最新分离变量法习题
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分离变量法习题
第十章习题解答
1求解混合问题
«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»
解：用分离变量法：设混合问题的非零解函数为«Skip Record If...»，则， «Skip Record If...»
代入混合问题中的微分方程可得：
«Skip Record If...»
由初始条件可得：«Skip Record If...»由此可得，«Skip Record If...»为如下常微分方程边值问题的非零解：
«Skip Record If...»
若λ<0，则此定解问题的微分方程的通解为
«Skip Record If...»，
代入边值条件后可得«Skip Record If...»，不符合要求。
若λ=0，则此定解问题的微分方程的通解为
«Skip Record If...»，
代入边值条件后仍可得«Skip Record If...»，不符合要求。
若λ>0，则此定解问题的微分方程的通解为
«Skip Record If...»，
代入边界条件后可得：
«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
所以可取«Skip Record If...»
由«Skip Record If...»所满足的方程可得：
«Skip Record If...»，
所以，原混合问题的微分方程的满足边界条件的分离变量形式解为«Skip Record If...»，
设原混合问题的解函数为«Skip Record If...»，
则由初始条件可得：«Skip Record If...»
«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»（*）
所以，原混合问题的解为«Skip Record If...»，其中的«Skip Record If...»由（*）给出。
2求解混合问题
«Skip Record If...»
解：由于边界条件非齐次，需作函数变换如下：设
«Skip Record If...»，
则 «Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
所以，«Skip Record If...»是原混合问题的解的充要条件是：«Skip Record If...»是如下混合问题的解：
«Skip Record If...»（*）
用分离变量法求解此定解问题，由分离变量法的标准步骤可得：
«Skip Record If...»，
代入初始条件可得：，
«Skip Record If...»， «Skip Record If...»
所以，«Skip Record If...»，
原混合问题的解函数为«Skip Record If...»
3求解下列阻尼波动问题的解：
«Skip Record If...»
其中，h为正常数，且«Skip Record If...»。
解：使用分离变量法，设原定解问题的微分方程有如下分离变量形式非零解函数满足边界条件： «Skip Record If...»
则容易算得：«Skip Record If...»，
代入方程后化简可得：«Skip Record If...»
«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»，
由«Skip Record If...»的非零性可得«Skip Record If...»，此时，«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
取«Skip Record If...»得：«Skip Record If...»
将«Skip Record If...»代入«Skip Record If...»所满足的方程可得：«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
从而有： «Skip Record If...»，
其中 «Skip Record If...»，（1）
设原混合问题的解函数为：
«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
而 «Skip Record If...»，
所以 «Skip Record If...»（2）
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»。（3）
所以，原混合问题的解是«Skip Record If...»，其中的 «Skip Record If...»分别由（1）式、（2）式、（3）式给出。
4求解混合问题
«Skip Record If...»
其中L、C、G、R为常数，且LG=RC。（提示：作函数变换«Skip Record If...»）
解：记«Skip Record If...»，混合问题的微分方程两边同除LC，方程可化为 «Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
设«Skip Record If...»，则有 «Skip Record If...»，
而且，«Skip Record If...»，
所以 «Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，
所以，若«Skip Record If...»是原混合问题的解函数，则«Skip Record If...»是如下混合问题的解函数：