2021新高考数学二轮总复习学案：第4讲 从审题中寻找解题思路含解析

第4讲从审题中寻找解题思路

审题亦即提取有效信息,挖掘隐含信息,提炼关键信息.条件是题目的“泉眼”.为考核学生的观察、理解、分析、推理等能力,高考试题往往变换概念的表述形式,精简试题从条件到结论的中间环节,透析试题的条件之间的联系,隐去问题涉及的数学思想及背景.如何科学地审题是同学们最需要掌握的基本技能.事实上,审题能力的培养并未引起应有的重视,很多同学热衷于题型的总结与解题方法和技巧的训练,把数学学习等同于解题训练,一味地机械模仿导致应变能力不强,遇到陌生的问题往往束手无策,致使解题失误或陷入误区.审题与解题的关系

审题和解题是解答数学试题的重要两步,其中,审题是解题的前提,详细全面地审题为顺利解题扫除大部分障碍,正确把握数学试题中的已知条件和所求,从题目关键词语中挖掘隐含条件、启发解题思路,最短时间内理解条件和结论所包含的详细信息是保障解题效率与解题质量的必需条件.解题作为审题活动的升华,是全面解答数学试题的核心.

怎样算是审清题意

怎样才算审清题意了呢?主要是弄清题目已经告诉了什么信息,需要我们去做什么,从题目本身获取“如何解这道题”的逻辑起点、推理目标以及沟通起点与目标之间联系的更多信息.试题的条件和结论是两个信息源,为了从中获取尽可能多的信息,我们要字斟句酌地分析条件、分析结论、分析条件与结论之间的关系,常常还要辅以图形或记号,以求手段与目标的统一.

审题典例示范

一、审清条件信息

审视条件一般包括“挖掘隐含信息、洞察结构特征、洞悉图形趋势、研读图表数据”等几方面.

审题时要避开过去熟悉的同类题目的影响,看似相同,就按过去同类型题目进行求解,要审出同还是不同,不能似是而非.

【例1】(1)(2019广东广州二模,文12)若函数f(x)=-x2(x2+ax+b)的图象关于直线x=-1对称,则f(x)的最大值是()

A.-2

B.-1

C.0

D.1

(2)(2019河北衡水高三联考,理12)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P为

△ABC内一点,∠BPC=90°.若∠APB=150°,则tan ∠PBA=()

A.B.-C.D.-

(1)审题指导一从题目条件中只能看到图象关于直线x=-1对称,但从已知中找不到与函数f(,所以应注意到方程f(x)=0隐含有重根0,根据对称性,发现重根-2,确定函,从而求出最大值.

审题指导二根据对称性可知f(-2)=f(0),且x=-1是函数f(x)的极值点,得到f'(-1)=0,联立得,从而求出f(x)的解析式,从而求出最大值.

审题指导三对于函数对称性问题,可以运用特殊值法.若函数f(x)关于x=a对称,则满足

f(x+a)=f(a-x);若函数f(x)关于(a,b)对称,则满足f(x+a)+f(a-x)=2b.

(2)审题指导一利用Rt△ABC和Rt△BPC的边角关系,求得∠PCB=∠ABP=θ,进而推出

PC=cosθ,同理根据∠PCB+∠PCA=∠ACB=∠PCA+∠PAC,推出∠PAC=θ,将已知条件转化为已知两边及其对角,解△APC,由正弦定理及同角三角函数关系,求得tan∠PBA.

审题指导二借助平面几何知识,过A点作BP延长线的垂线,构造Rt△ADB,利用Rt△ABC 和Rt△BPC的边角关系,求得∠PCB=∠ABP=θ,解Rt△ADB、Rt△BPC、Rt△ADP,找出AD、BD、PD、BP之间的关系,并用与θ有关的正、余弦表示出来,利用BD=BP+PD建立等量关系求解tan∠PBA.

二、审条件中的隐含

有的数学试题条件并不明显,审题时要注意挖掘隐含条件和信息,对条件进行再认识、再加工,只有这样,方可避免因忽视隐含条件而出现错误.要注意已知条件中的概念本身容易疏忽的限定信息,关注问题中易于疏忽的特殊情形、可能情形、相近概念之间的差异,要清晰定理成立、公式存在的前提.

【例2】(1)已知函数f(x)=sin+1的图象在上恰有一条对称轴和一个对称中心,则实数ω的取值范围为()

A. B.

C. D.

(2)(2020浙江考前模拟,10)若对圆(x-1)2+(y-1)2=1上任意一点P(x,y),|3x-4y+a|+|3x-4y-9|

的取值与x,y无关,则实数a的取值范围是()

A.(-∞,4]

B.[-4,6]

C.(-∞,4]∪[6,+∞)

D.[6,+∞)

(1)审题指导“f(x)的图象在上”是指x∈,∴2ωx+,设t=2ωx+,函数

y=sin t在上的对称轴为t=,t=,…,对称中心为(π,0),(2π,0),…,f(x)的图象在

上恰有一条对称轴和一个对称中心,隐含着,π∈,但.

(2)审题指导一看到|3x-4y+a|+|3x-4y-9|联想点到直线的距离公式,能审出其表示的是点

3x-4y+a=0和3x-4y-9=0的距离之和;

审题指导二由距离之和与x,y无关,能审出隐含条件两条平行直线在圆的两侧,从而圆心

1,由此得到a的取值范围是a≥6或a≤-4;

审题指导三由直线3x-4y-9=0的表达式,能审出该直线在圆的下方,所以另一直线必须在a≤-4.

三、审条件中的结构特征

高考数学试题中的已知条件,很多都是以数式的结构形式进行搭配和呈现的.在这些问题的数式结构中,往往隐含着某种特殊关系,我们不仅要认真审视数式的浅层结构特征,还要对数式结构进行深入的分析、加工、转化,努力弄清其深层结构特征,在这个逐步清晰的过程中,力争寻找到突破问题的方案.

【例3】在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=5,△ABC的面积S△ABC=,且b2+c2-a2=ac cos C+c2cos A,则sin B+sin C=()

A.3

B.

C.

D.3

审题指导已知条件有3个.由a=5和S△ABC=得不出结果,所以突破口为

b2+c2-a2=ac cos C+c2cos A,该条件是关于三边两角的关系式,等式左边的结构与余弦定理

的变式2bc cos A相等,代换后进行化简得结论A=,此为解法一;观察该等式的右边,为减少

变量进行角边的转换,利用边表示角,得第二种解法.

四、审图形特点寻简捷

在一些高考数学试题中,问题的条件往往是以图形的形式给出,或将条件隐含在图形之中,因此在审题时,最好画一个图,并在图中标出必要的条件和数据,画图的过程是一个熟悉问题的过程,是一个对已知条件进行再认识的过程.不仅如此,还要善于观察图形,洞悉图形所隐含的特殊的关系、数值的特点、变化的趋势,抓住图形的特征,利用图形所提供的信息来解决问题.

【例4】(2020北京,15)为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用

-的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱,已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.

给出下列四个结论:

①在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强;

②在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强;

③在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标;

④甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[0,t1]的污水治理能力最强.

其中所有正确结论的序号是.