江苏科技大学 数理逻辑2020试题、数理逻辑2020试题

江苏科技大学数理逻辑2020试题、数理逻辑

2020试题

证明：设可数个可数集分别为, 其中、我们令、把的元素

按照如下次序排成阵列并依据箭头指示的方向顺序对集合的元素

进行枚举、不难看出该枚举算法可以保证的每个元素在有限步里被枚举到, 由此说明是可数的、■命题1、2、2、实数集是不可数集、证明: 根据上述分析知, 只要证明所有形如(1、2、2)的小数的全体是不可数的、运用反证法: 如果全体形如(1、1、2)的

小数是可数的, 则这些数的全体可枚举如下：其中每个是或、我们利用枚举(2、3)构造一小数满足: 如果; 如果, 则不同于(2、3)所枚举出的全体小数中的任意一个, 由此产生矛盾、此矛盾说明全体小数是不能枚举的, 因此它们是不可数的, 所以也是不可数的、■例3-1、证明自然数加法是原始递归函数、证明: 首先我们注意到自然数集上的恒等函数是原始递归函数，因为、于是可以通过递归模式，定义、所以是原始递归函数、■例3-2、证明自然数乘法是原始递归函数、证明: 我们已经证明了是原始递

归的，在此基础上可以通过递归模式，定义、所以是原始递归函数、■命题6、1（可靠性定理）、每个的定理都是的重言式、证明：设是的定理，则存在的证明，即公式序列满足：每个或是

的公理，或是由某两个前面的公式和经得到、现在我们施归纳于

公式序列的长度来证明、奠基步：当时，上述序列中只有一个公式，那么必为的公理L1，L2或L3，由例6-2知一定是重言式、归纳推证步：假设命题对小于的证明序列成立、在证明序列中公式是，可分两种情况考虑：情况1、是公理，那么由奠基步的证明即得是重言式、情况2、是由公式经得到，此时不妨设为的形式、由于和是出现在之前的定理，故根据归纳假定知和均为重言式，即对任意赋值，均有和、如果，那么根据赋值的定义就有，此和矛盾、此矛盾说明对任意的赋值必有，故是的重言式、根据归纳法原理命题得证、命题6、2、形式系统是协调的、证明：如果不是协调的，则存在的公式使得并且、由可靠性定理知和都是重言式，即对任意的赋值，和均为，由此而产生矛盾、■命题6、3、的扩充是协调的充要条件为存在一个合式公式不是的定理、证明：如果协调，则对任意公式，和不能同时为的定理，故至少有一公式不是的定理、反之，假定不协调，那么就有公式使得并且、由于是的扩充，那么的定理也是的定理，由例2-2（b）知是的定理, 于是运用推理规则就可得到, 其中为任意公式，这样任意公式都成为了的定理、换句话说，如果有公式不是的定理，那么必是协调的、■在我们通过对的公理集添加公式得到扩充时，必须保证是协调的、下面命题为我们提供了一个途径、命题6、4、设是的协调扩充，是的公式并且不是的定理、则我们把加到的公理中得到的扩充是协调的、证明：设是的公式且不是的定理、现将加入的公理集得到的扩充、如果不协调，则有某公

式使得并且，由此可得、由于与的区别在于只比多一条公理，所以在中，若假设则可推出，即，运用演绎定理就得到、注意到是的定理因而也是的定理，于是运用可得，这和不是的定理矛盾、命题6、5、设是的协调扩充，则存在的协调完备扩充、证明：首先注意到的全部公式是可数的，因而我们可用某种方法将之排列出来、设是的全部公式的一个枚举、我们构造的扩充序列如下：首先令，构造：如果，则令；如果没有，即不是的定理，则把加入的公理集得到、根据命题6、4知是协调的、假定已有且是协调的，我们构造: 如果，则令，如果没有，则把加入的公理集得到、同样是协调的、按照这样的方法依次构造下去，我们得到了一个扩充序列，其中而每个都是协调的、构造形式系统，它的公理集是由所有的公理集的并集组成、我们证明是的协调完全扩充、首先是协调的：如果不协调，那么有公式使得并且，即在中能证明和都是的定理、但由于证明的序列是有穷的，因而最多只用到的有穷条公理，因此必有某个，的公理包含这些公理，于是在中就可证明和都是的定理，这和协调矛盾、其次是完全的：设是任一的公式，不妨设为、如果是的定理，那么也是的定理; 否则将成为的定理，当然也是的定理、命题5 在解释中，赋值满足公式的充要条件是在中至少存在一个与等价的赋值，满足。证明：设满足，则满足~，故不满足，于是有一个与等价的赋值不满足，故此满足。反之，若与等价的满足，那么不满足，故不满足，可得、、满足~，即满足。命题7 设是的解释，是的公式，和

是中的赋值，且对中的每个自由变元均有，则满足当且仅当满足。证明：施归纳于中联结词的数目奠基步：是原子公式，如，对任意出现在中的自由变元和常元，均有和的值相同，因而，故满足的充要条件为满足。归纳推导：情形1，是；情形2，是；这两种情形可以直接证明，只要用到有关的定义以及归纳假定即可，因而留作习题。情形3 ，是，假定满足，设是任意与等价的赋值，由于在中不自由出现，则对中出现的任意自由变元，。。我们定义如下：则是与等价的赋值，由满足知，满足知满足，注意到对中的任意自由变元，均有，又有，根据归纳假定知满足，而是任意与等价的赋值，故有满足，即满足公式。反之，类似可证明若满足，则满足。根据归纳法原理，命题得证。□命题3、2、 L 的任意公式都与一个L 的前束范式等价、该命题可施归纳于的长度来进行证明,证明的思路可归结为求某公式前束范式的一般方法：步骤1、对给定的公式，改变中的约束变元，使它们都不同于中的自由变元, 而且不同的约束变元取不同的名，这样得到、根据变元替换定理知；步骤2、如果是原子公式，那么它已是前束范式;步骤3、（1）如果是的情形：设的前束范式为，那么的前束范式为,其中（2）如果是的形式：设的前束范式为，的前束范式为，则的前束范式为、（3）如果是，则先求的前束范式，再求的前束范式、（4）如果是，则先求的前束范式，再求的前束范式、■数理逻辑和计算机科学有着分密切的关系，无论是数字电子计算机雏形的图灵机，还是数字电路的布尔代数，以及

作为程序设计工具的语言、程序设计方法学、关系数据库、知识库、编译方法、人工智能等领域均离不开数理逻辑。同时，由于两者的相互渗透推动了数理逻辑的发展。因此学好数理逻辑对于计算机科学理论的研究有重要的作用。数理逻辑的研究内容概括的讲是两个演算加上四论[1]，两个演算为命题演算和谓词演算；四论为递归论、证明论、模型论、公理集合论。其中命题演算和谓词演算是四论的共同基础。命题演算的一个具体模型就是逻辑代数。逻辑代数也叫做开关代数，它的基本运算是逻辑加、逻辑乘和逻辑非，也就是命题演算中的“或”、“与”、“非”，运算对象只有两个数 0和1，相当于命题演算中的“真”和“假”。利用电子元件组成相当于逻辑加、逻辑乘和逻辑非的门电路（就是逻辑元件）。还能把简单的逻辑元件组成各种逻辑网络，这样任何复杂的逻辑关系都可以有逻辑元件经过适当的组合来实现，从而使电子元件具有逻辑判断的功能。因此，在自动控制或智能控制方面有重要的应用。其应用可参考文献[5，6]。本文主要介绍数理逻辑在计算机科学中的应用。