3.2导数运算与导数公式

f (x)g(x) f (x)g(x)
[ g ( x)]2
.
例: 求下列函数的导函数 (1) y sec x;(2) y cscx;(3) y tan x;(4) y cot x.
解 : (1)sec x
1 c os x
(sin x) [cosx]2
tan
x sec x.
解 : (2) cscx 1 sin x
ex , (loga x )1 x lna, (lnx)
1; x
(4) : (sin x) cosx, (cosx) sin x, (tan x) (secx)2, (cotx) (cscx)2, (secx) sec x tan x, (cscx) cscx cot x;
(5) : (arcsin x) 1 , (arccos x) 1 ,
解 : (1)由于y log a x是x a y的反函数.
故(log a
x)
1 (a y )
1 a y ln
a
1 x ln
a
.
特别地(ln x) 1 . x
解 : (2)由于y arcsin x是x sin y的反函数.
且当x (1,1)时, y ( , ),此时cos y 0.
22
解:
y
f
1
(x)
f (x) [ f (x)]2 .
例: 求y sec x tan x 2x arcsin x x ln x的导数.
解: y (sec x tan x 2x arcsin x x ln x) (sec x tan x) (2x arcsin x) (x ln x)
x0
x
x0
x
证 : (3)[ f (x)g(x)] lim f (x x)g(x x) f (x)g(x)
x0
x
f (x x)g(x x) f (x)g(x x) f (x)g(x x) f (x)g(x)
lim
x0
x
g(x x)[ f (x x) f (x)] f (x)[g(x x) g(x)]
(g(x) 0).
证 : (1)[Cf (x)] lim Cf (x x) Cf (x) C lim f (x x) f (x) Cf (x).
x0
x
x0
x
证 : (2)[ f (x) g(x)] lim f (x x) g(x x) f (x) g(x)
x0
x
lim f (x x) f (x) lim g(x x) g(x) f (x) g(x).
g(x x)g(x)
g(x x)g(x)
1 [ f (x x) f (x)]
f (x) [g(x x) g(x)]
g(x x)
g(x x)g(x)
f (x x) f (x)
f (x)
g
(
x)
lim x0
g(x x) x
g(x) lim f (x x) f (x) 1 lim
因此 lim [ f (x x) f (x)] lim g(x x) f (x) lim [g(x x) g(x)] f (x)g(x) f (x)g(x).
x0
x
x0
x0
x
证 : (4)由g(x) 0,即g(x) 0(或g(x) 0)及连续函数的局部保号性知: 存在x的某一领域O (x),当x x O (x)时,有g(x x) 0(或g(x x) 0),即g(x x) 0.
那么 lim ( y y) ( y) lim
x
lim
1
y0
y
x0 f (x x) f (x) x0 f (x x) f (x)
x
1
1
.
lim f (x x) f (x) f (x)
x0
x
例: 求下列函数的导函数 (1) y loga x(a 0且a 1为常数);(2) y arcsinx;(3) y arccosx; (4) y arctanx;(5) y arc cot x.
tan x sec x tan x sec x(sec x)2 (2 arcsin x 2x 1 ) (ln x x 1 ).
1 x2
x
例
:
求y
1
5x 3
ex
ln
x的导数.
解:
y
1 5x 3
ex
ln
x
5(
1
)
x
4 3
3
ex
ln
x
1
5x 3
ex
ln
x
1
5x 3
ex
1 x
.
1 (cosy)2
1 x2
解: (4)由于y arctan x是x tan y的反函数.
且当x (,)时,
y (
2
, ), 此时[sec y]2
2
1 [cos x]2
0.
故(arctan
x)
1 (tan y)
1 [sec y]2
1 1 [tan
y]2
1
1 x
2
.
解: (5)由于y arc cot x是x cot y的反函数.
cosx [sin x]2
cot x cscx.
解:
(3)
tan
x
sin x c os x
c os x
cosx sin x( [cosx]2
sin
x)
[s ec x]2 .
解:
(4) cot x
c os x sin x
(sin
x) sin x cosx cosx [sin x]2
lim
x0
x
lim [ f (x x) f (x)] g(x x) lim [g(x x) g(x)] f (x)
x0
x
x0
x
[ f (x x) f (x)]
[g(x x) g(x)]
lim
lim g(x x) f (x) lim
x0
x
x0
x0
x
由于g(x)可导,故g(x)连续,那么lim g(x x) g(x). x0
f (x x) f (x) f (x x)g(x) f (x)g(x x)
g(x x) g(x)
g(x x)g(x)
f (x x)g(x) f (x)g(x) f (x)g(x) f (x)g(x x) g(x x)g(x)
g(x)[ f (x x) f (x)] f (x)[ g(x x) g(x)]
f [( y y)] f (x x) f (x x) y y y f (x x) y f (x x) f (x).
由f (x)在(a,b)严格单调且连续及定理2.8知: 其反函数x ( y)也是严格单调 且连续.从而当y 0时,有x 0.且y 0时, x ( y y) ( y) 0.
1 x2
1 x2
(arctan
x)
1 1 x2
,
(arc
cot
x)
1
1 x
2
.
例: 求y ex (sin x 2 cos x)的导数.
解: y ex (sin x 2cosx) ex (sin x 2cosx) ex[cosx 2(sin x)].
例: 求y tan x 3 3 x arctanx的导数. x sin x
(3)[ f (x)g(x)] f (x)g(x) f (x)g(x);
推论 :[ f (x)g(x)h(x)] f (x)g(x)h(x) f (x)g(x)h(x) f (x)g(x)h(x);
f (x) f (x)g(x) f (x)g(x)
(4)
g
(x)
[ g ( x)]2
且当x (,)时, y (0, ), 此时[csc y]2
1 [sin x]2
0.
故(arc cot x)
1 (cot y)
1 [csc y]2
1 1 [cot
y]2
1 1 x2
.
三、导数基本公式
(1) : (C) 0;
(2) : (x ) x1;
(3) : (ax )
ax
ln
a, (ex )
[cscx]2.
二、反函数的导数
性质3.5(反函数求导法则) : 设f (x)在(a,b)内严格单调且可导,则它有反函数x ( y), 当f (x) 0时, x ( y)可导,且( y) 1 .
f (x)
证 : 设x ( y y) ( y) ( y y) x ( y) x x.
f (x) g(x x) g(x)
x0
x
g(x x) x0 g(x)g(x x)
x
lim f (x x) f (x) lim 1 lim
f (x) lim g(x x) g(x)
x0
x
x0 g(x x) x0 g(x)g(x x) x0
x
f (x) g(x)
f (x)g(x) [ g ( x)]2
解:
y
tan x x sin x
3 3
x arctanx
x
tan x sin
x
(3
3
x arctanx)
(sec
x)2
(
x
sin x) (x sin
tan x)2
x(1
cos
x)
3
1 3
x
2 3
arctan x 3 3
x
1
1 x
2
.
例: 求y 1 的导数,其中f (x) 0且f (x)可导. f (x)
3.2、导数运算与导数公式
一、导数的四则运算
性质3.4 :设f (x)与g(x)在x点可导,则 (1)[Cf (x)] Cf (x)(C为常数);
(2)[ f (x) g(x)] f (x) g(x); 推论 :[ f1(x) f2 (x) fn (x)] [ f1(x) f2(x) fn(x)];
故(arcsinx) 1 1
1
1.
(sin y) cos y 1 (sin y)2 1 x2
解: (3)由于y arccos x是x cos y的反函数.
且当x (1,1)时, y (0, ), 此时sin y 0.
故(arccosx) 1 1
1
1 .
(cosy) sin y