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分离变量法习题
第十章习题解答
1求解混合问题
«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»
解：用分离变量法：设混合问题的非零解函数为«Skip Record If...»，则， «Skip Record If...»
代入混合问题中的微分方程可得：
«Skip Record If...»
由初始条件可得：«Skip Record If...»由此可得，«Skip Record If...»为如下常微分方程边值问题的非零解：
«Skip Record If...»
若λ<0，则此定解问题的微分方程的通解为
«Skip Record If...»，
代入边值条件后可得«Skip Record If...»，不符合要求。

若λ=0，则此定解问题的微分方程的通解为
«Skip Record If...»，
代入边值条件后仍可得«Skip Record If...»，不符合要求。

若λ>0，则此定解问题的微分方程的通解为
«Skip Record If...»，
代入边界条件后可得：
«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
所以可取«Skip Record If...»
由«Skip Record If...»所满足的方程可得：
«Skip Record If...»，
所以，原混合问题的微分方程的满足边界条件的分离变量形式解为«Skip Record If...»，
设原混合问题的解函数为«Skip Record If...»，
则由初始条件可得：«Skip Record If...»
«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»（*）
所以，原混合问题的解为«Skip Record If...»，其中的«Skip Record If...»由（*）给出。

2求解混合问题
«Skip Record If...»
解：由于边界条件非齐次，需作函数变换如下：设
«Skip Record If...»，
则 «Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
所以，«Skip Record If...»是原混合问题的解的充要条件是：«Skip Record If...»是如下混合问题的解：
«Skip Record If...»（*）
用分离变量法求解此定解问题，由分离变量法的标准步骤可得：
«Skip Record If...»，
代入初始条件可得：，
«Skip Record If...»， «Skip Record If...»
所以，«Skip Record If...»，
原混合问题的解函数为«Skip Record If...»
3求解下列阻尼波动问题的解：
«Skip Record If...»
其中，h为正常数，且«Skip Record If...»。

解：使用分离变量法，设原定解问题的微分方程有如下分离变量形式非零解函数满足边界条件： «Skip Record If...»
则容易算得：«Skip Record If...»，
代入方程后化简可得：«Skip Record If...»
«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»，
由«Skip Record If...»的非零性可得«Skip Record If...»，此时，«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
取«Skip Record If...»得：«Skip Record If...»
将«Skip Record If...»代入«Skip Record If...»所满足的方程可得：«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
从而有： «Skip Record If...»，
其中 «Skip Record If...»，（1）
设原混合问题的解函数为：
«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
而 «Skip Record If...»，
所以 «Skip Record If...»（2）
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»。

（3）
所以，原混合问题的解是«Skip Record If...»，其中的 «Skip Record If...»分别由（1）式、（2）式、（3）式给出。

4求解混合问题
«Skip Record If...»
其中L、C、G、R为常数，且LG=RC。

（提示：作函数变换«Skip Record If...»）
解：记«Skip Record If...»，混合问题的微分方程两边同除LC，方程可化为 «Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
设«Skip Record If...»，则有 «Skip Record If...»，
而且，«Skip Record If...»，
所以 «Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
所以，若«Skip Record If...»是原混合问题的解函数，则«Skip Record If...»是如下混合问题的解函数：
«Skip Record If...»
用分离变量法求解此混合问题，设方程的分离变量解形式的满足边界条件的非零解为 «Skip Record If...»，则 «Skip Record If...»，
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
由齐次边界条件可得，«Skip Record If...»为如下定解问题的解：
«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，取«Skip Record If...»得«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
设 «Skip Record If...»
代入初始条件可得：«Skip Record If...»，
所以 «Skip Record If...»
所以，原题目所给的混合问题的解函数为：
«Skip Record If...»。

5用固有函数法求解
«Skip Record If...»
解：用分离变量法：设原混合问题的微分方程对应的齐次方程有如下分离变量形式的非零解函数：«Skip Record If...»，利用分离变量法的标准步骤可求得：
«Skip Record If...»
将«Skip Record If...»展开成«Skip Record If...»的广义Fourier级数如下：
«Skip Record If...»，«Skip Record If...»
[注：方程«Skip Record If...»的通解为
«Skip Record If...»，
代入初始条件即可得此处的结果。

]
所以，题目所给的混合问题的解函数为
«Skip Record If...»。

6．求解混合问题«Skip Record If...»。

解：用分离变量法：设混合问题中的微分方程有如下满足边界条件的分离变量形式的非零解函数：«Skip Record If...»，则
«Skip Record If...»，
代入方程后化简再由边界条件可得：
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»，
所以，«Skip Record If...»为如下常微分方程边值问题的非零解函数：
«Skip Record If...»
解之得 «Skip Record If...»，
«Skip Record If...»。

设原问题的解函数为 «Skip Record If...»，
由初始条件可得： «Skip Record If...»，
由此可得： «Skip Record If...»，
所以， «Skip Record If...»
7．求解混合问题«Skip Record If...»
解：用分离变量法：设混合问题中的微分方程有如下满足边界条件的分离变量形式的非零解函数：«Skip Record If...»，则
«Skip Record If...»，
代入方程后化简，并由边界条件可得：
«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
所以，«Skip Record If...»为如下常微分方程边值问题的解函数：
«Skip Record If...»
由«Skip Record If...»是非零解可得：«Skip Record If...»
«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»
设 «Skip Record If...»，则«Skip Record If...»
所以，«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
设原混合问题的解函数为 «Skip Record If...»，
利用«Skip Record If...»的正交性可求得 «Skip Record If...»。

[注]：可以证明：«Skip Record If...»具有正交性。

8．求解混合问题«Skip Record If...»，
其中，«Skip Record If...»为常数。

解：作函数变换 «Skip Record If...»，
则 «Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»
所以，«Skip Record If...»是原混合问题的解的充要条件是«Skip Record If...»是如下混合问题的解：
（*） «Skip Record If...»
用分离变量法求解（*），由分离变量法的标准步骤可得：
«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
代入初始条件可得：«Skip Record If...»
由«Skip Record If...»的正交性可得：«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
所以，«Skip Record If...»
«Skip Record If...»。

9．求解 «Skip Record If...»。

解：用分离变量法：设给定的定解问题中的微分方程有如下满足齐次边界条件的分离变量形式非零解： «Skip Record If...»，则
«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
所以，«Skip Record If...»为如下常微分方程边值问题的解函数：
«Skip Record If...»，
从而有：«Skip Record If...»
又由另一个边界条件可得：
«Skip Record If...»，
设原定解问题的解函数是«Skip Record If...»，
则 «Skip Record If...»
«Skip Record If...»，
所以， «Skip Record If...»。

10．求解边值问题：
«Skip Record If...»。

解：用分离变量法：设给定的定解问题中的微分方程有如下分离变量形式的满足齐次边界条件的非零解： «Skip Record If...»，
则有： «Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，同理 «Skip Record If...»，
所以，«Skip Record If...»是如下二阶常微分方程边值问题的解函数：
«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
设原定解问题的解为：«Skip Record If...»，
则 «Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
所以， «Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»。

所以，原定解问题的解函数为«Skip Record If...»，
其中的«Skip Record If...»由以上式子给出。

11．求解边值问题
«Skip Record If...»，
提示：令«Skip Record If...»而«Skip Record If...»满足条件«Skip Record If...»。

解：令«Skip Record If...»，
则 «Skip Record If...»，
«Skip Record If...»
所以， «Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»
所以，«Skip Record If...»是原定解问题的解的充要条件是«Skip Record If...»是如下定解问题的解：
（*） «Skip Record If...»，
用分离变量法求解（*），由分离变量法的标准步骤可得：
«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»，
设（*）的解函数为«Skip Record If...»
则 «Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，（其中 «Skip Record If...»）
若记 «Skip Record If...»，
则有： «Skip Record If...»，
其中，«Skip Record If...»由以上各式给出。

而题目所给的定解问题的解函数为
«Skip Record If...»。

12．求解边值问题
«Skip Record If...»。

解：用分离变量法求解此定解问题：设«Skip Record If...»，由分离变量法的标准过程可得 «Skip Record If...»
«Skip Record If...»设原定解问题的解函数为
«Skip Record If...»，
则由关于«Skip Record If...»的边界条件可得：«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
所以 «Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
所以， «Skip Record If...»
所以，……。

13.求解混合问题
«Skip Record If...»。

解：用分离变量法求解此混合问题：设原给定的混合问题中的微分方程对应的齐次方程有如下分离变量形式的满足边界条件的非零解：
«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»,
由边界条件可得：«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
所以，«Skip Record If...»是如下边值问题的非零解函数：
«Skip Record If...»
求解此问题，可当«Skip Record If...»时，问题有非零解，其解函数集构成一个一维线性空间，它的一个基向量函数为«Skip Record If...»，
令 «Skip Record If...»，
则 «Skip Record If...»
令«Skip Record If...»为如下初值问题的解函数：
«Skip Record If...»，（1）
则«Skip Record If...»，对于n=2,可用常数变易法来求：
«Skip Record If...»
设（1）的解函数为 «Skip Record If...»，
则 «Skip Record If...»
令 «Skip Record If...»，
则 «Skip Record If...»，
«Skip Record If...» «Skip Record If...»，
也就是： «Skip Record If...»，
求解此线性方程组得：«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
所以，（1）的解为：
«Skip Record If...»
由初始条件«Skip Record If...»可得：«Skip Record If...»，
所以， «Skip Record If...»，
所以，题目所给的定解问题的解函数为：
«Skip Record If...»。

14．求解混合问题
«Skip Record If...»。

解：作函数变换«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»为待定函数，则 «Skip Record If...»，
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»，
设«Skip Record If...»是原定解问题的解函数，
取«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»，则有：
«Skip Record If...»，
而 «Skip Record If...»
«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
所以，«Skip Record If...»为如下定解问题的解函数：
（*） «Skip Record If...»，
用分离变量法求解此定解问题：由分离变量法的标准过程可得：
«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»
设（*）的解函数为
«Skip Record If...»，
由初始条件可得：«Skip Record If...»
可得： «Skip Record If...»
«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»«Skip Record If...»
所以，«Skip Record If...»，
所以，题目所给的定解问题的解函数为«Skip Record If...»。

15．求解混合问题
«Skip Record If...»。

[注]：此定解问题中的微分方程非齐次项中的«Skip Record If...»应为«Skip Record If...»，才能得到书中答案。

解：先将边界条件齐次化：令«Skip Record If...»，
则 «Skip Record If...»，
若«Skip Record If...»是原定解问题的解函数，则
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
所以，«Skip Record If...»是如下定解问题的解函数：
«Skip Record If...»«Skip Record If...»，
所以，原定解问题的解函数为 «Skip Record If...»
16．求解 «Skip Record If...»。

解：作如下函数变换：«Skip Record If...»，若«Skip Record If...»是原定解问题的解函数，则经验证可得：«Skip Record If...»是如下定解问题的解函
数：
«Skip Record If...»
用分离变量法求解此定解问题：设«Skip Record If...»，
由分离变量法的标准过程可得：«Skip Record If...»，
由«Skip Record If...»所满足的方程可得：«Skip Record If...»，
由边界条件可得：«Skip Record If...»，取«Skip Record If...»，则得«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
所以， «Skip Record If...»，
其中， «Skip Record If...»是方程«Skip Record If...»的所有正解。

因为 «Skip Record If...»，
令 «Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
则 «Skip Record If...»，
设原定解问题的解函数为«Skip Record If...»，
则 «Skip Record If...»，
从而有： «Skip Record If...»，
由初始条件可得：«Skip Record If...»，
所以，«Skip Record If...»为如下初值问题的解函数：
«Skip Record If...»
用常数变易法：«Skip Record If...»，
设此边值问题的解为： «Skip Record If...»，
经简单推导得： «Skip Record If...»，
解此线性方程级：«Skip Record If...»
积分并利用初始条件可得：
«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
所以， «Skip Record If...»，
其中的«Skip Record If...»、«Skip Record If...»、«Skip Record If...»和«Skip Record If...»均由以上各式给定。

[注]课本上的答案为此处的a=1。

17．求解 «Skip Record If...»。

解：设«Skip Record If...»是原定解问题的解函数，作函数变换«Skip Record If...»，
则 «Skip Record If...»
«Skip Record If...»，
所以，«Skip Record If...»是如下定解问题的解函数：
«Skip Record If...»
用分离变量法求解此定解问题：设«Skip Record If...»为微分方程的满足齐次边界条件的非零解函数，则将«Skip Record If...»代入方程后化简可得： «Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
所以，«Skip Record If...»为如下边值问题的非零解函数：
«Skip Record If...»
将«Skip Record If...»代入«Skip Record If...»的方程可得：
«Skip Record If...»，
所以， «Skip Record If...»。

设 «Skip Record If...»，
则由初始条件可得：«Skip Record If...»
可得： «Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
所以， «Skip Record If...»。

18．求解 «Skip Record If...»。

解：设«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
所以，«Skip Record If...»是如下定解问题的解函数：
«Skip Record If...»，
用分离变量法可求得：
«Skip Record If...»，
其中，«Skip Record If...»。

所以， «Skip Record If...»。

21．在扇形区域内求解边值问题
«Skip Record If...»。

解：由极坐标下的Laplace算子表达式可知：
«Skip Record If...»。

用分离变量法求解此定解问题：设«Skip Record If...»，代入以上微分方程化简后可得：«Skip Record If...» «Skip Record If...»，
所以，«Skip Record If...»是如下边值问题的非零解函数：
«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
又显然有：«Skip Record If...»，也就是：«Skip Record If...»，
所以， «Skip Record If...»，
设原定解问题的解函数是 «Skip Record If...»，
由关于r的边界条件可得：«Skip Record If...»，
其中 «Skip Record If...»，
所以， «Skip Record If...»。

22 求解边值问题 «Skip Record If...»。

解：由极坐标下的Laplace算子表达式可知：
«Skip Record If...»
用分离变量法求解：设«Skip Record If...»代入方程中并化简得： «Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
将«Skip Record If...»代入«Skip Record If...»所满足的方程可得： «Skip Record If...»，
设原定解问题的解函数为 «Skip Record If...»，
由r的边界条件可得： «Skip Record If...»，
容易得到： «Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
所以， «Skip Record If...»。

23．求解边值问题 «Skip Record If...»
解：作函数变换 «Skip Record If...»，
则有： «Skip Record If...»
此时，有： «Skip Record If...»，
所以，«Skip Record If...»是如下边值问题的解函数：
«Skip Record If...»
将此定解问题由直角坐标改为极坐标：
«Skip Record If...»，
用分离变量法求解此定解问题：设«Skip Record If...»，由分离变量法的标准步骤容易得到： «Skip Record If...»，
由«Skip Record If...»的实际意义可知：«Skip Record If...»是以«Skip Record If...»为周期的周期函数，«Skip Record If...»
所以 «Skip Record If...»
«Skip Record If...»，
设 «Skip Record If...»
由关于r的边界条件可得：«Skip Record If...»，
而 «Skip Record If...»
«Skip Record If...»，
所以， «Skip Record If...»，
其余的«Skip Record If...»、«Skip Record If...»的值均为零。

所以， «Skip Record If...»，
«Skip Record If...»。

24. 求解边值问题 «Skip Record If...»。

解：因为其自变量的取值区域是扇形区域，所以可在极坐标系下用分离变量法求解此定解问题，因为， «Skip Record If...»，
设 «Skip Record If...»，求出其各阶偏导数并代入方程后化简可得：
«Skip Record If...»
由«Skip Record If...»关于«Skip Record If...»的边界条件可得 «Skip Record If...»
所以 «Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
设原定解问题的解函数为 «Skip Record If...»，
则 «Skip Record If...»，
由边界条件得 «Skip Record If...»
从而有： «Skip Record If...»（1）
所以，原定解问题的解函数为«Skip Record If...»，
其中的系数由（1）式给出。

25．求解边值问题 «Skip Record If...»
解：设«Skip Record If...»，作函数变换«Skip Record If...»，
则 «Skip Record If...»
在极坐标下： «Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
经验算得知： «Skip Record If...»，
所以，«Skip Record If...»为如下边值问题的解函数：
«Skip Record If...»«Skip Record If...»
用分离变量法求解，设«Skip Record If...»代入方程并化简得：
«Skip Record If...»，
由关于«Skip Record If...»的边界条件可得：«Skip Record If...»，由此可得： «Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»。

设 «Skip Record If...»，
则 «Skip Record If...»，
由可求得： «Skip Record If...»，
其中， «Skip Record If...»，
«Skip Record If...»。