吉林省实验中学高一(上)期中数学试卷

高一（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合M={x|x2−x>0}，N={x|x≥1}，则M∩N=( )
A. {x|x≥1}
B. {x|x>1}
C. ⌀
D. {x|x>1或x<0}
2.函数y=loga(x+2)+1的图象过定点( )
A. (1,2)
B. (2,1)
C. (−2,1)
D. (−1,1)
3.已知幂函数y=xα的图象过点(2,2)，则f(4)的值是( )
A. 12
B. 1
C. 2
D. 4
4.函数f(x)=2−xln(x+1)的定义域为( )
A. (−1,2)
B. [−1,0)∪(0,2)
C. (−1,0)∪(0,2]
D. (−1,2]
5.已知ln(log4(log2x))=0，那么x−12=( )
A. 4
B. −4
C. 14
D. −14
6.三个数60.7，(0.7)6，log0.76的大小顺序是( )
A. (0.7)6<log0.76<60.7
B. (0.7)6<60.7<log0.76
C. log0.76<60.7<(0.7)6
D. log0.76<(0.7)6<60.7
7.函数y=ax−a(a>0且a≠1)的图象可能是( )
A. B.
C. D.
8.已知函数f(x)=(3a-2)x+6a-1,x<1ax,x≥1，在(-∞,+∞)上单调递减，那么实数a的
取值范围是()
A. (0,1)
B. (0,23)
C. [38,23)
D. [38,1)
9.已知f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=ex−1(其中e为自然对数的底数)，则
f(ln12)=( )
A. −1
B. 1
C. 3
D. −3
10.函数f(x)的图象与函数g(x)=(12)x的图象关于直线y=x对称，则f(2x−x2)的单调
减区间为( )
A. (−∞,1)
B. [1,+∞]
C. (0,1)
D. [1,2]
11.若函数f(x)，g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)−g(x)=e x，则有( )
A. f(2)<f(3)<g(0)
B. g(0)<f(3)<f(2)
C. f(2)<g(0)<f(3)
D. g(0)<f(2)<f(3)
12.若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件：
①P、Q都在函数y=f(x)的图象上；
②P、Q关于原点对称，则称点对[P,Q]是函数y=f(x)的一对“友好点对”(点对[P,Q]
与[Q,P]看作同一对“友好点对”)，
已知函数f(x)=log2x(x>0)−x2−4x(x≤0)，则此函数的“友好点对”有( )
A. 0对
B. 1对
C. 2对
D. 3对
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.函数y=x2−4x，其中x∈[−3,3]，则该函数的值域为______．
14.已知函数f(x)满足f(ex)=2x−3，则f(x)=______．
15.若lg(x−y)+lg(x+2y)=lg2+lgx+lgy，则yx=______．
16.已知实数a，b满足等式2019a=2020b，下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；
③0<a<b；④b<a<0；⑤a=b.其中可能成立的关系式有______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.设集合A={x|x2−3x−18≤0}，B={x|m−8≤x≤m+4}．
(Ⅰ)若m=3，求(∁RA)∩B；
(Ⅱ)当A∩B=A时，求实数m的取值范围．
18.计算：
(Ⅰ)lg2lg50+lg25+(lg2)2；
(Ⅱ)若4a=9b=6，求1a+1b的值．
19.解关于x的不等式：(14)x−2−x+1−8<0．
20.(Ⅰ)已知函数f(x)=3x−13x+1，判断f(x)的奇偶性并予以证明；
(Ⅱ)若函数f(x)的定义域为(−1,1)，已知函数f(x)在(−1,1)上单调递增，且满足
f(1−m)+f(1−2m)<0，求实数m的取值范围．
21.已知函数f(x)=b⋅ax(其中a，b为常量，且a>0，且a≠1)图象过点A(1,6)，B(3,24)．
(Ⅰ)求f(x)的解析式；
(Ⅱ)若不等式满足(1a)x+(1b)x−m≥0在x∈(−∞,1]上恒成立，求实数m的取值范围．
22.设函数f(x)=log2x+1x−1+log2(x−1)+log2(m−x)，(m>1)．
(Ⅰ)求f(x)的定义域；
(Ⅱ)f(x)是否存在最大值或最小值？如果存在，请把它求出来；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：M={x|x2−x>0}={x|x>1或x<0}，N={x|x≥1}，
则M∩N={x|x>1}，
故选：B．
根据集合的基本运算进行求解即可．
本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查对数函数的单调性与特殊点，记住结论：函数y=loga(x+m)+n(a>0,a≠1)的图象恒过(1−m,n)点．
由对数函数恒过定点(1,0)，再根据函数平移变换的公式，结合平移向量公式即可得到到正确结论．
【解答】
解：由函数图象的平移公式，我们可得：
将函数y=logax(a>0,a≠1)的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，
即可得到函数y=loga(x+2)+1(a>0,a≠1)的图象．
又∵函数y=logax(a>0,a≠1)的图象恒过(1,0)点，
由平移向量公式，易得函数y=loga(x+2)+1(a>0,a≠1)的图象恒过(−1,1)点，
故选：D．
3.【答案】C
【解析】解：∵幂函数f(x)=xa的图象过点(2,2)，
∴f(2)=2α=2，
解得a=12，
∴f(x)=x，
∴f(4)=4=2．
故选：C．
用待定系数法求出幂函数f(x)的解析式，计算出f(4)的值．
本题考查了求幂函数的解析式的应用问题，也考查了求函数值的问题，是基础题．4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了根据函数的解析式求定义域的应用问题，是基础题目．
根据函数f(x)的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
【解答】
解：函数f(x)=2−xln(x+1)，
∴2−x≥0ln(x+1)≠0解得
即−1<x≤2且x≠0；
∴f(x)的定义域为(−1,0)∪(0,2]．
故选：C．
5.【答案】C
【解析】解：由ln(log4(log2x))=0，得log4(log2x)=1，
则log2x=4，可得x=16．
∴x−12=16−12=116=14．
故选：C．
由已知求解对数方程可得x值，再由有理指数幂的运算性质求x−12的值．
本题考查有理指数幂的运算性质与对数的运算性质，是基础的计算题．
6.【答案】D
【解析】解：60.7>1，0<(0.7)6<1，log0.76<0，
可得60.7>(0.7)6>log0.76.
故选：D．
利用指数函数与对数函数的单调性即可得出
本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7.【答案】C
【解析】解：当x=1时，y=a−a=0，即函数过定点(1,0)，排除A，B，D，
故选：C．
令x=1得y=0，即函数过定点(1,0)，利用对应性进行排除即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用排除法是解决本题的关键．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查函数单调性的应用，根据分段函数单调性的性质建立条件关系是解决本题的关键．
根据分段函数单调性的性质和关系即可得到结论．
【解答】
解：若函数f(x)在(−∞,+∞)上单调递减，
则3a−2<00<a<13a−2+6a−1≥a，
即a<230<a<1a≥38，解得38≤a<23，
故选：C．
9.【答案】A
【解析】解：∵f(ln12)=f(−ln2)
∵f(x)是奇函数，∴f(−x)=−f(x)
∵当x≥0时，f(x)=ex−1，
则f(ln12)=f(−ln2)=−f(ln2)=−(eln2−1)=−1
故选：A．
由f(x)是奇函数可得f(−x)=−f(x)，则f(ln12)=f(−ln2)=−f(ln2)，代入已知可求
本题主要考查了利用奇函数的性质求解函数的函数值，属于基础试题
10.【答案】C
【解析】解：由题意函数f(x)的图象与函数g(x)=(12)x的图象关于直线y=x对称知，函数f(x)是函数g(x)=(12)x的反函数，
所以f(x)=log12x，
即f(2x−x2)=log12(2x−x2)，
令2x−x2>0，解得0<x<2，
又f(x)=log12x是减函数，t=2x−x2在(−∞,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
由复合函数的单调性知，f(2x−x2)的单调减区间为(0,1)．
故选C．
由题意知函数f(x)是函数g(x)=(12)x的反函数，根据反函数的定义求出f(x)=log12x，再由复合函数的单调性即可求出f(2x−x2)的单调减区间．
本题考查复合函数的单调性及反函数的定义，解答的关键是熟练掌握反函数的定义及复合函数单调性的判断规则，本题是一个易错题，易因为忘记求函数的定义域导致误选A．11.【答案】D
【解析】解：根据题意，函数f (x)，g (x)分别是R上的奇函数、偶函数，
则有f(−x)=−f(x)，g(−x)=g(x)，
又由f (x)−g (x)=ex，①
则f(−x)−g(−x)=−f(x)−g(x)=e−x，即f (x)+g(x)=−e−x，②
联立①②解可得：f(x)=ex−e−x2，g(x)=−ex+e−x2，
g(0)=−1，f(2)=e2−e−22，f(3)=e3−e−32，
分析可得：g(0)<f (2)<f (3)；
故选：D．
根据题意，由f (x)−g (x)=ex结合函数的奇偶性的性质可得
f(−x)−g(−x)=−f(x)−g(x)=e−x，变形可得f (x)+g(x)=−e−x，联立两个式子解可得：f(x)=ex−e−x2，g(x)=−ex+e−x2，即可得g(0)=−1，f(2)=e2−e−22，f(3)=e3−e−32，比较即可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质，关键是利用函数的奇偶性求出f(x)、g(x)的解析式．12.【答案】C
【解析】解：根据题意：当x>0时，
−x<0，则
f(−x)=−(−x)2−4(−x)=−x2+4x，
可知，若函数为奇函数，可有
f(x)=x2−4x，
则函数y=−x2−4x(x≤0)的图象关于
原点对称的函数是y=x2−4x
由题意知，作出函数y=x2−4x(x>0)
的图象，
看它与函数f(x)=log2x(x>0)交点个数即可得到友好点对的个数．
如图，
观察图象可得：它们的交点个数是：2．
即f(x)的“友好点对”有：2个．
故选：C．
根据题意：“友好点对”，可知，欲求f(x)的“友好点对”，只须作出函数y=−x2−4x(x≤0)的图象关于原点对称的图象，看它与函数f(x)=log2x(x>0)交点个数即可．
本题主要考查了奇偶函数图象的对称性，以及数形结合的思想，解答的关键在于对“友好点对”的正确理解，合理地利用图象法解决．
13.【答案】[−4,21]
【解析】解：二次函数y=f(x)=x2−4x=(x−2)2−4的对称轴是x=2，且开口向上，在x∈[−3,3]上，有：
当−3≤x≤2时，f(x)是减函数，当2<x≤3时，f(x)是增函数；
x=2时，函数取最小值f(2)=−4；x=−3时，函数取最大值f(−3)=21．
故答案为：[−4,21]
结合二次函数的图象与性质，容易求出二次函数在闭区间上的最值，从而得出该函数的值域．
本题用值域来考查二次函数的图象与性质，以及二次函数在闭区间上的最值问题，是基础题．
14.【答案】2lnx−3(x>0)
【解析】解：∵f(ex)=2x−3=2lnex−3，
∴f(x)=2lnx−3(x>0)．
故答案为：2lnx−3(x>0)．
可由f(ex)=2x−3得出f(ex)=2lnex−3，从而把ex换上x即可得出f(x)的解析式．
本题考查了换元法求函数解析式的方法，函数解析式的定义及求法，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．
15.【答案】12
【解析】解：原方程变形为lg(x−y)(x+2y)=lg(2xy)，(x>y>0)．
∴x2−xy−2y2=0，(x>y>0)．
两边同除以x2得，2(yx)2+yx−1=0．
解得yx=−1(舍)或yx=12．
故答案为：12．
利用对数的运算法则将方程左右两边化为同底的对数，去掉对数符号，分子、分母同除以x2，解二次方程即可．
本题考查对数的运算性质，考查对数方程的求法，是基础题．
16.【答案】①②⑤
【解析】解：分别画出函数y=2019x，y=2020x的
图象．
根据实数a，b满足等式2019a=2020b，下列五个
关系式：
①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a=b．
其中可能成立的关系式有①②⑤．
故答案为：①②⑤．
分别画出函数y=2019x，y=2020x的图象．根据实数a，b满足等式2019a=2020b，即可判断出下列五个关系式中正确的结论．
本题考查了指数函数的单调性、数形结合方法、方程的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
17.【答案】解：(I)∵集合A={x|x2−3x−18≤0}={x|−3≤x≤6}，
m=3时，B={x|m−8≤x≤m+4}={x|−5≤x≤7}．
∴CRA={x|x<−3或x>6}，
∴(CRA)∩B={x|−5≤x≤−3或6<x≤7}．
(Ⅱ)∵集合A={x|x2−3x−18≤0}={x|−3≤x≤6}，
B={x|m−8≤x≤m+4}，A∩B=A，
∴A⊆B，
∴m+4≥6m−8≤−3，解得2≤m≤5，
∴实数m的取值范围是[2,5]．
【解析】(I)先分别求出集合A，B，从而求出CRA，由此能求出(CRA)∩B．
(Ⅱ)由集合A={x|−3≤x≤6}，B={x|m−8≤x≤m+4}，A∩B=A，得到A⊆B，列出不等式组能求出实数m的取值范围．
本题考查交集、补集的求法，考查交集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：
(I)lg2lg50+lg25+(lg2)2=lg2lg50+(lg2)2+lg25=lg2(lg50+lg2)+lg25=lg2(lg100)+2lg 5=2(lg2+lg5)=2lg10=2；
(II)因为4a=9b=6，
所以a=log46，b=log96，
∴1a+1b=log64+log69=2．
【解析】(Ⅰ)根据对数的运算性质及运算律结合因式分解计算即可；
(Ⅱ)将指数式化为对数式，转化为对数运算．
本题考查了对数的运算性质和运算律，指数式与对数式的互化，主要考查运算能力，属于基础题．
19.【答案】解：∵(14)x−2−x+1−8<0，∴(12)2x−2(12)x−8<0
令(12)x=t(t>0)，则t2−2t−8<0，∴−2<t<4，
又t>0，∴0<t<4，
∴(12)x=t<4=(12)−2，∴x>−2，
∴不等式的解集为(−2,+∞)．
【解析】根据(14)x−2−x+1−8<0，令(12)x=t(t>0)，则t2−2t−8<0，然后解一元二次不等式，得到t的范围，再解出x即可．
本题考查了指数不等式和一元二次不等式的解法，考查了转化思想和计算能力，属基础题．
20.【答案】解：( I)：f(x)为奇函数
证明：因为f(−x)=3−x−13−x+1=1−3x3x+1=−f(x)
所以f(x)为奇函数．
(Ⅱ)因为f(x)为奇函数，
∴f(−x)=−f(x)，
∴f(1−m)+f(1−2m)<0可化为f(1−m)<−f(1−2m)=f(2m−1)，
因为在(−1,1)上单调递增，
∴−1<1−m<2m−1<1,解得23<m<1．
【解析】(I)要判断f(x)的奇偶性，只要检验f(−x)与f(x)的关系即可判断；
(II)结合(I)及f(x)在(−1,1)上单调递增，即可求解；
本题主要考查了奇函数的定义在函数奇偶性判断中的应用及利用奇偶性及单调性求解不等式，属于函数性质的简单综合．
21.【答案】解：(Ⅰ)把A(1,6)，B(3,24)代入f(x)=b⋅ax，
得6=ab，24=ba3，解得a=2，b=3，
∴f(x)=3⋅2x；
(Ⅱ)∵(1a)x+(1b)x−m≥0在x∈(−∞,1]上恒成立，
∴m≤(1a)x+(1b)x在x∈(−∞,1]上恒成立，
∴m≤[(1a)x+(1b)x]min，x∈(−∞,1]，
令f(x)=(12)x+(13)x，x∈(−∞,1]，
∵y=(12)x与y=(13)x在(−∞,1]上均为减函数，
∴f(x)=(12)x+(13)x在(−∞,1]上是减函数，
f(x)min=f(1)=56，
则m≤56．
【解析】(Ⅰ)把A、B的坐标代入解析式，得关于a、b的方程组，解出a、b，则函数解析式可求；
(Ⅱ)把(1a)x+(1b)x−m≥0在x∈(−∞,1]上恒成立化为m≤(1a)x+(1b)x，只需
m≤[(1a)x+(1b)x]min即可，利用函数的y=(1a)x+(1b)x的单调性可求得其最小值，从而得到实数m的取值范围．
本题考查恒成立问题，训练了分离参数法，考查利用函数的单调性求函数的最值，是中档题．
22.【答案】解：(Ⅰ)x+1x−1>0x−1>0m−x>0，x>1x<m，
因为函数的定义域是非空集合，故m>1，所以f(x)的定义域为(1,m)；
(Ⅱ)∵f(x)=log2[(x+1)(m−x)]=log2[−(x−m−12)2+(m+1)24]，
∴当m−12≤1，1<m≤3时，f(x)既无最大值又无最小值；
当1<m−12<m，即m>3时，x=m−12时，f(x)有最大值log2(m+1)24，但没有最小值．
综上可知：当1<m≤3时，f(x)既无最大值又无最小值；当m>3时，f(x)有最大
log2(m+1)24，但没有最小值．
【解析】(Ⅰ)由函数f(x)的解析式可得，x+1x−1>0x−1>0m−x>0，解不等式组可得定义域．
(Ⅱ)先将解析式化简得f(x)=log2[−(x−m−12)2+(m+1)24]，结合(1)定义域，需要分类讨论m−12≤1，1<m−12<m得f(x)的最值
本题考查函数的定义域和最值，属于常见题型，注意分类讨论思想的应用．。