动态规划方法的应用研究

动态规划方法的应用研究

摘要：动态规划是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的数学方法，其最终目的是确定各决策变量的取值，以使目标函数达到极大或极小。动态规划在工程技术、经济管理等社会各个领域有着广泛的应用，并且获得了显著的效果，是经济管理中一种重要的决策技术。文章例举了动态规划在最短路线、资源分配、设备更新、排序、装载等方面的应用。通过求解不同的实例，总结出用动态规划方法比用其他方法求解更容易、效率更高，并且所得到的信息更丰富。

动态规划是用来解决多阶段决策过程最优化的一种数量方法。其特点在于，它可以把一个n维决策问题变换为几个一维最优化问题，从而一个一个地去解决。需指出：动态规划是求解某类问题的一种方法，是考察问题的一种途径，而不是一种算法。所以必须对具体问题进行具体分析，运用动态规划的原理和方法，建立相应的模型，然后再用动态规划方法去求解。

1 动态规划方法的求解步骤；

动态规划所处理的问题是一个多阶段决策问题，一般由初始状态开始，通过对中间阶段决策的选择，达到结束状态。这些决策形成了一个决策序列，同时确定了完成整个过程的一条活动路线（通常是求最优的活动路线）。动态规划的设计都有着一定的模式，一般要经历如图1所示的几个步骤[1]。

⑴划分阶段：按照问题的时间或空间特征，把问题分为若干个阶段。在划分阶段时，注意划分后的阶段一定要是有序的或者是可排序的，否则问题就无法求解。

⑵确定状态和状态变量：将问题发展到各个阶段时所处的各种客观情况用不同的状态表示出来。当然，状态的选择要满足无后效性。

⑶确定决策并写出状态转移方程：因为决策和状态转移有着天然的联系，状态转移就是根据上一阶段的状态和决策来导出本阶段的状态。所以如果确定了决策，状态转移方程也就可写出。但事实上常常是反过来做，根据相邻两个阶段的状态之间的关系来确定决策方法和状态转移方程。

⑷寻找边界条件：给出的状态转移方程是一个递推式，需要一个递推的终止条件或边界条件。

2 动态规划方法的应用

2.1 货郎担问题

2.2 多段图的最短路径问题多段图的最短路径问题，是求从源点s到达收点t的最小花费的通路。数组元素cost[i]存放顶点i到达收点t的最小花费；数组元素path[i]存放顶点i到达收点t的最小花费通路上的前方顶点编号；数组route[n]存放从源点s出发，到达收点t的最长通路上的顶点编号。

第一阶段，确定第k-1段的所有顶点到达收点t的花费最大的通路。

第二阶段，用第一阶段的信息，确定第k-2段的所有顶点到达收点t的花费最大的通路。当gi（xi）都是线性函数时，它是一个线性规划问题；当gi（xi）是非线性函数时，它是一个非线性规划问题。但当n比较大时，具体求解是比较麻烦的。然而，由于这类问题的特殊结构，可以将它看成一个多阶段决策问题，并利用动态规划的递推关系来求解[4]。在应用动态规划方法处理这类“静态规划”问题时，通常以把资源分配给一个或几个使用者的过程作为一个阶段，把问题中的变量xi选为决策变量，将累计的量或随递推过程变化的量选为状态变量。

2.3 设备更新问题设备的更新问题是确定设备的最优更新策略，使得在一个确定期限里，为公司创造最大的利润。假定，设备更新问题的有关数据如表1所示。其中，i=0

列，表明现有设备的有关数据；i=1列，表示第一年购买的设备的有关数据；其余类推。使用年限中的第0列，表示当年的有关数据，第1列表示使用一年后的有关数据，其余类推；利润、维修费用、更新费用等行分别表示：在第i年购买的设备使用了j年后，可创造的利润、必须付出的维修费用以及更新时需要付出的费用。

3 结束语

动态规划是求解最优化问题的一种途径、一种方法，往往是针对一种最优化问题，由于各种问题的性质不同，确定最优解的条件也互不相同，因而动态规划的设计方法对不同的问题，有各具特色的解题方法。本文详细介绍了动态规划在最短路线、资源分配、设备更新、排序、装载等方面的应用。通过求解不同的实例，总结出用动态规划方法比用其他方法求解更容易、效率更高，并且得到的解的信息更丰富。下一步要对动态规划方法没有统一的标准模型问题加以研究，争取得到在求解同一类问题时能有一个标准模型。

参考文献：[1] 郑宗汉，郑晓明编著.算法分析与设计[M].清华大学出版社，2005.

[2] 王志和，凌云.Dijkstra最短路径算法的优化及其实现[J].微计算机信息，2007：11-3