稳恒磁场讲义

1
1 1 ( R )2
1 (R x0 )2
2 x0
cos2
L x0
1 1 ( R )2
(L x0 )2 R2
2 L x0
此时中心区域磁场可近似如下
B
0 NI
L
[1
R2 4 x02
R2
4 L x0
2
]
此结果小于无限长时的情形.
(3) 长直螺线管端口中心处的磁场
左端口1 2，2
任一点的切线方向即为该点磁感应r 强度的方向.
r B
ddssr
dN
r B
dsr
Bds
cos
Bds
B dN ds
磁场中某点磁感应强度的大小, 在数值上等于垂
直通过单位面积的磁感应线数.
磁感应线的分布特征: 磁感应线是空间一组连续
的、围绕着电流或磁铁的彼此不相交的闭合曲线.
§8.3 稳恒电流产生的磁场
dy
x
sin2
d
I
r
B
o
r
P
x
Idy
1
B 0I
4 x
2 1
sinθd
0 I 4 x
(cos1
cos2 )
B
0 I
4πx
(cos1
cos2 )
y
2
无限长时 1 0，2
B 0I 2 x
I
r
B
o
r
P
x
半无限长时 1 2，2 Idy
或 1 0，2 2
1
B 0I 4 x
例2. 求半径为R、通有电流 I 的环形电流在其轴 线上任意点的磁感应强度.
r dI r j dS en
dl
n
v
dS
r j
=
dq dt dS
ern
=
endSdl dS dt
ern
=
en dl dt
ern
=
envr
n : 导体中自由电子体密度； vr :自由电子的平均定向移动速度.
电流强度标量与电流密度矢量的关系
I
r j
dsr
2. 稳恒电流 电流的稳恒条件:
① 在任意闭合曲面内电量不随时间变化;
E
电势移到高电势,克
服电场力而做功.
E
+ +
K
-
+ + +
E
-
电源
负载
静电力使正电
荷经外电路从 E 高电势移向低
E
电势.
电源: 提供非静电力的装置.
电源电动势: 把单位正电荷从负极经电源内部移
到正极过程中, 非静电力所做的功.
rr
K dl
电源内
r K 非静电力或非静电场强
非静电力所做的功为电动势; 静电力做功为电势.
I
r B
0 IR 2
2(x2 R2
)3
2
r i
B
o
B
磁场方向与环行电流符合右手螺旋法则.
环行电流
电偶极子
(1) 环行电流中心处的磁场
x =0时
r B
0I
r i
2R
(2) 环行电流磁场的远场近似
x >> R时
r B
0 IR 2
2x3
r i
0r 2 x3
其中
r
r R2 Ii
I
r Si
称为环行电流的磁矩.
1. 电流强度和电流密度矢量
电流: 电荷的定向运动. 电流产生的条件: ① 存在自由移动的电荷——自由电荷; ② 存在使电荷运动的外加电场.
电流的方向: 电荷定向运动方向与电荷正、负以及外加
电场方向有关.
电流密度矢量: 用以描述导体中电流的空间分 布矢量, 其方向为导体中各点的电流方向, 大小 等于通过导体中某点、且与电流方向垂直的单 位截面的电流强度.
而磁场只对运动电荷才有作用力.
rr
电场力 f qE
磁场力
r f
qvr
r B
(4)
电场力的方向与电场强度
r E
的方向相同或反
向涉及, 而2个磁矢场量力Br的和方v向r . 与磁感应强度方向垂直, 且
(5) 磁感应强度同样服从叠加原理.
r
r
B Bi
i
4. 磁感应线 定义: 磁感应线是空间一组连续的闭合曲线, 其上
毕奥-沙伐尔定律给出每个电流元在空间任意点
产生的磁感应强度.
电流元
r Idl:
在载有电流 I 的导体上取长度元
r dl,
电
流元大小为 Idl , 其方向与电流同向.
电流元在空间任意点P产生
磁感应强度dBr 的大小为
dB Idl sin
r Idl Idl r
Idl//
r2
I
r
P
方向:
rr dB, dl
得
V l I S
又由
V El
有
El l I S
E I S j j E
其矢量表达式为
rr
j E
其中 1
4. 电源的电动势
在静电场中
rr
Ñl E dl 0
仅有静电场是不可能在回路中形成稳恒电流的.
要维持回路中的稳恒电流, 必须有非静电力存在.
在电源内部, 非静
电力把正电荷从低
0 In
2
(cos1
cos2 )
nN L
则有
B 0NI cos1 cos2
L
2
磁场方向沿x轴正向, 且与电流环绕方向符合右 手螺旋法则.
讨论:
(1) 无限长螺线管轴线上的磁场
L→∞时, α1=0,α2=π
B
0 NI
L
0nI
(2) 有限长细直螺线管中心区域的磁场近似
L >> R时
cos1
x0 x02 R2
例3. 计算长为L、匝数为N、电流强度为 I 的密 绕直螺线管中心轴线上的磁感应强度.
解: 取螺线管轴线为 x 轴, 左端为原点. 记 x 轴上 任意点P的坐标为x0, P点与两端口的夹角分别为
1和2.
d dx
x
O
1 2
P(x0)
R
x
L
d dx
x
O
1
2
P(x0)
dI L
R
x
在x处选取长度为dx的短螺线管, 可视为环形电
故有
蜒 ? r
rr
rr
rr
B l dB//i l dB j l dB//i
蜒 B
l dB//
dB cos
l
又由
dB 0 4
Idl x2 R2
cos R
x2 R2
所以
蜒 B
l
cos
dB
4
0 IR
(x2 R2 )3
2
dl
l
0 IR 2
2(x2 R2 )3
2
环行电流轴线上的磁场
(3) 磁力方向垂直于电荷速度和磁场方向所确定
的平面, 可由右手螺旋法则确定:
r f
拇指r 指向
f
q
v// v cose// r
B
v v sin e
v
q 四 指v环// 绕方向Br
v
v
磁感应强度: 单位正电荷在磁场方
向上具有单位速度分量时, 所受到 的磁场力, 其方向与力和运动电荷
r f
=
qvr
B 0NI cos 1 0NI
L 2 2L
右端口1 0, 2 2
B 0 NI cos 0 1 0NI
L 2 2L
等于无限长螺线管中心处磁场的一半.
螺线管的磁场
例4. 两同样的环形线圈相距为R, 其匝数、半径及
电流分别为N、R 和 I. 计算其轴线上中点的磁感 应强度, 并讨论该点附近Br 的均匀性.
运动电荷是磁场的源. 本节将讨论运动电 荷产生的电流及其磁场的关系, 给出电流(或运 动电荷)与磁感应强度间的解析表达式.
➢ 毕奥-沙伐尔定律—电流元产生的磁场;
➢ 利用毕奥—沙伐尔定律求电流的磁感应强度;
➢ 运动电荷产生的磁场—洛仑磁力公式.
1. 毕奥-沙伐尔定律
把任意形状的稳恒电流分割成许多电流元,
, rr
三矢量服从右手螺旋法则.
毕奥-沙伐尔定律: 电流元在空间 拇指指向
任意点产生的磁感应强度, 大小
与电流元到该点距离的平方成反
B
四指指向
比、与电流元垂直于矢径方向的 分量成正比; 方向与电流元方向、
r
r
P
Idl
矢径方向满足右手螺旋法则r .
r dB
0
Idl
err
4 r2
2. 利用毕奥--沙伐尔定律求稳恒电流的磁场
r B
速度方向构成右手螺旋关系.
讨论：
(1) 磁感应强度是描述磁场对运动
r f
=
qvr
r B
电荷具有作用力特性的物理量.
(2) 对运动电荷, 磁力大小与电荷 B = f = f
电量和运动速度有关.
qv sinθ qv
(3) 磁场力与电场力存在显著差异: 电场力对静
止与运动电荷均有作用力, 且与电荷速度无关;
rr
U Ñl E dl
显然, 非静电力是非保守力.
§8.2 磁学基本现象和基本规律
本节讨论磁现象及其规律, 其本质是运 动电荷产生磁场, 同时给出磁场的物理与几 何描述.
➢ 磁现象及其本质—分子环流; ➢ 磁场的物理描述—磁感应强度; ➢ 磁场的几何描述—磁感应线.
1. 安培分子环流学说
N
S
N
S
组成磁铁的最小单元(磁分子)构成环形电流. 环形电流的定向排列使磁铁在宏观上显示磁性.
分子环流: 磁铁内微观分子中电子的环形运动
——物质磁性的基本来源.
物质的磁性起源于电荷的运动.
2. 磁场
运动电荷
产生 作用
磁场
磁现象本质: 运动电荷在周围产生磁场, 磁场对 置于其中的运动电荷又有力的作用, 即磁力.
解流元: 取Id环lr,形且电满流足的Id轴lr 线 rr为, 它x 在轴轴, 在线其上上P任点选产一生电的
磁感应强度如图所示.
rr
Idl dB dB
R
o
r
r
dB// P
x
r
Idl
dB
0 4
Idl r2
0 4
Idl x2 R2
r 方向dB
rr
矢量分解有
rr r dB dB// dB
r
由对称性可知 Ñl dB 0
流, 它和P点的连线与x轴间夹角为.
设螺线管匝数密度为n
环形电流为 dI I n dx
则环形电流在P点产生的磁感应强度为
dB
0 dI R2
2[(x0 x)2 R2 ]3 2
0R2I n dx 2[R2ctg2 R2]3
2方向沿x轴正向
做变量代换 可得 又由
R ctg1 x R ctg
通电长直导线周围的磁场分布
B 0 I 2 r
r
B
o
r
磁感应线是以通电直导线为轴的圆周曲线, 且其 环绕方向与电流方向满足右手螺旋法则.
有限长通电直导线周围的磁感应强度
dB =
μ0 4π
Idy sinθ r2
y
2
B
l
dB
0 I 4
l
sin
r2
dy
sin x
r
r2
x2 sin2θ
y xctg
dq 0 dt
② 在任意闭合曲面上电流密度矢量的通量为0.
r
ÑS j
dsr
dq dt
0
3. 欧姆定律的微分形式
导体内各点的电流密度与电场强度成正比
rr
j E r 是与 E 无关的常数, 称为导体的电导率;
取一长为l、截面积为S的均匀长直导线, 两端压
降为V:
由
R V I l S ( ---电阻率)
3. 磁感应强度 从对运动电荷施加力的作用来描述磁场的性质. 磁场对运动电荷作用的规律: (1) 在磁场中任意点都存在一个特定方向, 当电 荷沿该方向运动时受力为0;
(2) 电荷在磁场中沿其它方向运动时, 所受的磁 场力与电荷电量q、运动速度v、以及速度方向 和磁场方向间的夹角θ 成正比，即
f qv sin
R
解: 选取坐标轴如图所示. 在轴 线上任一点P(x)的磁感应强度为
RR
O P(x) x
亥姆霍兹线圈
B(x)
0 NIR2
2
(
x2
1 R2 )3
2
[(x
1 R)2
R2 ]3
2
讨论：
(1) 对于中点 x R 2
B(R
2)
0 NI
R
8 53 2
(2) 中点附近B的均匀性.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
在B(R/2)附近将B(x)展成泰勒级数
B
r
P
x
量积分可转化成标量积分
Idy
B dB 0I sin dy
l
4 l r2
又由 r = x2 + y2
sinθ = x x2 + y2
故有
B 0I
4
xdy (x2 y2 )3 2
0 I 4
[(x2
y y2 )1
2
]
0 2
I x
因此, 通电长直导线周围的磁感应强度为
B 0 I 2 x
单独的电流元是不存在的. 对稳恒电流在空
间产生的磁感应强度, 可通过叠加各电流元产生
的磁感应强度而求得
蜒 r
B
r dB
0
l
4
rr Idl er l r2
例1. 计算无限长通电直导线产生的磁感应强度. 解: 取电流元 Idyr , 它在P点产生的磁感应强度为
dB
0 4
Idy sin
r2
y
方向: 垂直纸面向里. 因此, I 所有电流元在P点产生的磁 o 感应强度方向相同. 于是, 矢
dx
Rd sin2
1 ctg2 1 sin2
把上述各式代入dB表达式
dB
0 R 2 Indx 2[R2ctg2 R2 ]3 2
0 Indx 2R(1 ctg2 )3 2
0In sind
2
方向沿x轴正向
整个螺线管在P点产生的磁感应强度为
注意到
B 2 0In sin d 1 2
0In 2 sin d 2 1
2)
这样, 精确到(x−R/2)4时
B(x) B(R 2)[1 144 ( x R 2)4 ] 125 R
B(x) B(R
2)
1 1!
(
B x
)
x
R
2
(
x
R
2)
1 2!
(
2B x2
)xR
2
(
x
R
2)2
1 3!
(
3B x3
)
xR
2
(
x
R
2)3
1 4B
( 4!
x4
)xR
2(x R
2)4
L
可以证明
(
B x
)
x
R
2
(
2B x2
)
xR
2
(
3B x3
)x
R
2
0
(
4B x4
)
x
R
2
24 144 B(R R4 125
第8章 稳恒磁场
稳恒磁场: 稳恒电流周围存在磁场, 其空间分布 不随时间变化.
§8. 1 稳恒电流 §8. 2 磁学基本现象和基本规律 §8. 3 稳恒电流激发的磁场 §8. 4 真空中磁场的分布规律 §8. 5 磁场对运动电荷及电流的作用
§8.1 稳恒电流
➢ 电流强度和电流密度矢量 ➢ 稳恒电流产生的条件 ➢ 欧姆定律的微分形式和电源电动势