2021高考数学人教版一轮复习练习：第二章第4节幂函数与二次函数

是 M ，最小值是 m ，则 M － m （

）

多维层次练 10

[A 级 基础巩固 ]

1．（多选题 ）已知二次函数 f （x ）＝x 2

－2ax ＋1在区间（2，

3）上是单调

函数，则实数 a 的取值范围可以是 （ ）

C ． [3，＋∞ ）

D ．[－3，－2]

解析： f （x ）图象的对称轴为 x ＝a ，

若 f （x ）在 （2，3）上单调递增，则 a ≤ 2，若 f （x ）在 （2，3）上单调递减， 则 a ≥ 3，

因此选项 A 、 C 、D 满足． 答案： ACD

2．已知 p ：|m ＋ 1|<1， 上单调递减，则 p

是 q 的 （

解析： p ：由|m ＋1|<1 得－ 2

q ：因为幂函数 y ＝（m 2

－m －1）x m

在（0，＋∞）上单调递减．

所以 m 2

－m －1＝1，且 m<0，解得 m ＝－ 1.

A ． （－∞， 2]

B ．[2，3] q ：幂函数 y ＝ （m 2－m － 1）x m 在 （0，＋∞ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

所以p是q的必要不充分条件．

答案：B

3．（2017 ·浙江卷）若函数f（x）＝x2＋ax＋b在区间[0，1]上的最大值

A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与 b 无关

C．与 a 无关，且与 b 无关D．与 a 无关，但与 b 有关解

析：设x1，x2 分别是函数f(x)在［0，1］上的最小值点与最大值点，则m＝x21＋ax1＋b，M ＝x22＋ax2＋b.

所以M－m＝x22－x12＋a(x2－x1)，显然此值与a有关，与 b 无关．答案：B

4．(2020 ·广东揭阳一中检测)定义在R上的函数f(x)＝－x3＋m 与函数g(x)＝f(x)＋x3＋x2－kx 在［－1，1］是具有相同的单调性，则k 的取值范围是( )

A．(－∞，－2) B．［2，＋∞ )

C．［－2，2］D．(－∞，－2］∪［2，＋∞ )

解析：易知f(x)＝－x3＋m 在R 上是减函数．

依题设，函数g(x)＝x2－kx＋m 在［－1，1］上单调递减，

k

所以抛物线的对称轴k2≥1，所以k≥2.

答案：B

5．(多选题)已知定义在［1－a，2a－5］上的偶函数f(x)在［0，2a－5］上单调递增，则函数f(x)的解析式可能是( ) A．f(x)＝x2＋a B．f(x)＝－a|x|

C．f(x)＝x a D．f(x)＝|x－a|

解析：因为函数f(x)是定义在［1－a，2a－5］上的偶函数，所以1

－a＋2a－5＝0，解得a＝4，所以函数f(x)的定义域是［－3，3］．研究的区间是［0，3］，从而能够得到A， C 项对应的函数都满足在［0，3］上

是增函数， B 项f(x)＝－a|x|在[0，3]上是减函数， D 项不是偶函数，故选AC.

答案：AC

6．(2020 ·荆州质检)若对任意x∈[a，a＋2]均有(3x＋

a)3≤8x3，则实数 a 的取值范围是( )

A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]

C．(－∞，0] D．[0，＋∞ )

解析：因为y＝x3在R 上是增函数，由(3x＋a)3≤8x 3，得3x ＋a≤2x，即x≤－a，所以? x∈[a，a＋2]时，x≤－a 恒成

立．

所以a＋2≤－a，因此a≤－ 1. 答案：B

1

7．已知幂函数f(x)＝x a的图象过点2，2，则函数g(x)＝(x－1)f(x)

1

在区间12，2上的最小值是_____ ，最大值为 ______ ．

1

解析：由f(x)＝xα的图象过点2，2，

1

得2a＝2，知a＝－1，

x－1 1 1

所以g(x)＝x＝1－x在2，2上单调递增，

1

所以g(x)min＝1－2＝－1，g(x)max＝g(2)＝2.

1

答案： －1 12

1

8．已知函数 f(x)为幂函数，且 f(4)＝2，则当 f(a)＝4f(a ＋3)

时，实 数 a 等于 ．

11

解析： 设 f (x)＝x a

，则 4a

＝2，所以 a ＝－ 2.

1

1 1 1 因此 f(x)＝x －2，从而 a －2＝

4(a ＋3)－2，解得 a ＝5.

1

答案：1

5

9．设函数 f(x)＝ax 2

－2x ＋ 2，对于满足 1

有 f(x)>0，则实数 a 的取值范围为 ．

解析： 由题意得 a>x 2－ x 22对 1

2 2 1 1 2

1 1 1

又x －x 2＝－2 x －

2 ＋2，4

所以 x 2－

x 2

2 max ＝12

，所以 a>12

.

1 答案： 2，＋∞

10．已知幂函数 f(x)＝(m －1)2

xm 2

－4m ＋ 2 在(0，＋∞ )上单调

递 增，函数 g(x)＝2x

－k.

(1)求 m 的值；

(2)当 x ∈[1，2)时，记 f(x)，g(x)的值域分别为集合 A ，B ，设 p ： x ∈A ，q ：x ∈B ，若 p 是 q 成立的必要条件，求实数 k 的取值范

围．

解： (1)依题意得： (m －1)2

＝1? m ＝0或 m ＝2，

当 m ＝2 时， f (x)＝ x －2

在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍 去，所以 m ＝ 0.