第十七章勾股定理知识点与常见题型总结

勾股定理

一、知识归纳 1、勾股定理

内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 2、勾股定理的适用范围

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 3、勾股定理的应用

①已知直角三角形的任意两边长，求第三边

在ABC ∆中，90C ∠=︒

，则c

，b

，a = ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 4、勾股定理的逆定理

如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； 二、题型

题型一：直接考查勾股定理

例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长 分析：直接应用勾股定理222a b c += 解：

题型二：应用勾股定理建立方程

例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为

分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解 解：

例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长

2

1E

D

C

B

A

A

B

C

D E

例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积

题型三：实际问题中应用勾股定理

例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m

A

B

C

D

8cm

题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形

例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =

，1b =，23

c = 解：

例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？ 解

题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用

例8.已知ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =

证明：

D C

B

A

一、想好了再填

1．已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长是

2．如图，圆锥的底面半径为6cm ，高为8cm ，那么这个圆锥的母线L 是________

3．直角三角形两直角边长分别为5 和12，则斜边上的高为________．

4. 已知等腰三角形的腰长是6cm ，底边长是8cm ，那么这个等腰三角形的面积是 .

5．如图所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8，正方形A 的面积是10，B 的面积是11，C 的面积是13，则D 的面积之为_______. 6．如图，C 、D 分别是一个湖的南、北两端A 和B 正东方向的两个村庄，CD = 6 km ，且D 位于C 的北偏东30°方向上，则AB ＝______km ． 7. 如图,有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则它至少要飞行___________米.

8．如图，直线 L 过正方形 ABCD 的顶点 B , 点A 、C 到直线 L 的距离分别是 1 和 2 , 则正方形的ABCD

l

(第2题)

8

6

第13题

北

东

A B C

D

第6题 第9题

3

12

的面积是 .

9. 如图是一个长方体长4、宽3、高12，则图中阴影部分的三角形的周长为__________。

10．某校为了筹备校园艺术节，要在通往舞台的台阶上铺上红色地毯．如果地毯的宽度恰好与台阶的宽度一致，台阶的侧面如图所示，台阶的坡角为30，90BCA ∠=，台阶的高BC 为2米，那么请你帮忙算一算需要 米长的地毯恰好能铺好台阶．（结果精确到0.1m ，取2 1.414=，3 1.732=）

11．有一圆柱体高为10cm ，底面圆的半径为4cm ，AA 1、BB 1为相对的两条母线。在AA 1上有一个蜘蛛Q ，QA =3cm ；

在BB 1上有一只苍蝇P ，PB 1=2cm 。蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P 点吃苍蝇，最短的路径是 cm 。（结果用带π和根号的式子表示）

12．如图，如果以正方形ABCD 的对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方

形AEGH ，如此下去，…，已知正方形ABCD 的面积1S 为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为

23S S ，，…，S n （n 为正整数），那么第8个正方形的面积8S ＝_______________

二、看准了再选

13．“数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P 所表示的数是5”，这种利用图形直观说明问题的方式体现的数学思想方法叫（ ）

Ａ．代入法 Ｂ．换元法 Ｃ．数形结合的思想方法 Ｄ．分类讨论的思想方法

14．下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是

（ ） A ．7,24,25a b c === B ． 1.5,2, 2.5a b c === C ．25

,2,34

a b c === D ．15,8,17a b c ===

15．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝正东方挖，每分钟挖8cm ，另一只朝正南方挖，每分钟挖6cm ，10分

钟之后两只小鼹鼠相距（ ）

A. 50cm

B. 100cm

C. 140cm

D. 80cm

16．如图一个圆桶儿，底面直径为24cm,高为32cm,则桶内能容下的最长的木棒为（ ）

A. 20cm

B. 50cm

C. 40cm

D. 45cm

30

Ｂ

（第10题图）

A

1 A 1 B

Q

P 第

11

题图

A

B

C D

E

F G

H

I

J

2

5

24cm 32cm

第17题