2005年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题及答案

2005年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案
一、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（1）设x x y )sin 1(+=，则x dy π== . 【答案】dx π-
【考点】复合函数的微分法 【难易度】★★ 【详解】
解析：方法一： x x y )sin 1(+==)
sin 1ln(x x e
+，于是
]sin 1cos )sin 1[ln()
sin 1ln(x
x
x x e y x x +⋅
++⋅='+，
从而 π
=x dy
=.)(dx dx y ππ-='
方法二： 两边取对数，)sin 1ln(ln x x y +=，对x 求导，得
1cos ln(1sin )1sin x x y x y x
'=+++， 于是 ]sin 1cos )sin 1[ln()sin 1(x
x
x x x y x
+⋅++⋅+='，故
π
=x dy
=.)(dx dx y ππ-='
（2）曲线x
x y 2
3
)
1(+=
的斜渐近线方程为 .
【答案】.2
3+
=x y 【考点】斜渐近线 【难易度】★★ 【详解】
解析：因为32
())
lim
lim 1,
x x f x k x →+∞
=== []23
)1(lim
)(lim 2
32
3
=-+=-=+∞→+∞
→x
x x kx x f b x x ，
于是所求斜渐近线方程为.2
3+=x y （3）
=--⎰1
2
2
1)2(x
x
xdx
.
【答案】
4
π 【考点】定积分的换元法 【难易度】★★ 【详解】
解析：方法一：令t x sin =，则
=
--⎰1
2
2
1)2(x x
xdx
⎰
-20
2
cos )sin 2(cos sin π
dt t
t t
t =.4
)
arctan(cos cos 1cos 2020
2π
π
π
=
-=+-⎰t t
t
d
t =，有221,x t xdx tdt =-=-，
1
1
22
1
01arctan 0114dt dt t t t π-====++⎰
⎰
⎰.
（4）微分方程x x y y x ln 2=+'满足9
1
)1(-=y 的解为 . 【答案】.9
1ln 31x x x y -=
【考点】一阶线性微分方程
【难易度】★★ 【详解】
解析：原方程变形为
x y x
y ln 2
=+
'， 于是通解为 ⎰⎰+⋅=
+⎰⋅⎰=-
]ln [1]ln [2
22
2
C xdx x x
C dx e
x e
y dx
x dx
x =
21
91ln 31x C x x x +-， 由91)1(-=y 得0C =，故所求解为.9
1
ln 31x x x y -=
（5）当0→x 时，2
)(kx x =α与x x x x cos arcsin 1)(-+=β是等价无穷小，则
k = . 【答案】3
4
【考点】等价无穷小 【难易度】★★ 【详解】
解析：由题设，200cos arcsin 1lim )()(lim
kx
x
x x x x x x -+=→→αβ
=)
cos arcsin 1(cos 1arcsin lim
20x x x kx x
x x x ++-+→=
k 2120arcsin 1cos lim x x x x x →+- 2011cos arcsin 113
lim()(1)2224x x x k x x k k →-=
+=+= 34k ⇒=.
（6）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵
),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ， 如果1=A ，那么=B .
【答案】2
【考点】行列式的基本性质；抽象型行列式的计算 【难易度】★★ 【详解】
解析：方法一：由题设，有
)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B
=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡941321111),,(321ααα， 于是有.2219
4132
11
11=⨯=⋅=A B
方法二：利用行列式性质
123123123,24,39B ααααααααα=++++++
[2][1]
1231323[3][1],3,28ααααααα--====++++3[2]2[2]
123233====,3,2αααααα-+++
1232332,3,αααααα=+++[1][3]
1223
[2]3[3]
====2,,αααα--+[1][2]
123====2,,ααα-
因123,,1A ααα=
=，故2B =.
二、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7
）设函数()n f x =，则()f x 在),(+∞-∞内（ ）
（A ） 处处可导. （B ） 恰有一个不可导点.
（C ） 恰有两个不可导点. （D ） 至少有三个不可导点. 【答案】（C ）
【考点】分段函数的导数 【难易度】★★★ 【详解】
解析：当1<x 时，
≤≤，
令n →∞取极限，得
()1n f x ==；
当1=x 时，111lim )(=+=∞
→n n x f ；
当1>x 时，
3
x <
命n →∞取极限，得
13
3
31()lim (
1).n
n
n f x x x x
→∞
=+=
即3
1,
1(),
1
x f x x x ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩
再讨论()f x 的不可导点.按导数定义，易知1x =±处()f x 不可导，故应选(C). （8）设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是
N ”，则必有（ ）
（A ）()F x 是偶函数⇔()f x 是奇函数. （B ）()F x 是奇函数⇔()f x 是偶函数. （C ） ()F x 是周期函数⇔()f x 是周期函数.
（D ） ()F x 是单调函数⇔()f x 是单调函数. 【答案】（A ）
【考点】积分上限的函数及其导数 【难易度】★★ 【详解】
解析：方法一：任一原函数可表示为⎰
+=
x
C dt t f x F 0
)()(，且).()(x f x F ='
当()F x 为偶函数时，有)()(x F x F =-，于是)()1()(x F x F '=-⋅-'，即 )()(x f x f =--，亦即)()(x f x f -=-，可见()f x 为奇函数；反过来，若()f x 为奇函数，则⎰
x
dt t f 0
)(为偶
函数，从而⎰
+=
x
C dt t f x F 0
)()(为偶函数，可见(A)为正确选项.
方法二：令()1f x =, 则取()1F x x =+, 排除(B)、(C); 令()f x x =， 则取
2
1()2
F x x =
, 排除(D); 故应选(A). （9）设函数()y y x =由参数方程⎩⎨⎧+=+=)
1ln(,
22t y t t x 确定，则曲线()y y x =在3x =处的法线与
x 轴交点的横坐标是（ ）
（A ） 1ln 238+. （B ） 32ln 8
1
+-.
（C ） 32ln 8+-. （D ） 32ln 8+.
【答案】（A ）
【考点】导数的几何意义；由参数方程所确定的函数的导数 【难易度】★★ 【详解】
解析：当3x =时，有322
=+t t ，得3,1-==t t （舍去，此时y 无意义），于是
曲线()y y x =在3x =处的切线斜率为
3
1
1
11122
8
t x x t t y dy
t dx
x t ==='+==='
+， 于是在该处的法线方程为：
)3(82ln --=-x y ，
令y =0, 得其与x 轴交点的横坐标为：32ln 8
1
+, 故应(A).
（10）设区域}0,0,4),{(2
2≥≥≤+=y x y x y x D ，()f x 为D 上的正值连续函数，,a b 为
常数，则
=+
+⎰⎰
σd y f x f y f b x f a D
)
()()()(（ ）
（A ）πab . （B ）
π2ab . （C ）π)(b a +. （D ）π2
b a + . 【答案】（D ）
【考点】二重积分的计算 【难易度】★★★ 【详解】
解析：由轮换对称性，有
=
+
+⎰⎰
σd y f x f y f b x f a D
)
()()()(σd x f y f x f b y f a D
⎰⎰
+
+)
()()()(
=
12D d σ⎰⎰
=
.2
241222
ππσb a b a d b a D +=⋅⋅+=+⎰⎰ 应选(D). （11）设函数⎰
+-+-++=y
x y
x dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数，ψ
具有一阶导数，则必有（ ）
（A ） 2222y u x u ∂∂-=∂∂. （B ） 2
222y u
x u ∂∂=∂∂.
（C ） 222y
u
y x u ∂∂=∂∂∂. （D ）
222x u y x u ∂∂=∂∂∂. 【答案】（B ）
【考点】多元复合函数的求导法 【难易度】★★ 【详解】 解析：因为
)()()()(y x y x y x y x x
u
--++-'++'=∂∂ψψϕϕ，
)()()()(y x y x y x y x y
u
-+++-'-+'=∂∂ψψϕϕ， 于是 )()()()(2
2y x y x y x y x x
u
-'-+'+-''++''=∂∂ψψϕϕ， )()()()(2
2y x y x y x y x y
u
-'-+'+-''++''=∂∂ψψϕϕ， 可见有2
222y
u x u ∂∂=∂∂，应选（B ）.
（12）设函数,1
1)(1
-=
-x x
e
x f 则（ ） （A ） 0x =，1x =都是()f x 的第一类间断点. （B ） 0x =，1x =都是()f x 的第二类间断点.
（C ） 0x =是()f x 的第一类间断点，1x =是()f x 的第二类间断点. （D ） 0x =是()f x 的第二类间断点，1x =是()f x 的第一类间断点. 【答案】（D ）
【考点】第一类间断点；第二类间断点 【难易度】★★ 【详解】
解析：由于函数()f x 在0x =，1x =点处无定义，因此是间断点.
且 ∞=→)(lim 0
x f x ，所以0x =为第二类间断点；
0)(lim 1
=+
→x f x ，1)(lim 1
-=-→x f x ，所以1x =为第一类间断点，故应选（D ）.
（13）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，
)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是（ ）
（A ）01≠λ. （B ）02≠λ. （C ）01=λ. （D ）02=λ. 【答案】（B ）
【考点】矩阵的特征向量的性质；向量组线性无关的判别法； 【难易度】★★ 【详解】
解析：方法一：令 0)(21211=++αααA k k ，则
022211211=++αλαλαk k k ， 0)(2221121=++αλαλk k k . 因12λλ≠，故21,αα线性无关，于是有
⎩⎨⎧==+.0,
02
2121λλk k k
当02≠λ时，显然有0,021==k k ，此时1α，)(21αα+A 线性无关；反过来，若1α，)(21αα+A 线性无关，则必然有02≠λ（否则，1α与)(21αα+A =11αλ线性相关），故应选（B ）.
方法二： 由于⎥
⎦
⎤
⎢
⎣⎡=+=+21212211121101],[],[)](,[λλαααλαλααααA ， 由12λλ≠，知21,αα线性无关，从而1α，)(21αα+A 线性无关的充要条件是
.00122
1
≠=λλλ故应选（B ）.
（14）设A 为n （2≥n ）阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B , *
*,B A 分别
为A , B 的伴随矩阵，则（ ）
（A ）交换*A 的第1列与第2列得*B . （B ）交换*A 的第1行与第2行得*
B .
（C ）交换*A 的第1列与第2列得*B -. （D ）交换*A 的第1行与第2行得*
B -. 【答案】（
C ）
【考点】矩阵的初等变换 【难易度】★★★ 【详解】
解析：方法一： 由题设，存在初等矩阵12E （交换n 阶单位矩阵的第1行与第2行所得），
使得 B A E =12，于是 12*1
12
12*
12***12*)(E A E E A E A A E B -=⋅===-，即
*12*B E A -=,可见应选(C).
方法二：交换A 的第一行与第二行得B ，即12B E A =. 其中12E 是E 的第1行与第2行交换后得到的互换初等阵.
A 是可逆阵，且12120
B E A E A A ===-≠，故B 可逆
且1
1
1
1212(),B E A A E ---==又1
1,A B A B A B
**
--==
故，12B A E B A
**
=，又因B A =-，故*12*B E A -=，可见应选(C).
三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （15）（本题满分11分）
设函数()f x 连续，且0)0(≠f ，求极限.)()()(lim
⎰⎰--→x x
x dt
t x f x dt
t f t x
【考点】定积分的换元法；洛必达法则 【难易度】★★ 【详解】
解析：作积分变量变换，命x t u -= 则
000
()()()()x
x
x
f x t dt f u du f u du -=-=⎰
⎰⎰,于是
⎰⎰⎰⎰⎰
-=--→→x
x x
x x x
x du
u f x dt
t tf dt t f x dt
t x f x dt
t f t x 0
)()()(lim
)()()(lim
=⎰
⎰+-+→x
x
x x xf du u f x xf x xf dt t f 0
)()()
()()(lim
=⎰
⎰+→x x
x x xf du u f dt
t f 0
)
()()(lim
（1）
方法1：由（1）用积分中值定理
原式=000
1()lim 1()()x
x
x f t dt x f x f t dt
x →+⎰⎰ （2）
而 0
()1()lim ()(0)x
x
x f t dt f t dt f x f x x
→=
=⎰
⎰洛
代入（2）得原式1
2
=.
方法2：设()F x 是()f x 的一个原函数，则
()()-(0)
lim
lim
(0)(0)0
x
x x f t dt F x F F f x
x →→'===-⎰
代入（2）得原式12
=
. （16）（本题满分11分） 如图，1C 和2C 分别是)1(2
1
x e y +=
和x e y =的图象，过点（0,1）的 曲线3C 是一单调增函数的图象. 过2C 上任一点(,)M x y 分别作垂直于
x 轴和y 轴的直线x l 和y l . 记21,C C 与x l 所围图形的面积为)(1x S ； 32,C C 与y l 所围图形的面积为).(2y S 如果总有)()(21y S x S =，求曲线 3C 的方程).(y x ϕ=
【考点】定积分的几何应用—平面图形的面积 【难易度】★★ 【详解】
解析：由题设图形知，3C 在1C 的左侧，由题设1()S x =2()S y 知
⎰--=+-=x
x t
t x e dt e e x S 0
1)1(2
1)]1(21[)(， ⎰
-=
y
dt t t y S 1
2))((ln )(ϕ，
由题设，得 ⎰-=--y x
dt t t x e 1))((ln )1(2
1ϕ，
而x
e y =，于是⎰-=--y dt t t y y 1))((ln )1ln (2
1
ϕ
两边对y 求导得
)(ln )1
1(21y y y
ϕ-=-， 故所求的函数关系为：.21
ln )(y
y y y x --==ϕ （17）（本题满分11分）
如图，曲线C 的方程为y=f （x ），点（3,2）是它的一个拐点，直线
1l 与
2l 分别是曲线C 在点（0,0）与（3,2）处的切线，其交点为（2,4）.设函数
f （x ）具有三阶连续导数，计算定积分
⎰
'''+3
2.)()(dx x f x x
【考点】导数的几何意义；函数图形的拐点；定积分的分部积分法 【难易度】★★ 【详解】
解析：由题设图形知，直线1l 的方程为,2y x =所以(0)2f '=.直线2l 的方程为2(4)y x =--,所以(3)2f '=-,(3)0.f ''=(因为点(3,2)为曲线()y f x =的拐点)
由分部积分，知
⎰⎰⎰
+''-''+=''+='''+3
3030
223
2)12)(()
()()()()()(dx x x f x f x x x f d x x dx x f x x
=dx x f x f x x f d x ⎰⎰'+'+-='+-3
3
30
)(2)
()12()()12(
=.20)]0()3([216=-+f f （18）（本题满分12分）
用变量代换)0(cos π<<=t t x 化简微分方程0)1(2
=+'-''-y y x y x ，并求其满足
2,10
='
===x x y y
的特解.
【考点】二阶常系数齐次线性微分方程 【难易度】★★ 【详解】
解析：由题设)0(cos π<<=t t x ，有
sin dx
x dt
=，及 dt
dy t dx dt dt dy y sin 1-=⋅='，
)sin 1
(]sin 1sin cos [222t
dt y d t dt dy t t dx dt dt y d y -⋅-=⋅'=
''，
代入原方程，将原方程化简为 02
2=+y dt
y
d . 其特征方程为2
10r +=，特征根1,2r i =±,通解为12cos sin y C t C t =+
解此微分方程，得 221211s i n c o s x C x C t C t C y -+=+=， 将初始条件2,10
='
===x x y y
代入，有1,221==C C . 故满足条件的特解为
21 1.y x x =-<<
（19）（本题满分12分）
已知函数()f x 在[0，1]上连续，在（0,1）内可导，且(0)0,(1)1f f ==. 证明： （I ）存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f ；
（II ）存在两个不同的点)1,0(,∈ζη，使得.1)()(=''ζηf f 【考点】零点定理；拉格朗日中值定理 【难易度】★★ 【详解】
解析：（I ） 令x x f x F +-=1)()(，则()F x 在[0，1]上连续，且(0)10F =-<,
(1)10F =>,于是由介值定理知，存在),1,0(∈ξ 使得0)(=ξF ，即ξξ-=1)(f .
（II ） 在],0[ξ和]1,[ξ上对()f x 分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点
)1,(),,0(ξζξη∈∈，使得0)0()()(--=
'ξξηf f f ，ξ
ξζ--='1)
()1()(f f f
于是 .1111)(1)()()(=-⋅-=--⋅=
''ξ
ξ
ξξξξξξζηf f f f （20）（本题满分10分）
已知函数(,)z f x y =的全微分ydy xdx dz 22-=，并且(1,1)2f =. 求(,)f x y 在椭圆域
}14
),{(2
2
≤+=y x y x D 上的最大值和最小值.
【考点】拉格朗日乘数法；多元函数的极值；多元函数的最大值、最小值 【难易度】★★★ 【详解】
解析：由ydy xdx dz 22-=易知 22
()z f x x y C ==-+.再由(1,1)2f =知，2C =.于是
所讨论的函数为22()2z f x x y ==-+.
求z 在2
2
14
y x +<中的驻点. 由 20z x x ∂==∂，20z
y y
∂=-=∂ 得驻点(0,0)，对应的(0,0)2z f ==.
为讨论2
2
(,)2z f x y x y ==-+在D 的边界2
2
=14
y x +上的情况，有两个方法. 方法一：以224(1)y x =-代入z 的表达式，有
222()2=52z f x x y x ==-+-，11x -≤≤ 10x z x '⇒=
令0x z '=得0x =，对应的2y =±，0,2
2x y z
==±=-
还要考虑11x -≤≤的端点1x =±，对应的0y =，1,0
3x y z =±==
由2,2,3z z z ==-=比较大小，故
min 2z =-（对应于0x =，2y =±），m
a x 3z =（对应于0x =，2y =±）
方法二：讨论2
2
2z x y =-+在D 的边界2
2
=14y x +上的情况，用拉格朗日乘数法，作函数 2
2
2
2
(,,)2(1)4
y F x y x y x λλ=-+++- 再考虑其在边界曲线14
2
2
=+y x 上的情形：作拉格朗日函数为 )14
(),(),,(2
2
-++=y x y x f y x F λλ， 解方程组 22
22(1)0,12022104
x y f
F x x x f y F y y y y F x λλλλλ⎧∂'=+=+=⎪∂⎪
∂⎪
'=+=-+=⎨∂⎪⎪'=+-=⎪⎩
解得4个可能的极值点(0,2),(0,2),(1,0),(1,0)--.计算对应的z 的值：
(0,2)
(0,2)
(1,0)
(1,0)
z
2,z
2,z
3,z
3--=-=-==
再与(0,0)
z
2=比较大小，结论同方法1.
（21）（本题满分9分） 计算二重积分
σd y x D
⎰⎰
-+122，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D .
【考点】二重积分的性质；利用直角坐标计算二重积分；利用 极坐标计算二重积分 【难易度】★★ 【详解】
解析：D 如图.2210x y +-=为以O 为中心半径为1 的圆周， 划分D 如图为 1D 与2D .
22222
22
1
1,(,)11,
(,)x y x y D x y x y x y D ⎧+-∈⎪+-=⎨--∈⎪⎩
方法1：
2
21D
x
y d σ+-⎰⎰=⎰⎰-+-1
)1(22D dxdy y x ⎰⎰-++2
)1(22D dxdy y x
前一个积分用直角坐标做，
2
112
2
220(1)1)D x
y dxdy dx x y dy +-=+-⎰⎰⎰
3
1
2
2
22
011[(1)((1-)]33
x x x dx =----⎰ 3
3
22
1
1112
2220000
2222[()(1)](1)3333x x dx x dx dx x dx =-+-=-+-⎰⎰⎰⎰ 4201212311cos 333342238
tdt πππ=-+=-+=-+⎰.
后一个积分用极坐标做，
1
1
2
2
2
22
00011(1)(1)()248D x y dxdy d r rdr d ππ
πθθ--=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰. =⎰
⎰--
20
21
)1(π
θrdr
r d ⎰⎰-++D
dxdy y x )1(22⎰⎰-+-1
)1(22D dxdy y x
=8π+⎰⎰⎰⎰---+2
010*******)1()1(π
θrdr r d dy y x dx =.3
14-π
方法2：由于区域2D 的边界复杂，计算该积分较麻烦，可以将2D 内的函数“扩充”到整个区域D =12D D ⋃，再减去“扩充”的部分，就简化了运算.即
2
2
2(1)d D x
y σ+-=⎰⎰22(1)D
x y d σ+-⎰⎰1
22(1)D x y d σ-+-⎰⎰
因此
221D
x y d σ+-⎰⎰
=1
22(1)D x y d σ--⎰⎰2
22(1)D x y d σ++-⎰⎰
1
22(1)D x y d σ=
--⎰⎰+22(1)D
x y d σ+-⎰⎰1
22(1)D x y d σ-+-⎰⎰ 1
222(1)D x y d σ=--⎰⎰+22(1)D
x y d σ+-⎰⎰
由极坐标
1
1
2
2
2
2
2
0011(1)(1)()248D x y dxdy d r rdr d ππ
πθθ--=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰. 而31
1
1
2
2
2
2
2
0001(1)(1)[(1)]03D
x x y d dy x y dx y x dy σ+-=+-=+-⎰⎰⎰⎰⎰
31
122
0011221[1]()[]033333y y dy y dy y =+-=-=-=-⎰⎰ 所以
221D
x y d σ+-⎰⎰
=
.3
14-π
（22）（本题满分9分）
确定常数a ,使向量组,),1,1(1T
a =α,)1,,1(2T
a =αT a )1,1,(3=α可由向量组
,),1,1(1T a =β,)4,,2(2T a -=βT a a ),,2(3-=β线性表示，但向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示.
【考点】向量的线性表示；非齐次线性方程组解的判定 【难易度】★★★ 【详解】
解析：方法1：记123123(,,),(,,)A B αααβββ==由于123,,βββ不能由123,,ααα线性表出，故()3r A <，（若()3r A =，则任何三维向量都可以由123,,ααα线性表出），从而
21111111(2)0
10(2)(1)11
1
a A a a a a a a a a ==+-=-+--
从而得1a =或2a =-.
当1a =时，1231[1,1,1]T αααβ====
显然123,,ααα可由123,,βββ线性表出但T
2[2,1,4]β=-不能由123,,ααα线性表出，故
1a =符合题意.
当2a =-时,由于
122
112[]122
121242
211B A ---⎡⎤⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥---⎣⎦
122
1
1
2000033006000---⎡⎤
⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥-⎣
⎦
因2()2()3r A r B
α=≠=.故方程组2BX α=无解，故2α不能由123,,βββ线性表出，
这和题设矛盾，故2a =-不合题意.
因此1a =.
方法2：对矩阵),,,,(321321αααβββ =A 作初等行变换，有
),,,,(321321αααβββ =A =⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--11411111221a a a a a a a
→ ⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+-++--a a a a a a a a 110324001022011221
→⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----++--a a a a a a a 1)1(304000102201122
1 ，
当2a =-时，→A ⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----330600030000211221 , 显然2α不能由
321,,βββ线性表示，因此2-≠a ；当4a =时，
→A ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----39000003066041
1221 ，然
32,αα均不能由321,,βββ线性表示，因
此4≠a .
而当2-≠a 且4≠a 时，秩3),,(321=βββr ，此时向量组321,,ααα可由向量组
321,,βββ线性表示.
又⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==a a a a a a a B 41111122111),,,,(321321 βββααα
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--++----→a a a a a a a a a 324011022011022111
2
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡++--++----→2436020022011022111
2
a a a a a a a a a ，
由题设向量组
321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示，必有01=-a 或
022=--a a ，即1a =或2-=a .
综上所述，满足题设条件的a 只能是：1a =.
（23）（本题满分9分）
已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零，矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=k B 63642321（k 为常数），且0AB =, 求线性方程组0Ax =的通解.
【考点】齐次线性方程组解的判定 【难易度】★★★ 【详解】
解析：由0AB =知，B 的每一列均为0AX =的解，且.3)()(≤+B r A r
（1）若9k ≠, 则()2r B =, 于是()1r A ≤, 显然()1r A ≥, 故()1r A =. 可见此时0Ax =的基础解系所含解向量的个数为3-()r A =2, 矩阵B 的第一、第三列线性无关，可作为其基
础解系，故0Ax = 的通解为：2121,,63321k k k k k x ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=为任意常数.
(2) 若9k =，则()r B =1, 从而.2)(1≤≤A r
1） 若()2r A =, 则0Ax =的通解为：11,321k k x ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=为任意常数.
2） 若()1r A =,则0Ax =的同解方程组为：0321=++cx bx ax ,不妨设0≠a ,则其通
解为 2121,,1001k k a c k a b k x ⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=为任意常数.。