2005年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题及答案

2005年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案

一、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

（1）设x x y )sin 1(+=，则x dy π== . 【答案】dx π-

【考点】复合函数的微分法 【难易度】★★ 【详解】

解析：方法一： x x y )sin 1(+==)

sin 1ln(x x e

+，于是

]sin 1cos )sin 1[ln()

sin 1ln(x

x

x x e y x x +⋅

++⋅='+，

从而 π

=x dy

=.)(dx dx y ππ-='

方法二： 两边取对数，)sin 1ln(ln x x y +=，对x 求导，得

1cos ln(1sin )1sin x x y x y x

'=+++， 于是 ]sin 1cos )sin 1[ln()sin 1(x

x

x x x y x

+⋅++⋅+='，故

π

=x dy

=.)(dx dx y ππ-='

（2）曲线x

x y 2

3

)

1(+=

的斜渐近线方程为 .

【答案】.2

3+

=x y 【考点】斜渐近线 【难易度】★★ 【详解】

解析：因为32

())

lim

lim 1,

x x f x k x →+∞

=== []23

)1(lim

)(lim 2

32

3

=-+=-=+∞→+∞

→x

x x kx x f b x x ，

于是所求斜渐近线方程为.2

3+=x y （3）

=--⎰1

2

2

1)2(x

x

xdx

.

【答案】

4

π 【考点】定积分的换元法 【难易度】★★ 【详解】

解析：方法一：令t x sin =，则

=

--⎰1

2

2

1)2(x x

xdx

⎰

-20

2

cos )sin 2(cos sin π

dt t

t t

t =.4

)

arctan(cos cos 1cos 2020

2π

π

π

=

-=+-⎰t t

t

d

t =，有221,x t xdx tdt =-=-，

1

1

22

1

01arctan 0114dt dt t t t π-====++⎰

⎰

⎰.

（4）微分方程x x y y x ln 2=+'满足9

1

)1(-=y 的解为 . 【答案】.9

1ln 31x x x y -=

【考点】一阶线性微分方程

【难易度】★★ 【详解】

解析：原方程变形为

x y x

y ln 2

=+

'， 于是通解为 ⎰⎰+⋅=

+⎰⋅⎰=-

]ln [1]ln [2

22

2

C xdx x x

C dx e

x e

y dx

x dx

x =

21

91ln 31x C x x x +-， 由91)1(-=y 得0C =，故所求解为.9

1

ln 31x x x y -=

（5）当0→x 时，2

)(kx x =α与x x x x cos arcsin 1)(-+=β是等价无穷小，则

k = . 【答案】3

4

【考点】等价无穷小 【难易度】★★ 【详解】

解析：由题设，200cos arcsin 1lim )()(lim

kx

x

x x x x x x -+=→→αβ

=)

cos arcsin 1(cos 1arcsin lim

20x x x kx x

x x x ++-+→=

k 2120arcsin 1cos lim x x x x x →+- 2011cos arcsin 113

lim()(1)2224x x x k x x k k →-=

+=+= 34k ⇒=.

（6）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵

),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ， 如果1=A ，那么=B .

【答案】2

【考点】行列式的基本性质；抽象型行列式的计算 【难易度】★★ 【详解】

解析：方法一：由题设，有

)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B

=⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡941321111),,(321ααα， 于是有.2219

4132

11

11=⨯=⋅=A B

方法二：利用行列式性质

123123123,24,39B ααααααααα=++++++

[2][1]

1231323[3][1],3,28ααααααα--====++++3[2]2[2]

123233====,3,2αααααα-+++

1232332,3,αααααα=+++[1][3]

1223

[2]3[3]

====2,,αααα--+[1][2]

123====2,,ααα-

因123,,1A ααα=

=，故2B =.

二、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7

）设函数()n f x =，则()f x 在),(+∞-∞内（ ）

（A ） 处处可导. （B ） 恰有一个不可导点.

（C ） 恰有两个不可导点. （D ） 至少有三个不可导点. 【答案】（C ）