数列不等式的放缩法教案资料

5.2
)
变式3 求证： 1 2 3 L n 2 (n N)
2 1 22 2 23 3
2n n
例1
求证：1 2
1 22
1 23
L
1 2n
1
(n N)
分析 不等式左边可用等比数列前n项和公式求和. Evaluation only.
ted withCA左osp边pyorsigeh.12tS(121li0d0e1214sn -)f2o0r11.1NEA21Tsn p3o1.s5eCPliteynLt tPdr.ofile 5.2
左边 1 2 3 L n 2 n 2 2
2 22 23
2n
2n
【方法总结之一】
n
放缩法证明与数列求和有关的不等式，若 ai 可直 i 1
接求和，就先求和再放缩；若不能直接求和的，一般要
先将通项 an 放缩后E再v求alu和a.tion only. ted wit问h 题As是p将os通e.项Slaidne放s缩fo为r .可N以ET求3和.5且C“li不en大t 不Pr小of”ile的5.2
tedQwith As1pose.Slid1e( s 1for .NE1T 3).5 Client Profile 5.2 (2nCo1p)(y2rnigh1)t 202024n-201112An sp1ose Pty Ltd.
左边 1 [(1 1) (1 1) L ( 1 1 )]
2 3 35
什么样C的opbny才rig行ht呢2？00其4实-2，01能1求A和sp的os常e见P数ty列L模td型. 并不
多，主要有等差模型、等比模型、错位相减模型、裂项
相消模型等. 实际问题中， bn 大多是等比模型或裂项相
消模型.
例2 (2013广东文 )
求证： 1 1 1 L
1
1 (n N)
2 22 23
2n
变式1
求证：1 2
222Eva233luaLtion2non nly2.
(n N)
ted变w式it2hC求Aos证ppy：orsi2ge1h.1tS2li0d220e14s1-f2o0r213.11N1EATsLp3o.s52enC1Pli1teynL1t tPd(rn.ofiNle
2n 1 2n 1
1 (1 1 ) 1 表面是证数列不等式， 2 2n 1 2 实质是数列求和
变式1 求证：1 1 1 L 1 2 (n N)
22 32
n2
分析 左边不能求和，应先将通项放缩为裂项相消
模型后求和.
保留第一项，
ted
1 wQitnh2
Asnp(on1se1.)SlEidvnea1slu1faotrio1n.Nn(EonTnl3y2..)5
1 2 3 L n 2 n 2 2
2 22 23
2n
2n
表面是证数列不等式， 实质是数列求和
变式2
求证： 2
1
1
1 22
1
1 23
1பைடு நூலகம்
L
1 2n
1
1
(n N)
分析 左边不能直接求和，须先将其通项放缩后 求和，如何Ev放al缩ua？tion only.
ted注wi意thC到Aosppy2orn1sige1h.tS2li210dn0e4s-f2o0将r1.通等1NEA项比Ts放数p3o缩列.s5为eCPliteynLt tPdr.ofile 5.2
从第二项开
Clien始t P放ro缩file
5.2
左C边opy1rig(1ht 210)04(-12011) ALspo(se1Pty1L)td.
2 23
n 1 n
11 1 2 (n 2) n
当n = 1时，不等式显然也成立.
变式2 (2013广东理)
求证：1
1 22
1 32
L
1 n2
7 4
11
左边 1 1 2 22
1 23
L
1 2n
(1 ) 2 2n
1 1
1 1
2n
1
2
变式3
求证： 2
1
1
22
2
2
23
3
3
L
n 2n n
2
(n N)
分析 左边不能直接求和，须先将其通项放缩后求
和，如何放缩？
ted w注it意h A到sposne.SlEidnveaslufaotrio.将NnE通位oTn项相l3y放减..5缩模C为型lie错nt Profile 5.2 Copy2rnighnt 2020n 4-2011 Aspose Pty Ltd.
2
表面是证数列不等式， 实质是数列求和
变式1
求证：1 2
2 22
3 23
L
n 2n
2
(n N)
分析 不等式左边可用“错位相减法”求和. Evaluation only.
ted with A由sp错os位e相.Sl减ide法s得for .NET 3.5 Client Profile 5.2
Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
13 35 5 7
(2n 1)(2n 1) 2
te变 d w式i1th求A证sp：o1se21.2SlEi3d1v2easlLufaotrino1.2NnEo2Tnl(3yn..5
N )
Client
Profile
5.2
变式2 (C20o1p3广yr东ig理ht)2004-2011 Aspose Pty Ltd.
(n N)
分析 变式2的结论比变式1强，要达目的，须将
变式1放缩的“度”进行修正，如何修正？
思路一 将变式1E的va通lu项at从ion第o三n项ly.才开始放缩. ted withCAon1s2ppyornsig(enh1.tS12l)i0d0en4s1-f12o0r11n.1N(EAnTsp33o).s5eCP保第litey留三nL前项t tP两开dr.项始of，放ile从缩5.2
求证：1
1 22
1 32
L
1 n2
7 4
(n N)
变式3
求证：1
1 22
1 32
L
1 n2
5 3
(n N)
例2 (2013广东文 )
求证： 1 1 1 L
1
1 (n N)
13 35 5 7
(2n 1)(2n 1) 2
分析 左边可用裂E项va相lu消at法ion求o和nl，y.先求和再放缩.
“E放valu缩atio法n o”nly. 证 明数列不等式 ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2
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n
（一）形如 a k (k为常数） i
i 1
例1 求证：1 1 1 L 1 1 (n N)