离散数学 图论优秀课件
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若边e所对应的结点对是有序偶〈a,b〉,则称e 是有向边。a叫边e的始点,b叫边e的终点,统称为e的 端点。若边e所对应的结点对是无序偶(a,b) ,则称e是 无向边。这时统称e与两个结点a和b互相关联。
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
我们将结点a、b的无序结点对记为(a，b）， 有序 结点对记为〈a，b〉。 一个图G可用一个图形来表示且表示是不唯一的。
Hamilton-ian Graph ) 10.6 平面图(Planar Graph) 10.7树与生成树(Trees and Spanning Trees) 10.8 二部图（bipartite graph）
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
10.1.1 图的基本概念 10.1.2 图的结点的度数及其计算 10.1.3 子图和图的同构
条边的图; (2) 特别地, (n,0)称为零图, (1,0) 图称为平凡图 。 (2) 按G中关联于同一对结点的边数分为多重图和简
单图; 多重图:含有平行边的图（如图 10 .1. 3） ； 线 图: 非多重图称为线图； 简单图:不含平行边和自环的图。
第10章 图论(Graph Theory )
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
图 10.1.2
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
图 10.1.2
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
2. 图G的结点与边之间的关系 邻接点: 同一条边的两个端点。 孤立点: 没有边与之关联的结点。 邻接边: 关联同一个结点的两条边。 孤立边: 不与任何边相邻接的边。 自回路（环）：关联同一个结点的一条边（（v，
【例10.1.2】 设G=〈V(G),E(G)〉,其中
V(G)={a,b,c,d},E(G)={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7},e1=(a,b), e2=(a,c),e3=(b,d),e4=(b,c),e5=(d,c),e6=(a,d),e7=(b,b) 。 则图G可用图10.1.2(a)或(b)表示。
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
图 10.1.1哥尼斯堡七桥问题
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念 10.1.1 图
1.图的定义 现实世界中许多现象能用某种图形表示,这种图形 是由一些点和一些连接两点间的连线所组成。
【例10.1.1】a， b， c， d 4个篮球队进行友谊比赛。 为
如果图 10.1.1中的４个 结点a， b， c， d分别 表示４个人，当某两 个人互相认识时， 则 将其对应点之间用边 连接起来。 这时的图 又反映了这４个人之 间的认识关系。
图 10.1.1
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
定义10.1.1一个图G是一个序偶〈V(G), E(G)〉， 记 为G＝〈V(G), E(G)〉。 其中V(G)是非空结点集合， E(G)是边集合， 对E(G)中的每条边， 有V(G)中的 结点的有序偶或无序偶与之对应。
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
【例10.1.3】设图G＝〈V ,E〉 如图10.1.3所示。
这里V＝｛v1，v2，v3｝， E＝｛e1，e2，e3，e4，e5｝， 其中e1 =(v1, v2) ，e2=(v1，v3) ，
e3 =(v3, v3), e4 =(v2, v3),
G1、G2是多重图
G3是线图
G4是简单图
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
(3)按G的边有序、无序分为有向图、无向图和混合图; 有向图：每条边都是有向边的图称为有向图 （图 10 .1.4 (b))； 无向图：每条边都是无向边的图称为无向图； 混合图：既有无向边, 又有有向边的图称为混合图。
e5=(v2，v3)。
图 10 .1. 3
在这个图中，e3是关联同一ຫໍສະໝຸດ Baidu结点的一条边,即 自回路；边e4和e5都与结点v2、 v3关联，即它们 是平行边。
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
3. 图G的分类 (1) 按G的结点个数和边数分为(n,m)图,即n个结点, m
(4)按G的边旁有无数量特征分为加权图、无权图(如图 10.1.4);
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
(5)按G的任意两个结点间是否有边分为完全图Kn (如图 10.1.5)和不完全图(如图 10.1.6)。
图 10 .1. 4
第10章 图论(Graph Theory )
第10章 图论(Graph Theory )
第十章 图论(Graph Theory)
10.1 图的基本概念(Graph) 10.2 路与图的连通性(Walks & Connectivity of
Graphs) 10.3 图的矩阵表示(Matrix Notation of Graph) 10.4 最短链与关键路（Minimal path ） 10.5 欧拉图与哈密尔顿图(Eulerian Graph &
了表示４个队之间比赛的情况， 我们作出图10.1.1的图形。 在图中４个小圆圈分别表示这４个篮球队， 称之为结点。 如果两队进行过比赛，则在表示该队的两个结点之间用一 条线连接起来，称之为边。这样利用一个图形使各队之间 的比赛情况一目了然。
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
v）或〈v，v〉）。 平行边(多重边):关联同一对结点的多条边。
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
如例10.1.1中的图，结点集V＝｛a，b，c，d｝， 边集 E ＝｛e1， e2， e3， e4， e5｝， 其中 e1＝（a，b），e2＝（a, c），e3＝（a，d）， e4＝（b, c）， e5＝（c, d）。 d与a、 d与c是邻接的， 但d与b不 邻接， 边e3与e5是邻接的。
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
我们将结点a、b的无序结点对记为(a，b）， 有序 结点对记为〈a，b〉。 一个图G可用一个图形来表示且表示是不唯一的。
Hamilton-ian Graph ) 10.6 平面图(Planar Graph) 10.7树与生成树(Trees and Spanning Trees) 10.8 二部图（bipartite graph）
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
10.1.1 图的基本概念 10.1.2 图的结点的度数及其计算 10.1.3 子图和图的同构
条边的图; (2) 特别地, (n,0)称为零图, (1,0) 图称为平凡图 。 (2) 按G中关联于同一对结点的边数分为多重图和简
单图; 多重图:含有平行边的图（如图 10 .1. 3） ； 线 图: 非多重图称为线图； 简单图:不含平行边和自环的图。
第10章 图论(Graph Theory )
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
图 10.1.2
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
图 10.1.2
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
2. 图G的结点与边之间的关系 邻接点: 同一条边的两个端点。 孤立点: 没有边与之关联的结点。 邻接边: 关联同一个结点的两条边。 孤立边: 不与任何边相邻接的边。 自回路（环）：关联同一个结点的一条边（（v，
【例10.1.2】 设G=〈V(G),E(G)〉,其中
V(G)={a,b,c,d},E(G)={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7},e1=(a,b), e2=(a,c),e3=(b,d),e4=(b,c),e5=(d,c),e6=(a,d),e7=(b,b) 。 则图G可用图10.1.2(a)或(b)表示。
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
图 10.1.1哥尼斯堡七桥问题
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念 10.1.1 图
1.图的定义 现实世界中许多现象能用某种图形表示,这种图形 是由一些点和一些连接两点间的连线所组成。
【例10.1.1】a， b， c， d 4个篮球队进行友谊比赛。 为
如果图 10.1.1中的４个 结点a， b， c， d分别 表示４个人，当某两 个人互相认识时， 则 将其对应点之间用边 连接起来。 这时的图 又反映了这４个人之 间的认识关系。
图 10.1.1
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
定义10.1.1一个图G是一个序偶〈V(G), E(G)〉， 记 为G＝〈V(G), E(G)〉。 其中V(G)是非空结点集合， E(G)是边集合， 对E(G)中的每条边， 有V(G)中的 结点的有序偶或无序偶与之对应。
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
【例10.1.3】设图G＝〈V ,E〉 如图10.1.3所示。
这里V＝｛v1，v2，v3｝， E＝｛e1，e2，e3，e4，e5｝， 其中e1 =(v1, v2) ，e2=(v1，v3) ，
e3 =(v3, v3), e4 =(v2, v3),
G1、G2是多重图
G3是线图
G4是简单图
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
(3)按G的边有序、无序分为有向图、无向图和混合图; 有向图：每条边都是有向边的图称为有向图 （图 10 .1.4 (b))； 无向图：每条边都是无向边的图称为无向图； 混合图：既有无向边, 又有有向边的图称为混合图。
e5=(v2，v3)。
图 10 .1. 3
在这个图中，e3是关联同一ຫໍສະໝຸດ Baidu结点的一条边,即 自回路；边e4和e5都与结点v2、 v3关联，即它们 是平行边。
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
3. 图G的分类 (1) 按G的结点个数和边数分为(n,m)图,即n个结点, m
(4)按G的边旁有无数量特征分为加权图、无权图(如图 10.1.4);
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
(5)按G的任意两个结点间是否有边分为完全图Kn (如图 10.1.5)和不完全图(如图 10.1.6)。
图 10 .1. 4
第10章 图论(Graph Theory )
第10章 图论(Graph Theory )
第十章 图论(Graph Theory)
10.1 图的基本概念(Graph) 10.2 路与图的连通性(Walks & Connectivity of
Graphs) 10.3 图的矩阵表示(Matrix Notation of Graph) 10.4 最短链与关键路（Minimal path ） 10.5 欧拉图与哈密尔顿图(Eulerian Graph &
了表示４个队之间比赛的情况， 我们作出图10.1.1的图形。 在图中４个小圆圈分别表示这４个篮球队， 称之为结点。 如果两队进行过比赛，则在表示该队的两个结点之间用一 条线连接起来，称之为边。这样利用一个图形使各队之间 的比赛情况一目了然。
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
v）或〈v，v〉）。 平行边(多重边):关联同一对结点的多条边。
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
如例10.1.1中的图，结点集V＝｛a，b，c，d｝， 边集 E ＝｛e1， e2， e3， e4， e5｝， 其中 e1＝（a，b），e2＝（a, c），e3＝（a，d）， e4＝（b, c）， e5＝（c, d）。 d与a、 d与c是邻接的， 但d与b不 邻接， 边e3与e5是邻接的。