微专题 阿基米德三角形

微专题 阿基米德三角形

基础回顾：

圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形。

特殊地，过抛物线2

2=y px 的焦点F 任作一条弦AB ，抛物线在点,A B 处的两条切线相交于点M ，

∆MAB 为阿基米德三角形.

B A ,在其准线L 的上投影分别为B A '',,则有如下结论：

1. 交点M 在2

2=y px 准线上

2. 切线交点与弦中点连线平行于对称轴

3. 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点

4. ⊥MA MB ，⊥MF AB

5. MN 与抛物线的交点平分线段MN

6. MB 平分BA B '

∠, 7.

MA 平分角AB A '∠

8. 2

MF FB FA =⋅ 9. MAB S ∆2

min p = 二、典例解析

题型一 两切线交点的轨迹

1. 过抛物线22=y px 的焦点F 任作一条弦AB ，抛物线在点,A B 处的两条切线相交于点M ，则M 在22=y px 的准线上 ，且⊥MA MB ，⊥MF AB ，

证明：设直线AB 的方程为2

=+p

x my .

由22,,2

⎧=⎪⎨=+⎪⎩y px p x my 可得2220y pmy p --=.显然0∆> 设1122(,),(,)A x y B x y ，则122y y pm +=，212y y p =-.

抛物线在,A B 两点的切线方程分别为()11y y p x x =+，()22y y p x x =+.

解之得1212,2,

2

⎧=⎪⎪

⎨+⎪=⎪⎩y y x p y y y 由此求得两切线的交点坐标12(,)22+-y y P M

所以M 在2

2=y px 的准线上.

222

12121⋅=⋅==--AM BM

p p p p k k y y y y p

,∴⊥MA MB

(,)=-MF p pm ，2121(,)=--AB x x y y

()()()21212121022p p MF AB p x x pm y y p my my pm y y ⎛

⎫⋅=---=+----= ⎪⎝

⎭

∴⊥MF AB .

题型二 阿基米德三角形面积的最小值

2.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些有趣的性质，如若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线y 2＝4px （p ＞0），弦AB 过焦点，△ABQ 为其阿基米德三角形，则△ABQ 的面积的最小值为_______．

解：由于若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上，且△P AB 为直角三角型，且

角P 为直角，S ＝P A •PB ≤

，由于AB 是通径时，即AB ＝2p 最小，故S ≤p 2，

故答案为：p 2．

题型三 阿基米德三角形的形状的判断

2. 抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上． 设抛物线y 2＝2px （p ＞0），弦AB 过焦点，△ABQ 为阿基米德三角形，则△ABQ 为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形

D ．随Q 位置变化前三种情况都有可能 解：如图所示．设Q

，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．则

，

．

设直线AB ：my ＝x ﹣，联立

，化为y 2﹣2pmy ﹣p 2＝0，

得到y 1+y 2＝2pm ，．设过点A 的切线为，联立，化

为

，

∵直线是抛物线的切线，∴＝0，化为pk 1＝y 1．

设过点B 的切线为，同理可得pk 2＝y 2． ∴p 2k 1k 2＝y 1y 2．∴

，解得k 1k 2＝﹣1．∴

．

即△ABQ 是直角三角形．故选：B ．

题型四 阿基米德三角形的判断.

4若M 在22=y px 的准线上，且⊥MA MB ，则,MA MB 是抛物线的两条切线,∆MAB 为阿基米德三角形.

证明：过22=y px 的焦点F 任作一条弦AB ，过B A ,分别作抛物线的两条切线,设它们交于点M ',

则M '在22=y px 的准线上，且B M A M '⊥'，由抛物线的焦点弦的性质知，2

=-p

x 是以AB 为直径的

圆的切线，又M 在2

=-p

x 上，且⊥MA MB ，则可得'M 与M 重合.所以,MA MB 是抛物线的两条切

线.∆MAB 为阿基米德三角形.

方法总结：

1.圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形。特殊地，过抛物线

22=y px 的焦点F 任作一条弦AB ，抛物线在点,A B 处的两条切线相交于点M ，则称MAB ∆为阿基米

德三角形

2.熟练应用阿基米德三角形的性质。

3.若M 在2

2=y px 的准线上，且⊥MA MB ，则,MA MB 是抛物线的两条切线,MAB ∆为阿基米德三角形

高考链接：

1.（2018年全国Ⅲ卷理16）已知点(1,1)M -和抛物线2:4=C y x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交

于,A B 两点．若0

90∠=AMB ，则k = ．