微分方程方法总结

y * x k Qm ( x)e x , 其中k按不是特征方 程根、是单根、是重根取0、 1、 2，Qm为 与Pm同次多项式，系数待定，将y *代 入原方程后根据等式两边系数相等解 多元方程 (1) ( 2) y * x k e x Rm ( x) cosx Rm sin x ,
y C1e r1x C 2 e r2 x y (C1 C 2 x)e r1x y ex (C1 cos x C 2 sin x)
多于二阶依二阶方式，将特征根对应通解叠加，对 k 重根将 C 所在位置变为
C1 C2 x C3 x 2 Ck x k 1
齐次方程
x 3 2 x 2 y 3xy 2 4 y 3 ）
令u
y dy dy y u x 代入方程后再将 u 代回 求解 x dx dx x
一阶线性微分 方程
dy P( x) y Q( x) dx
P ( x ) dx P ( x ) dx P ( x ) dx e Q ( x )e dx 解为 y Ce
y ( n ) f ( x)
直接对 y
(n)
反复积分直至求得 y
2014.6.25
y f ( x, y)
令 p y ，则有 p f ( x, p) 可用一阶方式求解得 p ( x) 再代回 y 继续运算
y f ( y, y)
令 p y ，则 y

dy P( x) Q( x) y n (n 0,1) dx
伯努利方程 令zy
1 n

dz dy n (1 n) y n 则伯努利方程左右同乘 (1 n) y 后将 z 代入得到 dx dx
dz (1 n) P( x) z (1 n)Q( x) 按一阶线性微分方程解法求得 z 后反代得 y dx
dp dy dp p 解得 p ( y) 后代入 y 分离变量继续求解 dy dx dy
线性微分方程
微分方程类型 方程通式及解法
y py qy 0
特征方程：Leabharlann Baidur pr q 0
2
常系数齐次线 性微分方程 （以二阶为 例）
r1 , r2为实根且r1 r2时 r1 , r2为实根且r1 r2时 r i 时 1, 2
其中m maxl , n ，k按 i (或 i )
(1) ( 2) 理求得Rm ，Rm 中所有待定系数后得解


不是、是特征方程单根取0、 1，与上同
2014.6.25
P( x, y )dx Q( x, y )dy 0且
全微分方程 解为
P Q y x

x
x0
P( x, y)dx Q( x, y)dy C（可能解为隐函数） ， 其中 ( x0 , y0 ) 为单连通域上适
y0
y
当点（一般取 x0 y0 0 ）
可降阶的高阶 微分方程
微分方程方法总结
一阶或可降为一阶微分方程
微分方程类型 可分离式微分 方程 方程通式及解法
g ( y)dy f ( x)dx
解为 G( y) F ( x) C ，其中 G ( y ) g ( y )dy ， F ( x)

f ( x)dx
dy f ( x, y ) 且 f ( x, y) 中 每 一 个 单 项 式 的 x, y 指 数 和 相 等 （ 如 dx
y py qy f ( x)
解为 y Y y ，其中 Y 为 y py qy 0 的通解， y 为 y py qy f ( x) 的特解
*
*
常系数非齐次 线性微分方程 （以二阶为 例）
当f ( x) e x P ( x)时 m x 当f ( x) e Pl ( x) cosx Pn ( x) sin x 时