高考数学专题复习资料专题13

专题13 三角 平面向量 复数

一 能力培养

1,数形结合思想 2,换元法 3,配方法 4,运算能力 5,反思能力 二 问题探讨

问题1设向量(cos ,sin )a αα=v ,(cos ,sin )b ββ=v

,

求证:sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+.

问题2设()f x a b =⋅,其中向量(2cos ,1)a x =,(cos 2)b x x =,x R ∈

(I)若()1f x =[,]33

x ππ

∈-,求x ; (II)若函数2sin 2y x =的图象 按向量(,)()2

c m n m π

=<平移后得到函数()y f x =的图象,求实数,m n 的值.

问题3(1)当4

x π

≤

,函数2

()cos sin f x x x =+的最大值是 ,最小值是 .

(2)函数3

2

cos sin cos y x x x =+-的最大值是 .

(3)当函数2

2

sin 2sin cos 3cos y x x x x =++取得最小值时,x 的集合是 . (4)函数sin (0)cos 1

x

y x x π=<<+的值域是 .

问题4已知ABC ∆中,,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,且4,5a b c =+=,tan tan A B +=

tan tan )A B -,求角A.

三 习题探讨 选择题

1在复平面内,复数12ω=-+对应的向量为OA u u u v ,复数2

ω对应的向量为OB uuu v ,

那么向量AB u u u v

对应的复数是

A,1 B,1- D,

2已知α是第二象限角,其终边上一点P(x 且cos 4

x α=

,则sin α=

D,

3函数2sin(3)4y x π

=-

图象的两条相邻对称轴之间的距离是

A,3

π

B,23π C,π D,43π

4已知向量(2,0)OB =u u u v ,向量(2,2)OC =u u u v ,向量)CA αα=u u u v

,则向量

OA u u u v 与向量OB uuu v

的夹角的取值范围是

A,[0,

]4π

B,5[,]412ππ C,5[,]122ππ D,5[,]1212

ππ

5已知(,2)a λ=,(3,5)b =-,且a 与b 的夹角为钝角,则λ的取值范围是 A,103λ>

B,103λ≥ C,103λ< D,10

3

λ≤ 6若x 是三角形的最小内角,则函数sin cos sin cos y x x x x =++的值域是

A,[1,)-+∞ B,[- C, D,1

]2

填空题

7已知sin sin 1αβ⋅=,则cos()αβ+= .

8复数13z i =+,21z i =-,则12z z z =⋅在复平面内的对应点位于第 象限. 9若tan 2α=,则22

4sin 3sin cos 5cos αααα--= .

10与向量1)a =-和b =的夹角相等,的向量c = . 11在复数集C 内,方程2

2(5)60x i x --+=的解为 .

12若[,

]1212ππθ∈-,求函数cos()sin 24y π

θθ=++的最小值,并求相应的θ的值.

13设函数1

1()2

2x x f x ---=-,x R ∈,若当02

π

θ≤≤

时,2

(cos 2sin )f m θθ++

(22)0f m --<恒成立,求实数m 的取值范围.

14设5arg 4z π=,且2

2

z R z

-∈,复数ω满足1ω=,求z ω-的最大值与最小值勤.

15已知向量33(cos ,sin )22a x x =v ,(cos ,sin )22x x b =-v ,且[0,]2

x π

∈

(I)求a b ⋅v v 及a b +v v ; (II)求函数()4f x a b a b =⋅-+v v v v

的最小值.

16设平面向量1)a =-v ,1(,22b =v .若存在实数(0)m m ≠和角((,))22

ππ

θθ∈-, 使向量2

(tan 3)c a b =+-v v v ,tan d ma b θ=-+u v v v ,且c d ⊥v u v .

(I)求函数()m f θ=的关系式; (II)令tan t θ=,求函数()m g t =的极值.

问题1证明:由cos cos sin sin a b αβαβ⋅=+v v ,且cos()cos()a b a b αβαβ⋅=⋅-=-v v v v

得cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+ ① 在①中以

2π

α-代换α得cos[()]2παβ-+=cos()cos sin()sin 22

ππ

αβαβ-+-. 即sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+.

温馨提示:向量是一种很好用的工具.运用好它,可简捷地解决一些三角,平几,立几,解几等

问题.

问题2解:(I)可得2

()2cos 212sin(2)6

f x x x x π

==++

由12sin(2)6

x π

++=1,得sin(2)62x π+=-

又3

3

x π

π

-

≤≤

,得522

6

6x π

π

π-

≤+

≤

,有26x π+=3π-,解得4

x π=-. (II)函数2sin 2y x =的图象按向量(,)c m n =平移后得到函数2sin 2()y n x m -=-, 即()y f x =的图象.也就是1y -=2sin 2()12

x π

+的图象.

而2

m π<

,有12

m π=-

,1n =.

问题3解:(1)2

2

1

51sin sin (sin )2

4

y x x x =-+=--+

而4

x π

≤

,有sin 22

x -

≤≤

当1sin 2x =

,即6x π=时,max 54y =;当sin 2x =-,即4

x π=-时,min 322y =-.

(2)3

2

cos (1cos )cos y x x x =+--,令cos t x =,则11t -≤≤,有

321y t t t =--+,得'2321y t t =--

令'

0y =,有11t =,21

3

t =-

①当113t -≤<-

时,'0y >,y 为增函数;②当113t -<<时,'

0y <,y 为减函数. 32111()()()1333y =-----+极大=32

27

,而y =x=111110--+=,

于是y 的最大值是32

27

.