第9章 矩阵位移法-结构矩阵分析基础

阵位移法的符号表示方法和正负号规定，则（d） 式中相应符号应做如下变换
M AB = M i
M BA = M j
FQAB = −FQi
§9-2 单元刚度阵
杆件结构的离散化 9.2.1 单元与结点的划分和编码
由若干根杆件组成的结构称为杆件结构。使用 矩阵位移法分析结构的第一步，是将结构“拆散” 为一根根独立的杆件，这一步骤称为离散化。为方 便起见，常将杆件结构中的等截面直杆作为矩阵位 移法的独立单元，这就必然导致结构中杆件的转折 点、汇交点、支承点、截面突变点、自由端、材料 改变点等成为连接各个单元的结点。只要确定了杆 件结构中的全部结点，结构中各结点间的所有单元 也就随之确定了。
3）单元杆端力和杆端位移
单元杆端截面的内力和位移分别称为单元杆端 力和杆端位移。
下图所示为平面刚架中的单元 e ，其始端为i， 末端为j。
13
§9-2 单元刚度阵
f 3 ( 3)
f1 ( 1)
i
e
f 2 ( 2)
j f 6 ( 6)
y
f 5 ( 5)
x
f4 ( 4)
(a) 单元坐标系下的广义分量
Mi ( i)
(b)
7
§9-2 单元刚度阵
9.2.2 两种直角坐标系
结构离散化后，杆件单元的方向千差万别。在 作整体分析时，需要在结点处建立平衡方程，为此 又需要一个统一的计算基准坐标系。因此，这里引 入两套直角坐标系来建立后续需要研究的力和位移 等物理量之间的关系。
（1）单元坐标系
单元坐标系（又称局部坐标系）是单元分析时 使用的坐标系，它只与具体某一单元相对应。对结 构中任意单元 e ，本章约定其坐标系用 x − y表示； 坐标系原点取为该单元一端的端结点i（称为始结 点或始端）；由原点指向另一端结点j（称为末结 点或末端）的方向，为杆轴 x 坐标正向，记作x (e) ；
2
§9-1 概述
结构力学的矩阵分析方法是将矩阵数学的理论 引入结构力学而得，即在进行结构矩阵分析时，仍 旧沿用传统结构力学的基本假定、基本原理和基本 方法，而在公式和各种表达式的表述方法上使用矩 阵形式。矩阵化的表述方式具有简洁、规范、易于 排错的优点，因而容易转化成计算机程序，方便计 算机软件的开发。
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§9-2 单元刚度阵
(e)
f1 f2
FNi FQi
(e)
Fe
=
Fi e
F
e j
=
f3
f4
=
M
i
FNj
f5
FQj
f6 M j
单元坐标系中的单元杆端位移列阵为
(e)
dd12
ui
(e)
vi
δe
=
δie
δ
e j
=
d
3
d4
=
qi
u j
12
§9-2 单元刚度阵
2）结点位移
由于矩阵位移法不再为了简化计算而忽略杆件 的轴向变形，因此，对于平面刚架中的每个刚结点 而言，有三个相互独立的位移分量：水平方向的线 位移分量u，竖直方向的线位移分量v，和结点的转
角位移分量q。对于这三个分量，本章约定线位移
与整体坐标系方向一致为正，转角以顺时针转向为 正，反之为负。
i
Fyi ( vi )
y
x
e Mj( j)
j Fyj ( vj )
Fxj ( uj )
(d) 整体坐标系下的分量
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§9-2 单元刚度阵
约定单元所有杆端力和杆端位移分量分别用广
义符号f和d 表示，当参照系为单元坐标系时，还需 在f和d上添加上划线，即用 “ f ”和“d ”以示区
别。为区别两端结点各方向的分量，约定始端i沿x 或坐标方向为1号方向，沿y或方向为2号方向，转 角方向为3号方向；依此类推，末端j的三个方向分 别用4、5、6表示。
e、F
e j
、Fie
、F
e j
和
δie、
δ je、
δie
、
δ
e j
分别代表相应坐标系中杆端i和j
的力与位移。
矩阵位移法的正负号规定与位移法和材料力学
中的规定不尽相同，请读者注意区分。
19
§9-3 单元坐标系中的单元刚度矩阵
9.3 单元坐标系中的单元刚度矩阵
9.3.1 一般单元
一般单元是指其始末两端每端有三个、两端共 6个独立位移未知量的平面刚架单元，如下图所示。
上图中（a）和（c）标明了两套坐标系中所有 24个广义分量（括号中的是广义位移分量）。约定 各分量与相应坐标系正向一致时为正，力矩或转角 分量以顺时针转动为正，反之为负。
单元杆端力和杆端位移分量，也可以按它们实 际的物理意义表示为上图（b）和（d）的形式。
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§9-2 单元刚度阵
即用轴力、剪力、弯矩和水平位移分量u、竖直位
i
j
j1
FNj x
EA
l
uj
(a)
(b)
同理如图（b），当杆端j发生轴向位移 u j而杆 端i不动时，有
FNi
=
−
EA l uj
FNj
=
EA l uj
（b）
如果同时在杆端i和j分别发生了轴向位移 ui和u j ， 只需将（a）、（b）两式中对应的轴向杆端力叠加 起来即可.
22
§9-3 单元坐标系中的单元刚度矩阵
EA EA FNi = l ui − l u j
FNj
=
−
EA l ui
+
EA l uj
（c）
2）弯曲受力状态下，杆端剪力及杆端弯矩同垂 直于杆轴方向的相对线位移及杆端转角之间的关系
两端固定的单跨超静定梁AB，在无外荷载的 作用时，其位移法的转角位移方程为
23
§9-3 单元坐标系中的单元刚度矩阵
体坐标系的目的是使各物理量在进行整体分析时有
统一的衡量尺度。本章约定整体坐标系使用x-y表 示，x轴正方向水平向右，以x轴沿顺时针方向旋转 90°为y轴正向，即y轴正方向竖直向下，整体坐标 系原点可取为任意点。
O
3
x
2
2
x (2)
y (2)
1
x (1)
1
y (1)
O
3
2
2
1 1
y (a)
y (b)
10
M AB
=
4EI l
qA
+
2EI l
qB
−
6EI l2
AB
M BA
=
2EI l
qA
+
4EI l
qB
−
6EI l2
AB
FQAB
=
FQBA
=
− 6EI l2
qA
−
6EI l2
qB
+ 12EI l3
AB
（d）
如果把该梁视矩阵位移法的一般单元，使其A和B 两端分别同一般单元的始端i和末端j对应。使用矩
将力法和位移法同矩阵数学相结合，产生出矩 阵力法和矩阵位移法。相对于力法而言，位移法具 有基本结构唯一和可以求解静定结构两大优势，这 些特点使得矩阵位移法更适用于进行结构分析软件 的开发。因此，本章将重点介绍平面杆件结构的矩 阵位移法。
3
§9-1 概述
矩阵位移法基本原理同位移法一样，仍旧以结 点位移为基本未知量，通过平衡方程求解这些基本 未知量，然后计算结构的内力。用矩阵位移法进行 结构分析的基本要点是： 1）结构离散化
d
5
v
j
d6 q j
（9.1）
（9.2）
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§9-2 单元刚度阵
公式（9.3）和（9.4）给出了参照系为整体坐 标系时，分别使用广义方式和传统方式表示的单元 杆端力和杆端位移列阵。
整体坐标系中的单元杆端力列阵为
f1 (e) Fxi (e)
f
2
Fyi
Fe
=
Fi e
F
e j
=
i
E, I, A, l
j
x
vi vj
FNi i1
Mi
i
FQi
ui
y
Mj
j
uj
j1 FNj
FQj
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§9-3 单元坐标系中的单元刚度矩阵
表示单元杆端力和杆端位移之间转换关系的方 程，称为单元刚度方程。矩阵位移法不再忽略轴向 变形，但仍忽略在线弹性小变形的前提下，轴向受 力状态和弯曲受力状态间的相互影响。因此，可以 分别推导这两种受力状态下杆端力和杆端位移之间 的转换关系 。
f3 f4
=
Mi Fxj
f5
Fyj
f6 单元刚度阵
整体坐标系中的单元杆端位移列阵为
d1 (e) ui (e)
d
2
vi
δe
=
δδieej
=
d d
3 4
=
uqij
d
5
v
j
d6 q j
（9.4）
以上4式中的列阵子块
Fi
FNi
(
u i
)
i
e
FQi ( vi )
j Mj ( j )
y
FQj ( vj )
FNj
(
u j
)
x
(b) 单元坐标系下的分量
f 3 ( 3) O
f 1 ( 1)
i
f 2 ( 2)
y
e
j f 5 ( 5)
x f 6 ( 6)
f 4 ( 4)
(c) 整体坐标系下的广义分量
Mi( i) O
Fxi ( ui )
移分量v、转角位移分量q 等我们熟知的表示方法
来绘制。采取传统方法表示时，各分量用下标注明 其作用的结点；同时，若参照系为单元坐标系，各 分量还需添加上划线以示区别。
公式（9.1）和（9.2）给出了参照系为单元坐 标系时，分别使用广义方式和传统方式表示的单元 杆端力和杆端位移列阵。
单元坐标系中的单元杆端力列阵为
第9章 矩阵位移法
● 基本要求 掌握用矩阵位移法计算平面杆件结构的原理 和方法。包括杆件结构的离散化；单元和结构坐标系下单元 刚度矩阵的形成；用单元定位向量形成结构刚度矩阵；形成 结构的综合结点荷载列阵；结构刚度方程的形成及其求解； 计算结构杆端内力。掌握矩阵位移法的计算步骤。
● 重点 用先处理法形成结构刚度矩阵和结构的综合结点 荷载列阵。
● 难点 用先处理法形成结构刚度矩阵中各步骤的物理意 义；单元刚度矩阵和结构刚度矩阵中刚度系数的物理意义和 求法；矩阵位移法与位移法之间的联系与区别。
1
§9-1 概述
计算机辅助设计（CAD）中使用到的诸多结构分析软件 都以有限单元法（简称有限元法）为理论依据，有限元法是 一种近几十年发展起来的新方法，从数学角度来说，它是求 解偏微分方程定解问题的数值分析方法之一；从力学角度来 说，它是求取基于变分原理的近似解的方法之一；而从我们 最熟识的工程结构的角度来说，它是结构力学的矩阵分析方 法在连续介质力学中的合理应用。
8
§9-2 单元刚度阵
以轴沿顺时针方向旋转90°为坐标轴 y 正向，记 作 y(e)，如下图所示。
O
3
x
2
2
x (2)
y (2)
1
x (1)
1
y (1)
O
3
2
2
1 1
y
（2）整体坐标系 (a)
y (b)
整体坐标系（又称结构坐标系）是整体分析时 使用的坐标系，它不和任何单元直接相关。设置整
9
§9-2 单元刚度阵
将结构划分为有限个单元，各单元只在有限个 结点处相互连接。对于杆件结构，单元常取为等截 面直杆，各单元通过刚结点、铰结点等各类结点相 连组成结构，这相当于位移法中获取基本结构的这 一步骤.
4
§9-1 概述
2）单元分析
单元分析的任务是获取单元杆端力与单元杆端 位移之间的关系，建立单元刚度矩阵。这相当于位 移法中获得形常数和转角位移方程的步骤。单元杆 端位移一旦求得，单元杆端力即可通过单元刚度方 程求得。
3）整体分析
整体分析是将单元刚度矩阵按照刚度集成规则 直接形成结构刚度矩阵，并建立整体结构的刚度方 程。这相当于位移法中建立典型方程的步骤。整体 分析将打散的单元重新集成为结构，进而引入结构 的边界条件（力平衡边界条件和变形协调边界条件） 为求解结构刚度方程做好准备。
求解结构刚度方程得到各结点位移后，只需再 返回单元分析，即可求出各单元杆端力，进而绘出 5 结构内力图。
1）轴向受力状态下，轴向杆端力同轴向杆端 位移之间的关系
如图（a），如果杆端i发生轴向位移 ui 而杆端j
不动时，根据材料力学和平衡条件 Fx = 0 ，有
EA FNi = l ui
EA FNj = − l ui
（a）
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§9-3 单元坐标系中的单元刚度矩阵
FNi
i
i1
j
FNj x
EA ui
l
FNi
(1)结点荷载和支反力
结点荷载是指作用于结点上的荷载。本章约定 结点集中力和支反力均以与整体坐标系方向相同时 为正，反之为负。结点集中力偶和支座反力偶以顺 时针转向为正，反之为负。
(2)非结点荷载
非结点荷载是指作用于杆件上的荷载。本章约 定非结点集中力和分布力以单元坐标系正向相同时 为正，反之为负。非结点集中力偶，仍以顺时针转 向为正，反之为负。
6
§9-2 单元刚度阵
确定结点时，常常采用顺序编号的方法，这些 编号称为结点码。在确定完结点码后，对结点间的 单元也依次编号，从而获得单元码。如图所示分别 是两个结构离散化后的结点和单元编码情况。
1 E1I E2I 3
67 9
1
2
2 EI1
3
5
6
8
4
7
EI2 4
5
8
(a)
2
4
1
35
1
2
3
4 7
5 6
§9-2 单元刚度阵
为了使图形看起来简洁清爽，一般不再标出单 元坐标系，通常在各单元的杆轴上绘一箭头表明 x 轴的正向即可，如图（b）所示。
O
3
x
2
2
x (2)
y (2)
1
x (1)
1
y (1)
O
3
x
2
2
1 1
y (a)
y (b)
11
§9-2 单元刚度阵
9.2.3 力和位移的正负号规定
1）外荷载和支反力