4 博弈分析

博弈的扩展式

也称博弈的展开式 把一个有n个参与者的博弈用一株有根的树来 表示，根表示选择的始点，是最初的决策结点， 从根出发，参与者顺次做出决定，每一个选择 形成一个方案枝，直到博弈结束。每一条从根 出发到达终结点的路线都是一个参与者方案的 排列组合，对应一个含各参与者的收益集合。 扩展式表达形成了一个有始点、定向无循环的 树型图，因而也被称为博弈树。
C
收益：（囚徒甲，囚徒 乙）
-5 -5
0 -8
-8 0
-1 -1
1 L R
c1c2
2
参与者2 c1d d 1 c2 (2,1) (3,3)
2
d1d2 (4,2) (3,3)
2
c1 2 1 d1 4 2 c2 5 2
d2 3 3
参与者 L 1 R
(2,1) (5,2)
(4,2) (5,2)

例：A、B玩游戏报数，从1至10，每次报1个 或2个数，报30的输。试试看，写出其扩展型。
小蜈蚣博弈

假设有两个参与者1，2。可选行动为C－进行 游戏，D－终止游戏。扩展式博弈如下。
1
D
（1,0）
C D
2 C
1
D C 2 C D D 1 C 2 C
(1,0) C D √ ∥2(-1,3)
1 （1,0） D C
（-1,3）
（2,1）
√ ∥(2,1) 1 D C （3,2） D √ ∥2(0,4) （-1,3） C （1,5） D 1 （2,1） √ ∥ (3,2) C D √ ∥2 (1,5) （0,4） C D √ ∥ （4,3） （3,2）
（0,4） （1,5）
（
小蜈蚣博弈有唯一的完美均衡：参与者1一开始就选择D结束 游戏。否则，是参与者2选择D结束游戏···。即每一个参与者 ··· 都选择D结束游戏。

试分析下图扩展式博弈的子博弈完美均衡。
1 C 2 F
（4,0）
D 2
E 2 J
K
G
H
L
（1,3）
（1,0）（1,1） （2,1） （2,2）
纳什均衡


对于一个策略组合，如果保持其他参与者的策略不变， 而任意一个参与者的策略都是最优的，那么该策略组 合就是纳什均衡。 纳什均衡是判断一个策略组合是否为均衡的充要条件。 严格优策略均衡一定是纳什均衡，重复剔除严格劣策 略所得到的均衡解也一定是纳什均衡，但纳什均衡不 一定是严格优策略均衡和重复剔除严格劣策略的均衡 解。因而，一个可以用策略式表达的完全信息静态博 弈可以用求严格优策略均衡解或重复剔除严格劣策略、 划线法、箭头法等方法进行求解。
重复剔除严格劣策略均衡解(IEDS)


在博弈中，如果参与者i有两个可行策略si＇,si＂，对 于任意其他参与者的策略组合，有 ui(s1,·· ·,si‘,·· ＞ui(s1,·· si“,·· ·,sn) ·, ·,sn)成立,则si” 就称为相对于策略si’的严格劣策略。即参与者i的策 略si“的收益总是劣于策略 si‘的收益，则称si”为参 与者i的严格劣策略。 性的博弈参与者绝不会选择严格劣策略，因而，可以 通过不断剔除博弈参与者的严格劣策略得到博弈的均 衡解。这种方法称为重复剔除严格劣策略均衡解 （Iterative Elimination of Dominated Strategy）的方 法。

例，囚徒困境可以表达为： G＝{S1，S2；U1,U2}，
– –
–
（1）参与者集合。N＝{1，2}；表示有两个参与者：囚徒1和 2； （2）行动集合。S1＝{s11,s12}，S2={s21,s22}；分别表示囚徒 1有两个可选行动：坦白，抵赖；囚徒2有两个可选行动：坦 白，抵赖； （3）收益函数。U1(s11,s21)＝－5，u1(s11,s22)＝0， u1(s12,s21)＝－8，u1(s12,s22)＝－1；u2（s11,s21）＝－5，u2 (s11,s22)＝－8，u2 (s12,s21)＝0，u2(s12,s22)＝－1。故U1＝ （－5，0，－8，－1），U2＝（－5，0，－8，－1）。
简单博弈分析方法

严格占优策略均衡解 重复剔除严格劣策略均衡解 划线法 箭头法
严格占优策略均衡解（Dominant-strategy Equilibrium）

在博弈中，如果在其他参与者任意的策略组合 下，参与者i存在一个策略si*，使得对于任意 的si∈Si,si*≠si,均有i的收益 ui(s1,·· ·,sn)＞ui(s1,·· ·,sn)成立， ·,si*,·· ·,si,·· 则称为si*参与者i的严格占优策略。严格优策 略是在其他参与者任意策略组合下，参与者i 优于其它策略收益的策略。
上 参与者A 下
参与者B 左 中 右 (1，0) (1，2) (0，1) (0，3) (0，1) (2，1)
左 中 右
收益：（参与者A，参与者B）
上 （1 ，0） （1，2） （0，1） 下 （0，3） （0，1） （2，0）
箭头法


箭头法是以博弈各参与者在追求个人收益最大化过程中不断调整 行动、最终达到一个相对稳定状态的过程为基础提出的求解博弈 均衡的方法。 选取博弈中的任一个策略组合、任一参与者作为始点进行分析， 考察在该策略组合处参与者能否通过单独改变自己的策略而增加 收益。如能，则从所分析的策略组合对应的收益组合引一箭头到 改变策略后策略组合对应的得益组合；在此收益组合下，分析其 他参与者能否通过改变策略增加收益，如能，则以箭头导向新的 组合，·· ·，直至各个参与者不能通过单方改变策略获得更多收益 为止。此时，只有指向的箭头而没有指离的箭头的收益组合对应 的策略组合即为博弈的均衡解。
囚徒乙 坦白 抵赖
囚 坦白 徒 甲 抵赖
－5，－5 －8，0
0，－8 －1，－1
收益：（囚徒Baidu Nhomakorabea，囚徒乙）

当博弈有两个以上的参与者时，博弈的策略式可以用 参与者、策略、收益来表达：
– – –
–
G＝{S1,S2,· ,Sn：U1,U2,· Un},或简写为G＝{S，U}，其中， · · · · （1）参与者集合。用N＝{1，2，· ，n}来表示有n个参与者； · · （2）行动集合。用Si＝{sij}来表示第i个参与者的行动集合， 其中sij表示第i个参与者的第j个行动； （3）收益函数。用Ui＝{sij,spm}，i=1，2，·· ·，n，j=1,2,·· ·m, 表示对应于博弈参与者i的某一行动sij与其它参与者p的m个可 选行动组合下参与者i的收益。
后退归纳法的求解步骤



第一步，从扩展式博弈的终点开始，找到该博弈的每一个最后子 博弈，然后求出每个子博弈的纳什均衡，并计算出相应的收益； 第二步，将每一个最后子博弈的起点变成结束点，将计算出的每 一个最后子博弈在纳什均衡下的收益写在其下方，得到的新的扩 展式博弈。这个新的扩展式博弈被称为压缩的扩展式博弈。经过 一次压缩，就剔除了最后子博弈； 第三步，重复第一步和第二步，则会得到一个无法再压缩的博弈， 求出相应的纳什均衡。则在逆推过程中找到的一系列子博弈的纳 什均衡组合就是该动态扩展式博弈的一个完美均衡。 第四步，如果在逆推过程中没有遇到多重均衡，那么这个策略组 合就是唯一的完美均衡；如果遇到了多重均衡，就需要对子博弈 中的每一个可能的均衡重复以上步骤，从而得出所有的完美均衡
复杂博弈的分析

严格占优策略均衡解、重复剔除严格劣策略均 衡解、划线法、箭头法以及后退归纳法用于分 析一些简单的博弈。对于复杂的博弈，需要进 行转化后再分析博弈的均衡。
完全信息静态博弈

完全信息静态博弈是博弈论中最简单的博弈类 型，也是博弈论最早研究的一种模型，是博弈 论产生和发展的基础。1950年约翰· 纳什基于 二人零和博弈，用数学的方法证明了非合作博 弈中均衡解的存在，即纳什均衡。纳什均衡是 完全信息静态博弈的均衡解。
逐步剔除严格劣策略均衡(IEDS)



严格劣策略：如果参与者i的策略si’所带来的收益 总少于其他任何策略，则称si’为严格劣策略。 IEDS过程：参与者1知道参与者2是理性的，将不 选择严格劣策略，故先划去对2来说的严格劣策略； 再分析并找出自己的严格劣策略，划去；…直至 找出逐步剔除严格劣策略均衡解。 重复剔除严格劣策略求均衡解的方法不能运用到 弱劣策略中
第四章 博弈分析方法
博弈分析的目的


找出博弈的均衡解，以促使博弈各方导向更优 的决策 博弈分析包括：
– –
–
一，博弈的表达 二，基本的博弈分析方法 三，复杂博弈的转化及分析
博弈的表达

策略式：常用于表示静态博弈 扩展式：常用于表示动态博弈 两种表达方式具有等价性
博弈的策略式

博弈的“标准式”，也称正则式或矩阵式 例，

假设投票成本为0，自己喜欢的候选人获胜收 益为v>0，自己不喜欢的候选人获胜收益为0。 则：博弈的基本式G＝{S，u}为：
– – –
参与者集合：N＝{1，2，·· ·，k}，k=2n+1,n为自然 数； 行动集合：Si={A,B},i∈N； 收益函数：自己喜欢的人获胜，ui=v>0；自己不喜 欢的人获胜，ui=0。

在完全信息静态博弈中，如果参与者的策略选 择是离散的，则称为离散型策略博弈；如果参 与者的策略是连续的，则称为连续型策略博弈。
离散型策略的博弈分析


在完全信息静态博弈中，参与者的策略选择是 离散的、并且不能用策略式表达的多人博弈或 复杂博弈，可以通过穷举法，穷举策略组合， 并用纳什均衡的定义来判定其均衡 例，在某个人数为奇数的乡村，村民要投票选 举该村的村长，每人一票，获得多数选票的候 选人获得村长职务。村长候选人有两位：A和 B。分析该博弈的均衡。


如果我们通过这样的过程求得惟一的策略组合， 则这个策略组合为逐步剔除严格劣策略均衡， 并称博弈是逐步剔除严格劣策略可解的。 试分析： 参与者2
左
上 1，0 0，3
中
1，2 0，1
右
0，1 2，0
参与者1
下
收益：（参与者1，参与者2）
左 上 参与者1 下
上 参与者1 下
参与者2 中
右
1，0 0，3
1
L 2
c1 2 1 d1 4 2 c2 5 2
R 2
d2 3 3
策略式与扩展式描述的等价性

每一个扩展式博弈都可以用策略式来表达，而 每一个策略式博弈也可以表达成扩展式
囚徒乙 坦白 抵赖 囚 坦白 徒 甲 抵赖 －5，－5 －8，0 0，－8 －1，－1 囚徒2 C

C
囚徒1 S 囚徒2 S
S


在一个博弈中，如果每个参与者都有严格占优策略， 则由严格占优策略组成的策略组合一定是该博弈的唯 一均衡解，称为该博弈的严格占优策略均衡解 囚徒乙 坦白 抵赖 例，
囚 坦白 徒 甲 抵赖 －5，－5 －8，0 0，－8 －1，－1 收益：（囚徒甲，囚徒乙）

对于囚徒甲，对应于囚徒乙的坦白与抵赖选择，坦白 时的收益为－5，0，抵赖时的收益为－8，－1。因而 无论对方的选择是什么，坦白总是优于抵赖，坦白是 囚徒甲的严格占优策略。对囚徒乙也是如此。因而， （坦白，坦白）就是囚徒困境的严格占优策略解。
左
1，2 0，1
参与者2
0，1 2，0
中
1，0 0，3
1，2 0，1
参与者2中 参与者1上 中
左 参与者1上
参与者2
1，2
1，0
1，2
划线法

博弈参与者之间的策略具有相互依存性，但策 略之间不一定会出现严格优或严格劣策略，可 能只是相对优劣关系。而划线法是一种通过分 析博弈中的相对较优策略，找出对各博弈参与 方来说均相对较优的策略组合的方法。
囚徒乙 坦白 囚 坦白 徒 甲 抵赖 （－5 ，－5） （－8，0） 抵赖 （0，－8） （－1，－1）
收益：（囚徒甲，囚徒乙）
后退归纳法

后退归纳法（backward induction），又称逆 推法，是求解用扩展式表达的有限多次动态博 弈均衡的方法
子历史与子博弈


历史：动态博弈中，所有从开始到结束的行动 序列称为全历史，全历史的子集构成子历史， 博弈开始前的历史定义为一个空历史 子博弈：从一个行动选择开始至给定的“历史” 构成的博弈。子博弈是原博弈的一部分，但子 博弈本身又是一个完整的博弈
囚徒1 招供
囚徒2 招供 沉默
沉默
囚徒2 沉默
招供

该博弈存在着四个全历史：（招供，招供） （招供，沉默）（沉默，招供）（沉默，沉 默）。而（招供，招供）这个全历史有三个子 历史：空历史，（招供），（招供，招供）。
1 L R
2
c1 2 1 d1 4 2 c2 5 2
2
d2 3 3

博弈有三个子博弈：历史L后为一个子博弈， 历史R后为一个子博弈，整个博弈（即空历史 后）为一个子博弈