6-圆周运动的综合应用

6-圆周运动的综合应用
圆周运动的综合应用闽
编稿：董炳伦责编：周建勋
目标认知宓
学习目标由
1、能够根据圆周运动的规律，熟练地运用动力学的基本方法解决圆周运动问题；
2、学会分析圆周运动的临界状态的方法，理解临界状态并利用临界状态解决圆周运动问题；
3、理解外力所能提供的向心力和做圆周运动所需要的向心力之间的关系，以此为根据理解向心运动和离心运动。

重点难点L±i
1、将前面学习过的力学中解决问题的基本方法，顺利地迁移到圆周运动中来，熟练地解决圆周运动问题；
2、理解临界状态，用动态分析的方法发现圆周运动过程中的临界状态，并将临界条件表示出来；
3、理解向心力的来源，弄清实际的向心力和需要的向心力之间的大小关系决定着物体的运动情况。

知识要点梳理局I
知识点一：静摩擦力提供向心力的圆周运动的临界状态
要点诠释：
1、水平面上的匀速圆周运动，静摩擦力的大小和方向
物体在做匀速圆周运动的过程中，物体的线速度大小不变，它受到的切线方向的力必定为零，提供向心力的静摩擦力一定沿着半径指向圆心。

这个静摩擦力的大小‘ 2 川，它正比于物体的质量、半径和角速度的平方。

当物体的转速大到一定的程度时，静摩擦力达到最大值，若再增大角速度，静摩擦力不足以提供物体做圆周运动所需要的向心力，物体在滑动摩擦力的作用下做离心运动。

临界状态：物体恰好要相对滑动，静摩擦力达到最大值的状态。

此时物体的角速度’（4 为最大静摩擦因数），可见临界角速度与物体质量无关，与它到转轴的距离有关。

2、水平面上的变速圆周运动中的静摩擦力的大小和方向
无论是加速圆周运动还是减速圆周运动，静摩擦力都不再沿着半径指向圆心，静摩擦力一定存在着一个切向分量改变速度的大小。

如图是在水平圆盘上的
物体减速和加速转动时静摩擦力的方向：（为了便于观察，将图像画成俯视图）
静摩擦力静摩擦力
匀谨园周运动赢遠囲周运动加速區1周运动
知识点二：竖直面上的圆周运动的临界状态S'
要点诠释：
1、汽车过拱形桥
在竖直面内的圆周运动中可以分为：匀速圆周运动和变速圆周运动。

对于匀速圆周运动处理起来一般比较方便，这里不再详述。

对于变速圆
周运动，需要特别注意几种具体情况下的
临界状态。

汽车通过半圆的拱形桥，讨论桥面受
到压力的变化情况。

(1)车在最高点的位置I时对桥面的压力对车
由牛顿第二定律得：3宀勺
为了驾驶安全，桥面对车的支持力必须大于零，即耳
所以车的速度应满足关系八题
临界状态：汽车在最高点处桥面对汽车的支持力为零，此时汽车的速度"廊。

问题讨论：如果心極，在不计空气阻力的情况下，车将如何运动？
解析：在此条件下，汽车只受到重力的作用，速度沿着水平方向，满足平抛运动的条件，所以从此位置开始，汽车将离开桥面做平抛运动，不会再落到桥面上。

(2)汽车沿着拱形桥面向下运动时车对于
桥面的压力
当汽车在跨越最高点后的某一位置□时
邱-mg -员冲& -
可见在汽车速度大小不变的情况下，随着角 「的不断减小，汽车对桥面的压力不断减小。

临界状态：当―上时，汽车对桥面的压 力减小到零。

从此汽车离开桥面做斜下抛运动。

所以要使得汽车沿着斜面运动，其速度必须 满足：匸•「，即车的速度 。

2、细线约束的小球在竖直面上的变速圆周运动 鱼 例如用长为R 的细绳拴着质量是m 的物体， 在竖直平面内做圆周运动。

在最高点处，设绳子上的拉力为 T
根据牛顿第二定律列方程得：2 -
由于绳子提供的只能是拉力， 所以小球要通过最高点，它的速度值
临界状态：在最高点处，当只有重力提供向 心力时，物体在竖直面内做圆周运动的最小速度 由牛顿第二定律得I. 解得汽车对
于桥面压力的大小
是-
若在最高点处物体的速度小于这个临界速度，便不能做圆周运动。

事实上，物体早在到达最高点之前，就已经脱离了圆周运动的轨道，做斜上抛运动。

3、轻杆约束小球在竖直面上的变速圆周运动宙
再如一根长度为R轻质杆一端固定，另一端连接一质量为m的小球，使小球在竖直面内做圆周运动。

在最高点，设杆对球的作用力为F N，规定向下的方向为正方向，
根据牛顿第二定律列方程得：我
因为杆既可以提供拉力，又可以提供支持力，所以可以恥6也可滋心。

当弘vO时，杆对球提供向上的支持力，与重力的方向相反；
当弘20时，这与绳子约束小球的情况是一样的。

所以轻杆约束的情况可以存在两个临界状
态:
①在最高点处的速度为零，小球恰好能在竖直面内做圆周运动，此时杆对小球提供支持力；
小球要完成竖直面内的圆周运动，在最高点处速度可接近于零，这是与用细线约束小球在竖直面内做圆周运动的不同之处。

②在最高点处的速度是八阿时，轻杆对小球的作用力为零，只由重力提供向心力。

球的速度大于这个速度时，杆对球提供拉力；球的速度小于这个速度时，杆对球提供支持力。

知识点三：关于离心现象的深入讨论两
要点诠释：
1、外力提供的向心力和做圆周运动需要的向心力之间的关系对物体运动的影响
外力提供的向心力等于物体做圆周运动需要的向心力时，物体做圆周运动；
外力提供的向心力小于物体做圆周运动需要的向心力时，物体做远离圆心的运动一一离心运动；
外力提供的向心力大于物体做圆周运动需要的向
心力时，物体做靠近圆心的运动一一也可称之为向心运动。

2、对一个典型的离心现象的解释闽
（1）离心沉淀器：
悬浊液在试管中高速转动时，密度大于液体密度的小颗粒做离心运动，密度小于液体密度的小颗粒做向心运动，从而使得液体很快被分离。

（2）向心力的来源：
如图所示，将试管中的小颗粒放大并看成是一个小液柱，当试管绕着轴高速转动时，小颗粒两端受到的液体的压力便不相同，远离转轴的一端受到液体的压力是F2,靠近转轴的一端液体对颗粒的压力是F i，F2>F I，这两个力的差为颗粒做圆周运动提供向心力。

（3）离心或者向心现象的成因及解释：设柱体绕竖直轴在水平面内做匀速圆周运动的角速度是®，半径是R,颗粒的质量是rn>
①若颗粒的密度与液体的密度相同，则颗粒可
以用同体积的液柱代替，在此情况下无论角速度多大，显然，液柱既不会向心运动，也不会离心运动（尽管试管高速转动，但颗粒相对于试管不动）。

由牛顿第二定律有：兔-…财
②若颗粒的密度比液体的密度大（如沙石
等），它在试管的相同位置处做圆周运动时，所受到的向心力仍然是颗粒两个断面的压力差
Z，但是它需要的向心力却变为加肋‘，其中加是大密度颗粒的质量，因为宀然，所以加R R>冰如，必有兔-F"财，外力提供的向心力小于大密度颗粒做圆周运动所需要的向心力，做离心运动，达到快速沉积的目的。

③若颗粒的密度比液体的密度小（如草木颗粒等），它在试管的相同位置处做圆周运动时，所受到的向心力仍然是颗粒两个断面的压力差
<-T-,但是它需要的向心力却变为八二，其中;. 是小密度颗粒的质量，因为—；，所以, 必有—外力提供的向心力大于小密度颗
粒做圆周运动所需要的向心力，做向心运动，达到快速分离的目的。

规律方法指导圉
1、熟记向心力的各种公式：由
4 护
mv1
a
.吩=〒=嗣f h及如何选择公式。

这些公式不仅适用于匀速圆周运动中，对变速圆周运动同样适用，只不过在变速圆周运动中，由于线速度v的大小不断变化，所以向心力也不断变化。

2、处理圆周运动的动力学问题时，应注意的问题宙
（1）确定向心力的来源
向心力是根据力的效果命名的，在分析做圆周运动的质点受力情况时，切不可在物体的相互作用力（重力、弹力、摩擦力等）以外再添加一个向心力。

（2）确定研究对象的轨道平面和圆心的位置，以便确定向心力的方向。

例如，沿半球形碗的光滑内表面，一小球在水平
面上做匀速圆周运动，如图所示，小球做圆周运
动的圆心在与小球同一水平面上的0'点，而不
是在球心0,也不在弹力F N所指的P0线上。

(3)物体在静摩擦力作用下做匀速圆周运动
时，相对滑动的临界条件是恰好达到最大静摩擦力。

(4)物体在不同支承物(绳、杆、轨道、管道等)作用下，在竖直平面做圆周运动，通过最高点时的临界条件。

①轻绳模型
如图所示没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：
注意：绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉
临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：mg=m2VR宀v临界=尿（可理解为恰好转过或恰好转不过的速度）
能过最高点的条件：v》届，当v>俺时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力。

不能过最高点的条件：v v v临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道）
②轻杆模型
（2）如图（a）的球过最高点时，轻质杆（管）对球产生的弹力情况：
注意：杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力，管壁支撑情况与杆一样。

当v = 0时，N= mg （N为支持力）
当0 v v v尿时，N随v增大而减小，且
mg>N>0，N为支持力。

当v=阿时，N= 0，
当v>尿时，N为拉力，N随v的增大而增大。

若是图（b）的小球，此时将脱离轨道做平抛运动，因为轨道对小球不能产生拉力。

77777r
典型例题透析应
类型一一水平圆周运动的临界问题L±J
®1、如图所示，细绳的一端系一小球，另一端悬于光滑的水平面上方h处（h小于绳长），球在水平面上以转速n做匀速圆周运动，求水平面受到的压力多大？要使球离开水平面，转速的值至少为多大？由
思路点拨：将此问题看成是一般的动力学问题，其加速度是向心加速度，按照解决动力学问题的一般方法，可以将问题解决。

解析：本题属于圆锥摆问题，物体的运动轨
迹在水平面上
对球受力分析并进行正交分解，如图所示:
由牛顿第二定律得
2
T htand (2.m )
F 农 +T cos^ = mg
由①②式得氐二吨-必切％
若要使得球离开平面，则
总结升华：球恰好离开平面是一种临界状 态，岀现此临界状态的条件是球和平面的作用力 为零。

分析临界条件是解决综合性问题的重要环 节。

02、如图质量不计的轻杆长为匚，一端拴 一个质量为m 的小球，以它的另一端0为轴使杆
在竖直平面所以 球的转速至少为“占俘
X
内做匀速圆周运动，角速度为％,试分别计算球在最低点A和最高点B时，球对杆的作用力各是多少？由
解析：在最低点A处，轻杆对球产生拉力
F A，由牛顿第二定律得―冷，
再由牛顿第三定律得球对杆的拉力
在最高点B处，杆对球的作用力为F B，规定向下的方向为正方向，由牛顿第二定律得
F B +吨二
可见：
6■石时*空7球不受杆的作屈力，恰好重力提供向心力；
戸旨=晤畧-渤/小于致方向向上杆对于球施加向上的支持力’
当0匸如吒咅时，
球^于杆施加向下的压力作乩。

3、在倾角$=30。

的光滑斜面上，有一长L
=0.8m的细绳，一端固定在O点，另一端拴一个质量m= 0.2kg的小球，使小球在斜面上做圆周运动，取g=10m/s，求：亠
(1)小球通过最高点时的最小速度9= ?
(2)如果细绳受到10N的拉力就会断，则通过最低点B时的最大速度％二？
思路点拨：这是一个竖直面上变速圆周运动
问题的变式问题，要注意找出和竖直面上的变速圆周运动的共同之处和不同之处，要特别重视分
析问题方法的迁移。

解析：小球在垂直于斜面的方向上处于平衡
状态，在平行于斜面的平面内的运动情况和竖直平面内用细绳约束小球的运动情况类似
（1）小球通过最高点A的最小速度，出现在绳子上拉力等于零的时候，此时重力的下滑分量提供向心力，在A点平行于斜面的方向上，
由牛顿第二定律得：
解得二运石祐=2m./s
（2）在B点绳子恰好被拉断时，在平行于斜面的方向上，
m5-
由牛顿第二定律得：「—
解得㊀tn
总结升华：用细绳约束在斜面上的变速圆周运动和竖直面上的变速圆周运动，解决问题的方式是完全相同的，不同之处是：在斜面上时只有重力的下滑分量对变速圆周运动有贡献。

拓展深化
如图所示，轻杆AB长im两端各连接质量为1kg 的小球，杆可以绕距B端0.2m处的O轴在竖直平面内
转动。

设A球转到最低点时速度是4m/s,求此时B球的运动速度的大小和杆对O轴的作用力的大小和方向？
B
思路点拨：用轻杆约束物体在竖直面上做圆周运动时，要注意到物体受到的力可以是拉力，也可以是压力，还可能是零。

要重视临界状态的分析。

解析：因为A、B两球固定在同一根杆上，
它们具有相同的角速度，所以葩鬲，
B球的运动速度"鬻"皿
A球在最低点，要做圆周运动一定受到杆的拉力
由牛顿第二定律得: 0A
解得A球受到的拉力"吕'
所以杆对0轴的作用力大小是30N,方向向下；
对B球在最高点，以竖直向下为正方向，
由牛顿第二定律：亠r二
解得杆对B球的作用力"「丘"""
负号表示B球受到杆的作用力为方向竖直向上的支持力
所以此时杆的0B段对0轴的作用力大小是5N,方向竖直向下；
0轴受到杆的作用力是0B和0A两段杆对它的作用力的合力，大小是5+30=35N方向竖直向下。

类型三一一汽车转弯问题一i
&4、在高速公路的拐弯处，路面造得外高内低，即当车向左拐弯时，司机右侧的路面比左侧的路面高一些，路面与水平面间的夹角为「设拐弯路段是半径为云的圆弧，要使车速为叩寸车轮与路面之间的横向（即垂直于前进方向）摩擦力等于零，3应等于多少？宙
思路点拨：分析解答此题的关键是理解汽车拐弯时向心力的来源：在水平面上拐弯时，向心力由车轮与水平面之间的静摩擦力提供，在具有恰当坡度的路面上拐弯时，向心力可能完全由路面对汽车的支持力的水平分量提供。

解析：汽车在水平面上做匀速圆周运动，在半径方向上摩擦力等于零，汽车拐弯的向心力由汽车重力和路面对它的支持力的合力提供，汽车受力如图所示，由牛顿第二定律
加J J /
—, tan B二—,& —tsu —
卿g tstn. B
误区警示：必须明确汽车是在一个水平面内做圆
周运动，尽管路面是有一定坡度的。

切不可认为汽车是在斜面上做圆周运动，否则就会出错的，这个问题关乎向心力是水平的还是沿着斜面向下的。

类型四一一火车拐弯问题一i
（^5.试分析火车转弯时向心力的来源、向心力的方向和大小。

由
思路点拨：分析和解决匀速圆周运动的问题，重要的是把向心力的来源弄清楚，向心力是按照效果命名的力，任何一个力或几个力只要它的作用效果是使物体产生向心加速度，那么它就是这个物体所受的向心力。

在平直轨道上匀速行驶的火车，所受合力为零，但在火车转弯时，就必须要有向心力。

解析：（1）向心力的获得：火车的车轮上有突出的轮缘，若轨道内侧外侧一样高（在转弯外），火车在转弯时，外侧车轮的轮缘挤压外轨，使外轨发生形变，外轨对轮缘的弹力就是使火车
转弯的向心力，但靠这种办法得到向心力，铁轨
容易损坏
如果在转弯处使外轨略高于内轨，则火车的重力和轨道对火车的支持力■共同提供向心力。

/s
(2)向心力的方向和大小：
按照实际情况，火车做的是水平面内的圆周
运动，其需要的向心力应该是沿水平方向的，而
G
且路面对火车的支持力 孤=辭皿8 （&是两条轨 道平面和水平面的夹角，如图所示） -------------- 1 那么火车是怎样获得比其重力大的支持力的 呢？这是因为在火车转弯处路面形成的是一个 弯曲的斜面，即是一个曲面，而并非是倾斜的平 面。

当火车进入弯道曲面后，因惯性要沿直线运 动，有沿直线穿出弯道曲面的趋势，或者说有沿 直线“钻”入路面的趋势，但因被曲面挡住，而 被迫沿弯曲运动，造成对弯道曲面的较大压力从 而获得较大的支持力。

由图可得 j 昨,方向沿水平指向弯道内侧 是火车转弯的向心力。

mgian 召=
m — v = Jgr/an 9 讨论与总结:
（1） 若一亠「，重力和支持力的合力恰好
充
当火车做圆周运动的向心力，不需要挤压铁轨。

（2）若"后嘉，重力和支持力的合力不足以充当火车做圆周运动的向心力，火车要挤压外侧车轨，外侧车轨受挤压发生形变则产生弹力，补充不足的向心力。

（3）若以历砧，重力和支持力的合力大于火车做圆周运动所需要的向心力，火车就要挤压内侧车轨，内侧车轨受挤压发生形变而产生弹力，抵消一部分重力和支持力的合力。

类型五一一连接体的圆周运动的临界问题闵
&6、如图所示水平转盘可绕竖直轴0。

'旋转，盘上水平杆上穿着两个质量相等的小球A和B,现将A和B分别置于距轴r和2r处，并用不可伸长的轻绳相连，已知两个球与杆之间的最大静摩擦力都是人，试分析转速®从零逐渐增大，两球对轴保持相对静止过程中，A、B受力情况如何变化？宓
□ A .0' B n
思路点拨：动态的分析物理过程，发现隐藏在过
程中的临界状态；理解最大静摩擦力出现的条件，弄清外力提供的向心力和圆周运动需要的向心力对运动的影响。

物体的匀速圆周运动状态不是平衡状态，它所需要的向心力应恰好由物体所受的合外力来提供。

“离心”与“向心”现象的出现，是由于提供的合外力与某种状态下所需的向心力之间出现了矛盾。

当“供”大于“需”时，将出现“向心”，当“供”小于“需”时，物体将远离圆心被甩出。

对于此题，当转动角速度4增大到某一个值时，A和B将发生离心现象，向B一侧甩出，此时A所受摩擦力应沿杆指向外侧。

而刚开始转动时，A所受摩擦力应指向圆心，而且绳上没有张力。

解析：（1）由于3从零开始逐渐增大，当- 较小时，A和B只靠自身静摩擦力提供向心力。

对A球：口-
对B球：二- 1… 随®增大，静摩擦力f不断增
大，直到
各有了厂人逑，即朋二仏，
：，(这是一个临界状态)
(2)当、：*时，绳上的张力T将出现。

对A球：「一① 对B球：
' ■■ ②
由②式，当®增加到加时，绳上张力将增加，增加的张力"i: " I
由①式口+心化垃+沁F(加-巧工加
(十-巧
可见△ f A<0，即随3的增大，A球所受摩擦力将不断减小。

(3)当一时，设此时角速度 J
对 A 球，._，，对 B 球-1「”，5半
(4)当角速度从3 2继续增加时，A球所受的摩擦力方向将沿杆指向外侧，并随3的增大而增大，直到* --为止，设此时角速度,
A 球：〒—-一”
B 球：J ■- - —‘
(5)当时，A和B将一起向B侧甩出
总结升华：
(1)由于A B两球角速度相等，向心力公式应选用戸十吗"；
(2)分别找出®逐渐增大的过程中的几个临界状态，并正确分析各个不同阶段的向心力的来源及其变化情况，揭示出小球所需向心力的变化对所提供向心力的静摩擦力及绳子拉力之间的制约关系，这是求解本题的关键。

动态分析也是物理学中重要的分析方法，努力的通过此题加以体会、实践。

(3)对于两个或两个以上的物体，通过一定的约束，绕同一转轴做圆周运动的问题，一般求解思路是：分别隔离物体，准确分析受力，正确画出力图，确定轨道半径，注意约束关系。

(在连接体的圆周运动问题中，角速度相同是一种常见的约束关系)
【变式1】如图所示在水平转台上放一质量
为M的木块，木块与转台间的最大静摩擦因数为
“，它通过细绳与另一木块m相连。

转台以角速度皿转动，M与转台能保持相对静止时，它到转台中心的最大距离二和最小距离-分别为多大?
解析：假设转台光滑，M在水平面内转动时，
竖直方向上平台对M的支持力与Mg相平衡，绳子的拉力提供M做圆周运动的向心力。

因为M与转台保持相对静止时，所以绳子的拉力T=mg 设此时M距离中心的半径 '，则:
即:
T ——M r n«
□ m
TA
mZZ
讨论：（1）若R为最小值m ，M有向
圆心运动的趋势，故转台对M有背离圆心的静摩
擦力，大小为小「此
——S J
+Mg
对m仍有T=mg
对M有：T_册沙筑
* _笊邑-嗣g
解得
（2）若R为最大值&（&皿）时，M有背离圆心运动的趋势，故转台对M有指向圆心、大小为人的静摩擦力.
对m仍有T=mg 对M有:n
二吨+财苣解
得：二
【变式2】（2011山东德州模拟）如图所示,
，光滑轻杆沿水平方向放置，左端0处连接在竖直的转动轴上，a、b为两个可视为质点的小球,
穿在杆上，并用细线分别连接Oa和ab,且Oa =ab,已知b球质量为a球质量的3倍.当轻杆绕O轴在水平面内匀速转动时，Oa和ab两线的拉力之比为（）
A. 1 : 3 B . 1 : 6 C. 4：3
D. 7 : 6
解析：由牛顿第二定律，
对a 球：T oa—T ab= 2Oa
2
对b 球：T ab= 3m w （Oa+ ab）由以上两式得，Oa和ab两线的拉力之比为7 : 6, D对.
答案：D
【变式3】（2011福建莆田模拟）如图所示是用以说明向心力和质量、半径之间关系的仪器，球P
和Q可以在光滑水平杆上无摩擦地滑动，两球之间用一条轻绳连接，m p= 2m Q.当整个装置
绕中心轴以角速度3匀速旋转时，两球离转轴的距离保持不变，则此时（）
A.两球均受到重力、支持力、绳的拉力和向心力四个力的作用
B.P球受到的向心力大于Q球受到的向心力
C.r p一定等于r o/2
D.当3增大时，P球将向外运动
解析：两球均受到重力、支持力和绳的拉力三个力的作用，向心力就是绳的拉力提供的，在分析物体受力时要避免再另外添加一个向心力，A错；同一根绳上张力相等，所以P球受到的向心力等于Q球受到的向心力，B错；对两球而言，角速度相同，有：m p3 2r p= m Q3 2「Q,所以r p一定等于rc/2 , C对；当3增大时，两球受到绳的张力都增大，仍会使T=
n p w 2r p= m c3 2r c, 所以只要绳子断不了，球将不会向外运动，D错.
答案：C
类型六一一圆周运动的共线问题L_J
❾7、（2010上海）如图，三个质点a、b、c质量分别为兀、汽、。

在c的万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆
周运动，轨道半径之比；，,则它们的周期之比W飞;从图示位置开始，在b运动一周的过
程中，a、b、c共线了________ 。

園
思路点拨：正确理解共线的含义，找到共线后两个作圆周运动物体的角度关系，则此题可解。

解析：设每隔时间t，a、b共线一次，则血■曲"，所以2乔石，所以b运动一周的过程中，a、b、c共线的次数为："互=£〔姓-◎)=竺_2=]4
答案：14
总结升华：对圆周运动的共线问题，弄清楚它们共线时，弧度差为汀，这是解决此类问题的关键点。