天津科技大学2013-2014学年第一学期《概率论与数理统计》(多统计)期末考试试题(A卷)参考答案及评分标准

二、(12分)已知随机变量X 的概率密度为

||()x f x ae -=，x -∞<<+∞.

求（1）参数a 的值；（2）概率(1)P X >；（3）数学期望()E X .

三、（12分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，用X 表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数. （1）写出X 的概率函数；

（2）利用棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理，求索赔户中被盗索赔户不少于14户且

不多于30户的概率{1430}P X ≤≤的近似值. 四、（10分）设~(0,1)X U ，求X Y e =的概率密度. 五、（10分）设连续总体X 的概率密度函数为

1,01

( )0,

x x f x θθθ-⎧<<=⎨

⎩；其它，其中0θ>， n X X X ,,,21 为来自总体X 的样本，求未知参数θ的最大似然估计量.

六、（8分）从一批钉子中抽取16枚，测得长度的样本均值 2.125X =，样本标准差为0.017S =，设钉长分布为正态，σ为未知，试求总体期望μ的置信度为0.90的置信区间.

七、（10分）从一批轴料中取15件测量其椭圆度，已知椭圆度服从正态分布，计算得0.25S =，问该批轴料椭圆度的总体方差与规定的20.04σ=有无显著差别？（取0.05α=）.

八、（8分）考察硫酸铜晶体在100克水中的溶解量()y 与温度()x 间的相关关系时，做了9组独立试验，结果见下表：

温度x （０

Ｃ）

0 10 20 30 40 50 60 70 80 溶解量

y (g)

14.0

17.5

21.2

26.1

29.2

33.3

40.0

48.0

54.8

已算得x =40,y =31.567,xx S =6000,xy S =2995,yy S =1533.38。求回归方程

(2)()1000.220E X =⨯=,()1000.20.816D X =⨯⨯=，（6分） 由D L -中心极限定理得

142020302020{1430}{}{1.5 2.5}4444

X X P X P P ----≤≤=≤≤=-≤≤（9

分）

(2.5)( 1.5)(2.5)(1.5)10.99380.933210.927≈Φ-Φ-=Φ+Φ-=+-=（12分） 四、（10分）； 解 X 的密度为 1,01,

()0,X x f x <<⎧=⎨

⎩其它.

（2分）

当1y <时，()()()0X Y F y P Y y P e y =≤=≤=， （3分）

当1y e ≤<时，()()(ln )(ln )Y X F y P Y y P X y F y =≤=≤=， （7分） 当y e ≥时，()(ln )1Y F y P X y =≤=， （8分） 所以Y 的密度为

11(ln ),1,()()0,.X

Y Y f y y e y y f y F y ⎧

⋅=<<⎪'==⎨⎪⎩

其他 （10分）

五、（10分）

解 最大似然估计：设样本观测值为12,,,n x x x ，似然函数

1

11

1

()()n

n

n

i

i i i L x x θθθθθ--====∏∏，

（3分） 1

ln[()]ln()(1)ln()n

i i L n x θθθ==+-∑， （5分）

由 1ln[()]ln()0n i i d L n x d θθθ==+=∑， （8分）

得θ的最大似然估计量1

ˆln()

n

i

i n

X θ

==-∑。 （10分）

六、（8分）

解：μ

的置信区间为0.050.05(X t X t -+ （4分）