第一讲 线段的最值问题 (二)

Q分为析直：线作xA=关2上于的y轴动的点对，称求点|QAA'-（QC5,|0的）最，大值及QQ的坐yyy 标.
连接A'C并延长交x=2于点Q.
QQ
A(1,0),C(0,5)，
CCC
则AC (1 0)2 (0 5)2 26
联立xy
2 5x
，解得 5
x
y
2, 15.
,
若A(x1, y1), B(x2, y2 )，则AB
AAA
OOO
AAxxx''
(x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
教育教学分析
例2：已知M(0，1),P(4，3)，且E、F分别为x轴上
的两个动点E(a,0)、F(a+1,0).求a为何值时，四边
形PMEF周长最小？并求这个最小值.
分析：周长=ME+EF+FP+PM. 只要求出ME+EF+FP的最小值.
m、n的对称点
4 A在直线m、n上 分别求点P、Q,
QQ
AA A''、A',连接A''、 两点之间， A'交直线m、n 线段最短
使得PA+AQ+PQ
P P m m 分别于点P、Q,
最小
此时
A'' PA+AQ+PQ最
教二育、教常学见分模析型
问题
图例
方法
数学原理
5
如图，已知两定
点A、B，线段PQ
在直线m上运动， 且PQ=a（a为定
值），求 PA+PQ+QB(四边 形ABQP的周长) 的最小值
BB AA A'
PP QQ A''
将点A沿PQ方向
平 到 于 点 B共移 A直 A''线'，a线，个时作m当单的点A位'对A'、'得关称Q、平质意于行、两第四三边三边角之边形形和性任大
PA+PQ+QB最 小
03
例题分析
教育教学分析
例1：已知直线l：y=x+5与x轴、y轴分别交于点A、C，
A'
线m于点P， 于第三边
此时PA+PB最
小
教二育、教常学见分模析型
问题
图例
方法
数学原理
3 如图，已知两定
点A、B，动点P
在直线m上，求 |PA-PB|的最大值
A
BB
A
PP
连接BA并延长 BA交直线m于 点P，此时|PAPB|最大
三角形任意两 边之差小于第 三边
如图，已知定点
A'
nn
过A作关于直线
yy PP
把M（0,1）向右平移1个单位到M1（1,1），
MMM M1
作M1（1,1）关于x轴的对称点M2（1,-1）. 连接M2P交x轴于点F.此时ME+EF+FP的
OOO EEE FFF
xxx
最小值为EF+MM22P(.1,1), P(4,3)，M (0,1)
周长 MM2E EF FP MP
则M 2P (1 4)2 (1 3)2 5 EF MP M 2P
MP (0 4)2 (1 3)2 2 5. 1 5 2 5
教育教学分析
例2：已知M(0，1),P(4，3)，且E、F分别为x轴上
的两个动点E(a,0)、F(a+1,0).求a为何值时，四边
形PMEF周长最小？并求这个最小值.
周长 ME EF FP MP EF MP M 2P
y P
15 2 5 62 5
47
M M1
lM 2P : y 3 3
O EF
x
F ( 7 ,0)
a
4 1
7
4
M2
a 3 4
谢谢
第一讲
线段和差的最值 问题(二)
01
与最值有关的知识点
教育教学分析
01
两点之间线段最短； (点——点)
在直线外一点与直线上一点的连线中，
02
垂线段最短（垂线段最短）；
(点——线)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边
03
之差小于第三边.
02
常见模型
教二育、教常学见分模析型
问题
图例
方法
数学原理
1
如图，点P为定点， 点Q为直线m上一 动点，求PQ的最 小值
PP Q Q mm
在直线外一
过点P作
点与直线上
PQ⊥m于Q， 一点的连线
则PQ最小 中，垂线段
最短
如图，已知两定
2 点A、B，动点P
在直线m上，求 PA+PB的最小值
AA
BB
作点A关于m
的对称点A'， 三角形任意
PP mm 连接A'B交直 两边之和大