P
B
∴ PB ? PA, PB ? PC ,∵ AB? 2 ,∴ PA ? PB ? PC ? 2 , ∴ PA ? PC .至此，可将三棱锥 P ? ABC补形为正方体 ,
显然球 O 的直径 PQ ? PA2 ? PB2 ? PC2 ? 6,即 R ? 6 ,V ? 4 ?R3 ? 6? .
2
3
三棱锥，特征多；长方体，能帮忙。
E
C
M
A
F
B
图2
C
P
A
图3
张生（内师大附中）
5.半径为 2 的球面上有 A,B,C,D四点,且 AB,AC,AD两两垂直,则ΔABC,ΔACD和ΔABD面积
之和的最大值为 8 .
解析：可将问题置于长方,设体A中C=a,AB=b,AD=c,则
SΔABC+SΔACD+SΔABD?
C.6
D.4
解析：如图，在正方体的直观辅助下，可知三棱锥 A-BCD的最长棱为 AC，在 RtΔABC中， AC2=AB2+BC2=16+16+4=36，所以 AC=6
A
B
C D
三视图，还不易；长方体，秒解题。
张生（内师大附中）
2019年新课标I卷文科16题
解析：由题设信息可知，问题可以置于长方体中
a
C
张生（内师大附中）
课堂小结：
长方体， 很神奇。 灵活用， 能解题。
张生（内师大附中）
球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为 2 的 ∴ PM ? AC, BM? AC,而 PM ? BM? M ,∴ AC? 平面BPM ,
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正三角形，E，F 分别是 PA，AB的中点， ∴ AC ? BP ,而CE ? CA? C ,∴ PB ? 平面ACP ,
∠CEF=90°，则球 O 的体积为( D )
D．若 m ? n ，n ? ? ，? ? ? ，则 m ? ?
n m
m
m
n
β
β
α
A的反例
α
B的反例
α
D的反例
张生（内师大附中）
2014新课标分Ⅰ析1具2题体问题
2. 如图，网格纸上小正方形的边长为1， 粗实线画出的是某多面体的三视图，则 该多面体的个条棱中，最长的棱的长度 为（ C ）
A.6 2 B.4 2
AC=BD=AD=BC= 5，则该三棱锥的
外接球的表面积为 43? .
分别为 a,b,c,由 a 2 ? b2 ? CD 2 ? 36, b2 ? c2 ? AD2 ? 25,
B
a 2 ? c2 ? AC2 ? 25 计算得 a ? b ? 3 2, c ? 7 ，所以
A D
c b
2R ? a 2 ? b2 ? c2 ? 43 ， S ? 4?R2 ? 43? .
1 2
(ab?
ac?
bc)
B
a2 ? b2 ? c2 ?16,由不等式得
ab? ac? bc? a2 ? b2 ? a2 ? c2 ? b2 ? c2 ?16
2
2
2
b
D
所以? ? . SΔABC+SΔACD+SΔABDmax ? 8
c
A
a
C
A1
张生（内师大附中）
6.在三棱锥 A-BCD中，AB=CD=6， 【解析】将三棱锥置于一个长方体中,设长宽高
“神奇”的长方体
张生（内师大附中）
2014浙江 考关系，不容易；长方体，秒解题。
1. 设 m,n 是两条不同的直线，? ,? 是两个不同的平面,则下列说
法正确的是（C ）
A．若 m ? n ， n //? ，则 m ? ? B．若 m// ? ， ? ? ? 则 m ? ?
C．若 则 m ? ? ,n ? ? , n ? ? m ? ?
3. 已知∠ACB=90°，P 为平面 ABC 外一点， 直观研究.如图，BC2=PC2－PB2=1，即 BC=1， PC=2，点 P 到∠ACB两边 AC，BC 的距离 同理 AC=1,所以 P 到平面 ABC的距离即为 PQ，
2 均为 3 ，那么 P 到平面 ABC 的距离为___． 易得 PQ2=PB2－AC2=2,所以 PQ ? 2 ．