九年级数学下册知识点---- 商品利润最大问题
九年级数学二次函数应用之最大利润问题(教师版)
分析：（1）根据图象一次函数表达式易求得；（2）销售额＝销售单价×销售量；（3）结合图象说明． 解：（1）设y ＝kx +b ，由图象知一次函数图象过点（60，5），（80，4）⎩⎨⎧+=+=∴b k b k 804605 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.8,201b k .8201+-=∴x y 120)40)(8201(12040)2(--+-=--=x x y yx z .60)100(2014401020122+--=-+-=x x x∴当x ＝100时，即销售单价为100元时，年获利最大，最大值为60万元。
（3）令z ＝40，得,44010201402-+-=x x 即,096002002=+-x x 解得.120,8021==x x由图象可知，要使年获利不低于40万元，销售单价应在80元到120元之间。
又因为销售单价越低，销售量越大，所以要使销售量最大，又要使年获利不低于40万元，销售单价应定为80元。
变式训练1．为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴，规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y （台）与补贴款额x （元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系，随着补贴款额x 的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益z （元）会相应降低且z 与x 之间也大致满足如图②所示的一次函数关系。
（1）在政府未出补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？，（2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y 和每台家电的收益z 与政府补贴款额x 之间的函数关系式；（3）要使该商场销售彩电的总收益W （元）最大，政府应将每台补贴款额x 定为多少？并求出总收益w 的最大值。
解：（1）该商场销售家电的总收益为800×200＝160000（元）。
（2）依题意可设8001+=x k y2002+=x k z∵图①的直线过点（400,1200）．图②的直线过点（200，160），∴有400k 1+800＝1200,200k 2+200＝160. 解得.20051,80051,121+-=+=∴-==x z x y k k （3）由题意，得1(800)(200)5W yz x x ==+-+16000040512++-=x x .162000)100(512+--=x ∴政府应将每台补贴款额x 定为100元时，该商场销售彩电的总收益取得最大值，其最大值为162000元。
初三下数学课件(北师大)-商品利润中的取值问题
【规范解答】(1)最高销售单价为 50(1＋40%)＝70 元，设 y 与 x 的函数关系
式为 y＝kx＋b，则6700kk＋ ＋bb＝ ＝430000 ，解得kb＝ ＝－100100 ，∴y 与 x 之间的函数 关系式为 y＝－10x＋1000，x 的取值范围是 50≤x≤70； (2)w＝(x－50)y＝(x－50)(－10x＋1000)＝－10x2＋1500x－50000＝－10(x －75)2＋6250，a＝－10＜0，图象开口向下．对称轴为直线 x＝75，自变量 的取值范围是 50≤x≤70，在此条件下，y 随 x 的增大而增大，所以，当 x ＝70 时，w 最大值＝－10(70－75)2＋6250＝6000 元．当销售单价定为 70 元时， 所获得的利润有最大值，最大值为 6000 元． 【方法归纳】这里不能说 x＝75 时，w 有最大值 6250，应该考虑 x 的取值 范围.
解：(1)根据题意得，y＝250－10(x－25)＝－10x＋500(30≤x≤38)；
(2)设每天扣除捐赠后可获得利润为 w 元．w＝(x－20－a)(－10x＋500)＝－ 10x2＋(10a＋700)x－500a－10000(30≤x≤38)，对称轴为 x＝35＋12a，且 0 ＜a≤6，则 35＜35＋21a≤38，则当 x＝35＋12a 时，w 取得最大值，∴(35＋ 12a－20－a)[－10(35＋12a)＋500]＝1960，∴a1＝2，a2＝58(不合题意舍去)， ∴a＝2.
知识点：利用二次函数求利润的取值问题
求解最大利润问题的基本步骤： (1)引入自变量，用含自变的代数式分别表示 单件利润 及 销售量 ； (2)建立关于 销售利润 的函数表达式； (3)根据 函数关系式 求出最大值及取得最大值时的 自变量 的值．
二次函数与商品利润最大问题
初中数学课件
课堂寄语
二次函数是一类最优化问题 的数学模型，能指导我们解决生活中 的实际问题，同学们，认真学习数学 吧，因为数学来源于生活，更能优化 我们的生活。
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作业超市
必做题：大演草 说明指导60页例题1 选做题：中考备战二次函数的应用题
.
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条 抛物线 ，它的对称
轴是
x b 2a
，顶点坐标是
( b , 4ac b2 ) 2a 4a
.
当a>0时，抛物线开口向 上 ，有最 低 点，函数有
4ac b2
最 小 值，是 4a
；
当 a<0时，抛物线开口向 下
数有最 大
4ac b2
值，是 4a
，有最 高 。
即：y=-20x2+100x+6000，
当
x 100 5 2 (20) 2
时,
y 20 (5)2 100大利润是6125元.
由(1)(2)的讨论及现在的销 售情综况合,可你知知，道应应定该价如6何5元定时价，
才能能使使利利润润最最大大了。吗?
点，函
基础扫描
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二次函数特定范围内的最值
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二 如何定价利润最大
例1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件， 市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；已知商品的 进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
涨价销售
①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
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二次函数的应用
---商品利润最大问题
初中数学课件
复习目标
1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中 的最大利润问题.（重点） 2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变 量的取值范围. （难点）
北师大版九年级数学教案-商品利润最大问题1
2.4 二次函數的應用第2課時 商品利潤最大問題1．應用二次函數解決實際問題中的最值問題；(重點)2．應用二次函數解決實際問題，要能正確分析和把握實際問題的數量關係，從而得到函數關係，再求最值．(難點)一、情境導入某商店經營T 恤衫，已知成批購進時單價是25元．根據市場調查，銷售量與銷售單價滿足如下關係：在一段時間內，單價是135元時，銷售量是500件，而單價每降低10元，就可以多售出200件．請你幫忙分析，銷售單價是多少時，可以獲利最多？二、合作探究探究點一：商品利潤最大問題【類型一】 利用二次函數求實際問題中的最大利潤某體育用品店購進一批單價為40元的球服，如果按單價60元銷售，那麼一個月內可售出240套，根據銷售經驗，提高銷售單價會導致銷售量的減少，即銷售單價每提高5元，銷售量相應減少20套．設銷售單價為x (x ≥60)元時，銷售量為y 套．(1)求出y 與x 的函數關係式；(2)當銷售單件為多少元時，月銷售額為14000元？(3)當銷售單價為多少元時，才能在一個月內獲得最大利潤？最大利潤是多少？解析：(1)由銷售單價為x 元得到銷售減少量，用240減去銷售減少量得到y 與x 的函數關係式； (2)直接用銷售單價乘以銷售量等於14000，列方程求得銷售單價； (3)設一個月內獲得的利潤為w 元，根據題意得w ＝(x －40)(－4x ＋480)，然後利用配方法求最值．解：(1)銷售單價為x 元，則銷售量減少x －605×20，故銷售量為y ＝240－x －605×20＝－4x ＋480(x ≥60)；(2)根據題意可得x (－4x ＋480)＝14000，解得x 1＝70，x 2＝50(不合題意，舍去)，故當銷售價為70元時，月銷售額為14000元；(3)設一個月內獲得的利潤為w 元，根據題意得w ＝(x －40)(－4x ＋480)＝－4x 2＋640x －19200＝－4(x －80)2＋6400.當x ＝80時，w 有最大值，最大值為6400.所以，當銷售單價為80元時，才能在一個月內獲得最大利潤，最大利潤是6400元． 方法總結：先得到二次函數的頂點式y ＝a (x －h )2＋k ，當a ＜0，x ＝h 時，y 有最大值k ；當a >0，x ＝h 時，y 有最小值k .變式訓練：見《學練優》本課時練習“課堂達標訓練” 第7題某公司推出了一種高效環保型洗滌用品，年初上市後，公司經歷了從虧損到盈利的過程．右面的二次函數圖像(部分)刻畫了該公司年初以來累積利潤w (萬元)與銷售時間t (月)之間的關係(即前t 個月的利潤總和w 和銷售時間t 之間的關係)．根據圖像提供的資訊，解答下列問題：(1)由圖像上已知的資訊，求累積利潤w (萬元)與銷售時間t (月)之間的函數關係式；(2)求截止到幾月末公司累積利潤可達到30萬元；(3)求第8個月公司所獲利潤是多少萬元．解析：(1)本題是通過構建函數模型解答銷售利潤的問題，應根據圖像以及題目中所給的資訊來列出w 與t 之間的函數關係式；(2)把w ＝30代入累計利潤w ＝12t 2－2t 的函數關係式裡，求得月份；(3)分別將t ＝7，t ＝8代入函數解析w ＝12t 2－2t ，再把總利潤相減就可得出．解：(1)由圖像可知其頂點座標為(2，－2)，故可設其函數關係式為w ＝a (t －2)2－2.∵所求函數關係式的圖像過(0，0)，於是得a (0－2)2－2＝0，解得a ＝12.∴函數關係式為w ＝12(t －2)2－2，即w ＝12t 2－2t . 所以，累積利潤w 與銷售時間t 之間的函數關係式為w ＝12t 2－2t ； (2)把w ＝30代入w ＝12t 2－2t ，得12t 2－2t ＝30.解得t 1＝10，t 2＝－6(不合題意，舍去)． 所以，截止到10月末公司累積利潤可達30萬元；(3)把t ＝7代入關係式，得w ＝12×72－2×7＝10.5，把t ＝8代入關係式，得w ＝12×82－2×8＝16.16－10.5＝5.5(萬元)．所以，第8個月公司所獲利潤是5.5萬元．方法總結：此題主要考查了二次函數的性質在實際生活中的應用，首先要吃透題意，確定變數，建立函數模型，尤其是對本題圖像中所給資訊的理解是解決問題的關鍵．【類型二】 綜合運用一次函數和二次函數求最大利潤宿松超市以每件20元的價格進購一批商品，試銷一階段後發現，該商品每天的銷售量y (件)與售價x (元/件)之間的函數關係如圖(20≤x ≤60)．(1)求每天銷售量y (件)與售價x (元/件)之間的函數關係式；(2)若該商品每天的利潤為w (元)，試確定w (元)與售價x (元/件)之間的函數關係式，並求售價x 為多少時，每天的利潤w 最大，最大利潤是多少？解析：(1)當20≤x ≤40時，設y ＝ax ＋b ，當40＜x ≤60時，設y ＝mx ＋n ，利用待定係數法求一次函數解析式即可；(2)利用(1)中所求進而得出w (元)與售價x (元/件)的函數運算式，進而求出函數最值．解：(1)分兩種情況：當20≤x ≤40時，設y ＝ax ＋b ，根據題意，得⎩⎪⎨⎪⎧20a ＋b ＝40，40a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝20，故y ＝x ＋20；當40＜x ≤60時，設y ＝mx ＋n ，根據題意，得⎩⎪⎨⎪⎧40m ＋n ＝60，60m ＋n ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝140，故y ＝－2x ＋140. 故每天銷售量y (件)與售價x (元/件)之間的函數運算式是y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋20（20≤x ≤40），－2x ＋140（40＜x ≤60）； (2)w ＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋20）（x －20）＝x 2－400（20≤x ≤40），（－2x ＋140）（x －20）＝－2x 2＋180x －2800（40＜x ≤60）， ①當20≤x ≤40時，w ＝x 2－400，由於1＞0，因而抛物線開口向上，且x ＞0時w 隨x 的增大而增大，又20≤x ≤40，因此當x ＝40時，w 有最大值，w 最大值＝402－400＝1200；②當40＜x ≤60時，w ＝－2x 2＋180x －2800＝－2(x －45)2＋1250，由於－2＜0，抛物線開口向下，又40＜x ≤60，所以當x ＝45時，w 有最大值，w 最大值＝1250.綜上所述，當x ＝45時，w 最大值＝1250.所以，售價為45元/件時，每天的利潤最大，最大利潤是1250元．方法總結：一次函數與二次函數的綜合應用問題主要解決的是圖像與性質的問題或生活中的實際應用問題．變式訓練：見《學練優》本課時練習“課後鞏固提升” 第2題【類型三】 利用表格資訊求最大利潤某商店經過市場調查，整理出某種商品在第x (1≤x ≤90)天的售價與銷量的相關資訊如下表：已知該商品的進價為每件30元，設銷售該商品每天的利潤為y 元．(1)求出y 與x 的函數關係式；(2)問銷售該商品第幾天時，當天銷售利潤最大，最大利潤是多少？解析：(1)分1≤x ＜50和50≤x ≤90兩種情況進行討論，利用利潤＝每件的利潤×銷售的件數，即可求得函數的解析式；(2)利用(1)得到的兩個解析式，結合二次函數與一次函數的性質分別求得最值，然後兩種情況下取最大的即可．解：(1)當1≤x ＜50時，y ＝(200－2x )(x ＋40－30)＝－2x 2＋180x ＋2000；當50≤x ≤90時，y ＝(200－2x )(90－30)＝－120x ＋12000.綜上所述，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋180x ＋2000（1≤x ＜50），－120x ＋12000（50≤x ≤90）； (2)當1≤x ＜50時，y ＝－2x 2＋180x ＋2000，二次函數開口向下，對稱軸為x ＝45，當x ＝45時，y 最大＝－2×452＋180×45＋2000＝6050；當50≤x ≤90時，y ＝－120x ＋12000，y 隨x 的增大而減小，當x ＝50時，y 最大＝6000.綜上所述，銷售該商品第45天時，當天銷售利潤最大，最大利潤是6050元．方法總結：本題考查了二次函數的應用，讀懂表格資訊、理解利潤的計算方法，即利潤＝每件的利潤×銷售的件數，是解決問題的關鍵．三、板書設計商品利潤最大問題1．利用二次函數求實際問題中的最大利潤2．綜合運用一次函數和二次函數求最大利潤3.利用表格資訊求最大利潤本節課是在學習了二次函數的概念、圖像及性質後，應用二次函數的最大值解決銷售問題的最大利潤問題．本節課的設計力求通過創設問題情境，有計劃、有步驟地安排好思維序列，使學生的思維活動在“探索——發現”的過程中充分展開，力求使學生經歷運用邏輯思維和非邏輯思維再創造的過程，整個教學過程突出知識的形成與發展的過程，讓學生既獲得了知識又發展了智力，同時提升了能力.。
九年级数学二次函数应用之最大利润问题
变式训练1．为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴，规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y（台）与补贴款额x（元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系，随着补贴款额x的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益z（元）会相应降低且z与x之间也大致满足如图②所示的一次函数关系。
（1）在政府未出补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？，（2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y和每台家电的收益z与政府补贴款额x之间的函数关系式；（3）要使该商场销售彩电的总收益W（元）最大，政府应将每台补贴款额x定为多少？并求出总收益w的最大值。
题型三：实际问题中的方案决策例3 某小区有一长100 m ，宽80m 的空地，现将其建成花园广场，设计图案如图所示。
阴影区域为绿化区域（四块绿化区域是全等矩形），空白区域为活动区域，且四周出口一样宽，宽度不小于50 m ，不大于60 m 。
预计活动区域每平方米造价60元，绿化区域每平方米造价50元。
（1）设其中一块绿化区域的长边长为xm ，写出工程总造价y （元）与x （ m ）的函数式系式（写出x 的取值范围）； （2）如果小区投资46.9万元，问能否完成工程任务？若能，请写出x 为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由。
（参考数据：732.13 ）一、能力培养某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件。
已知产销两种产品的有关信息如下表：产品每件售价（万元）每件成本（万元）每年其他费用（万元）每年最大产销量（件）甲 6 a20 200乙20 10 40＋0.05x280其中a为常数，且3≤a≤5。
（1）若产销甲乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式；（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由。
《商品利润最大问题》人教版九年级数学(下册)
A．160元 B．180元
C．140元 D．200元
4.生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产，现有一 生产季节性产品的企业，一年中获得利润y与月份n之间的函数关系式是 y=-n2+15n-36，那么该企业一年中应停产的月份是（ ）
D
A．1月，2月 C．3月，12月
B．1月，2月，3月 D．1月，2月，3月，12月
例2 某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元，每天都客满．经市场调查， 如果一间客房日租金每增加10元，则客房每天少出租6间，不考虑其他因素，旅馆将 每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？最高总收入是多少？
解：设每间客房的日租金提高10x元，则每天客房出租数会 减少6x间，设客房日租金为y万元，则
③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ y=-10x2+100x+6000， 当 x 100 时 5,y=-10×52+100×5+6000=6250.
2 (10)
即涨价5元时，最大利润是6250元.
例1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查 反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出 18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
3
3
即降价 元5 时，最大利润是6050元.
3
综合由可(知1)，(2应)的定讨价论58及元现时在，的才销能售使情况,你 知道应该如何定价能使利润最大了吗?
利润最大。
知识要点
求解最大利润问题的一般步骤 （1）建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润 ×销售量” （2）结合实际意义，确定自变量的取值范围； （3）在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用 简图和性质求出.
九下数学(北师版)课件-商品利润的最值问题
C．y＝－10x2＋350x
D．y＝－10x2＋350x－7350
1．某公司的生产利润原来是 a 万元，经过连续两年的增长达到了 y 万元，
如果每年增长的百分率都是 x，那么 y 与 x 的函数关系是( D )
A．y＝x2＋a
B．y＝a(x－1)2
C．y＝a(1－x)2
D．y＝a(1＋x)2
2．将进货单价为 70 元的某种商品按零售价每个 100 元出售时，每天能卖出
12．(扬州中考)“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔 筒，成本为 30 元/件，每天销售量 y(件)与销售单价 x(元)之间存在一次函数 关系，如图所示．
(1)求 y 与 x 之间的函数关系式； (2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于 240 件，当销售单价为多少元时， 每天获取的利润最大，最大利润是多少？
且售价 x 的范围是 1≤x≤3，则最大利润是( C )
A．16 元
B．21 元
C．24 元
D．25 元
9．某种商品每件进价为 20 元，调查表明：在某段时间内若以每件 x 元 (20≤x≤30，且 x 为整数)出售，可卖出(30－x)件．若使利润最大，每件的 售价应为 25 元． 10．某种工艺品利润为 60 元/件，现降价销售，该种工艺品销售总利润 w(元) 与降价 x(元)的函数关系如图，则这种工艺品的销售量为(60＋x) 件(用含 x 的代数式表示)．
7．一件工艺品进价为 100 元，标价 135 元售出，每天可售出 100 件．根据
销售统计，一件工艺品每降价 1 元出售，则每天可多售出 4 件，要使每天获
得的利润最大，每件需降价的钱数为( A )
A．5 元
B．10 元
2023年九年级中考数学高频考点专题强化-一次函数最大利润问题(含简单答案)
2023年中考数学高频考点专题强化-一次函数最大利润问题1．（2021秋·新疆乌鲁木齐·九年级乌鲁木齐市第九中学校考期中）某厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似看成一次函数y＝－2x＋100．(1)写出每月的利润z(万元)与销售单价x(元)之间的函数解析式．(2)当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得最大利润？最大利润是多少？(3)根据相关部门的规定，这种电子产品的销售单价不得高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造这种产品每月的最低制造成本是多少万元？2．（2022秋·河南郑州·九年级校考期中）临近期末，某文具店需要购进一批2B涂卡铅笔和0.5mm黑色水笔，已知用600元购进铅笔与用400元购进水笔的数量相同，且每支铅笔比每支水笔进价高1元．(1)求这两种笔每支的进价分别是多少元？(2)该商店计划购进水笔的数量比铅笔数量的2倍还多60支，且两种笔的总数量不超过360支，售价见店内海报（如图所示）．该商店应如何安排进货才能使利润最大？最大利润是多少？3．（2022秋·八年级课时练习）由于新能源汽车越来越受到消费者的青睐，某经销商决定购进甲、乙两种型号的新能源汽车共100辆进行销售，已知甲种型号新能源汽车的进价为7万元/辆，售价为8.8万元/辆；乙种型号新能源汽车的进价为3万元/辆，售价为4.2万元/辆．设购进甲种型号汽车a辆，销售完这100辆汽车所获总利润为W万元．(1)求W与a之间的函数关系式；(2)若要使购进乙种型号汽车的数量不少于甲种型号汽车数量的3倍，问如何购车才能使所获总利润W最大？最大总利润是多少？4．（2022·贵州毕节·统考中考真题）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价）(1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；(2)第一次购进的冰墩嫩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？(3)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？5．（2021春·宁夏银川·八年级银川市第三中学校考期中）某商场分两次购进A，B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示(1)求A，B两种商品每件的进价分别是多少元；(2)商场决定A种商品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售．为满足市场需求，需购进A，B两种商品共1000件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．6．（2022秋·湖南长沙·九年级校考期末）大学生小李和同学一起自主创业开办了一家公司，公司对经营的盈亏情况在每月的最后一天结算一次，在1～12月份中，该公司前x个月累计获得的总利闻y（万元）与销售时间x（月）之间满足二次函数关系．(1)求y与x函数关系式；(2)求9月份一个月内所获得的利润；(3)在前12个月中，哪个月该公司所获得利润最大?最大利润为多少?7．（2022秋·全国·八年级期中）受新冠疫情的影响，实体经济受到严重的冲击，“抖音直播带货”迅速成为热潮．某手机专卖店计划购进甲、乙两种手机膜共100件且两种商品都有，并在抖音平台进行销售，其中，进价、售价如下表：设该专卖店购进甲手机膜x件，甲、乙手机膜全部销售完后共获得利润y元．(1)求y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(2)若购进的总成本不超过2250元，且购进的手机膜全部售出，怎样进货可使所获利润最大?并求出最大利润．8．（2022春·辽宁阜新·八年级校考期中）“冰墩墩”和“雪容融”分别是北京2022年冬季奥运会和冬残奥运会的吉祥物．该吉祥物深受全世界人民的喜爱，某生产厂家经授权每天生产两种吉祥物挂件共600件，且当天全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如下表所示：设该厂每天制作“冰墩墩”挂件x 件，每天获得的利润为y 元．(1)求出y 与x 之间的函数关系式；(2)若该厂每天投入总成本不超过23800元，应怎样安排“冰墩墩”和“雪容融”制作量，可使该厂一天所获得的利润最大，请求出最大利润和此时两个挂件的制作量．9．（2022春·四川绵阳·八年级校联考期末）大学生小张利用暑假50天在一超市勤工俭学，被安排销售一款成本为40元/件的新型商品，此类新型商品在第x 天的销售量y 件与销售的天数x 的关系如表：销售单价(m 元/件)与x 满足：当124x ≤≤时，60m x =+；当2450x <≤时，85m =．(1)直接写出销售量y 与x 的函数关系．(2)这50天中，该超市第几天获得利润最大？最大利润为多少元？(3)若超市每卖一件商品就捐赠(10)a a <元给希望工程，实际上，前24天扣除捐赠后的日销售利润随x 的增大而增大，求a 的取值范围．10．（2022春·四川遂宁·八年级统考期末）“冰墩墩”和“雪容融”作为第24届北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物深受大家喜爱．某文旅店订购“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具，花费分别是24000元和10000元，已知“冰墩墩”毛绒玩具的订购单价是“雪容融”毛绒玩具的订购单价的1.2倍，并且订购的“冰墩墩”毛绒玩具的数量比“雪容融”毛绒玩具的数量多100件．(1)求文旅店订购的两种毛绒玩具的单价分别是多少元；(2)该文旅店计划再订购这两种毛绒玩具共200件，其中购进“雪容融”毛绒玩具的数量不超过“冰墩墩”毛线玩具的数量的13，该文旅店购进“雪容融”毛绒玩具多少件时？购买两种玩具的总费用最低，最低费用是多少元？11．（2022春·山东济宁·七年级统考期末）芯片是制造汽车不可或缺的零件，某芯片厂制造的两种型号芯片的成本和批发价如表所示：该厂制造A，B两种型号芯片若干件成本为320万元，制造后立刻被汽车厂抢购一空，经会计核算后共盈利44万元．(1)芯片厂制造A，B两种型号芯片各多少万件？(2)由于芯片畅销，该厂计划再制造A，B两种型号芯片共30万件，其中B型号芯片的数量不多于A型号芯片数量的2倍，那么该厂制造两种型号芯片各多少件时会获得最大利润，最大利润是多少？12．（2022秋·广东广州·九年级广州大学附属中学校考阶段练习）冰墩墩（BingDwenDwen），是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员．冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销．小冬在某网店选中A，B两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表：(1)第一次小冬550元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个．(2)第二次小冬进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？13．（2022秋·湖南长沙·九年级长沙市长郡双语实验中学校考阶段练习）2022年北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融深受国内外广大朋友的喜爱，北京奥组委会官方也推出了许多吉祥物的周边产品．现有以下两款：已知购买3个冰墩墩和2个雪容融需要560元；购买1个冰墩墩和3个雪容融需要420元：(1)请问冰墩墩和雪容融每个的售价分别是多少元？(2)北京奥运官方特许零售店开始销售的第一天4个小时内全部售罄，于是从厂家紧急调配24000个商品，拟租用甲、乙两种车共6辆，一次性将商品送到指定地点，若每辆甲种车的租金为400元可装载4500个商品，每辆乙种车的租金为280元可装载3000个商品，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．14．（2022·湖北十堰·统考中考真题）某商户购进一批童装，40天销售完毕．根据所记录的数据发现，日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的关系式是203062403040x xyx x<≤⎧=⎨-+<≤⎩，，，销售单价p（元/件）与销售时间x（天）之间的函数关系如图所示．(1)第15天的日销售量为_________件；(2)当030x <≤时，求日销售额的最大值；(3)在销售过程中，若日销售量不低于48件的时间段为“火热销售期”，则“火热销售期”共有多少天？15．（2022秋·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期末）二十大报告中指出，要深入推进能源革命，加强煤炭清洁高效利用，加快规划建设新型能源体系，积极参与应对气候变化全球治理．为保护环境，某市公交公司计划购买A 型和B 型两种环保节能公交车共10辆．若购买A 型公交车2辆，B 型公交车3辆，共需750万元；若购买A 型公交车3辆，B 型公交车4辆，共需1040万元．(1)求购买A 型和B 型公交车每辆各需多少万元？(2)预计在某线路上A 型和B 型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A 型和B 型公交车的总费用不超过1550万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于720万人次，则该公司有几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少万元？16．（2022春·四川成都·八年级校考期中）2022年翻开序章，冬奥集结号已吹响，冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受人民喜爱．2021年十一月初，奥林匹克官方旗舰店上架了“冰墩墩”和“雪容融”两款毛绒玩具，当月售出了“冰墩墩”200个和“雪容融”100个，销售总额为32000元．十二月售出了“冰墩墩”300个和“雪容融”200个，销售总额为52000元．(1)求“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价；(2)已知“冰墩墩”和“雪容融”的成本分别为90元/个和60元/个．进入2022年一月后，这两款毛绒玩具持续热销，于是旗舰店再购进了这两款毛绒玩具共600个，其中“雪容融”的数量不超过“冰墩墩”数量的2倍，且购进总价不超过43200元．为回馈新老客户，旗舰店决定对“冰墩墩”降价10%后再销售，若一月份购进的这两款毛绒玩具全部售出，则“冰墩墩”购进多少个时该旗舰店当月销售利润最大，并求出最大利润．17．（2022秋·浙江金华·八年级校联考期末）某商业集团准备购进A，B两款口袋打印机在甲、乙两个商场进行销售，这两款口袋打印机每台的利润如表：为迎接双十二，该商业集团新进了40台A款，60台B款调配给甲，乙两个商场，其中70台给甲商场，30台给乙商场．(1)设该集团调配给甲商场A款x台，求总利润y与x的函数关系式．(2)①若这100台口袋打印机全部销售出去，如何调配才能让商业集团的利润最大，并求出利润的最大值．①为了促销，该商业集团决定对甲商场的A款，B款每台分别让利a元和b元（58b≤≤），其他销售利润不变，当天结算时发现销售总利润与调配方案无关．当总利润最大时，求此时a的值．18．（2022·山西临汾·九年级统考阶段练习）2021年11月，某网店当月售出了“冰墩墩”200个和“雪容融”100个，销售总额为32000元，12月售出了“冰墩墩”300个和“雪容融”200个，销售总额为52000元．(1)求“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价；(2)已知“冰墩墩”和“雪容融”的成本分别为102元/个和60元/个．由于冬奥会的举行，这两款毛绒玩具持续热销，于是该店再次购进这两款毛绒玩具共600个，其中“雪容融”的数量不超过“冰墩墩”数量的2倍，若购进的这两款毛绒玩具全部售出，则“冰墩墩”购进多少个时该店当月销售利润最大，并求出最大利润．参考答案：1．(1)221361800z x x =-+-；(2)当销售单价为34元时，厂商每月能够获得最大利润，最大利润是512万元；(3)制造这种产品每月的最低制造成本是648万元．2．(1)每支铅笔3元，每支水笔2元．(2)商店购进铅笔100支，水笔260支时，能使利润最大，最大利润为230元．3．(1)W 与a 之间的函数关系式为W =0.6a +120；(2)购进甲型车25辆，乙型车75辆，所获总利润W 最大，最大总利润是135万元4．(1)A 、B 两款钥匙扣分别购进20件和10件(2)购进A 款冰墩墩钥匙扣40件，购进B 款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元(3)销售价定为每件30元或34元时，才能使B 款钥匙扣平均每天销售利润为90元5．(1)A 种商品每件的进价为20元，B 种商品每件的进价为80元；(2)当购进A 种商品800件、B 种商品200件时，销售利润最大，最大利润为12000元．6．(1)26y x x =-(2)11万元(3)该公司12月所获得利润最大，最大利润为17万元7．(1)()100050100y x x =-<<(2)应购进甲种手机膜42件，乙种手机膜58件，可使获得的利润最大，最大为790元，8．(1)()36000600y x x =+<<(2)当每天生产“冰墩墩”400件，“雪容融”200件时，可使该厂一天所获得的利润最大，最大为4400元9．(1)2120y x =-+(2)超市第20天获得利润最大，最大利润3200元(3)810a ≤<10．(1)“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具分别是120元/件、100元/件．(2)购买“雪容融”毛绒玩具50件时总费用最低，最低费用是23000元．11．(1)A 种型号芯片6万件， B 种型号芯片4万件(2)制造A 型芯片10万件，B 型芯片20万件；最大利润是140万元12．(1)A 款玩偶购进20个，B 款玩偶购进10个(2)A 款玩偶购进10个、B 款玩偶购进20个能获得最大利润，最大利润是180元13．(1)冰墩墩每个的售价是120元，雪容融每个的售价是100元；(2)当租用甲种车4辆，租用乙种车2辆，总租金最低，最低费用为2160元．14．(1)30(2)2100元(3)9天15．(1)购买A 型公交车每辆需120万元，购买B 型公交车每辆需170万元(2)该公司有五种购车方案，当采购A 型7辆，采购B 型3辆时，费用最低，最低费用为1350万元16．(1)“冰墩墩”销售单价为120元，“雪容融”的销售单价为80元；(2)“冰墩墩”购进200个时该旗舰店当月销售利润最大，最大利润为11600元．17．(1)()1068501040y x x =+≤≤(2)①要使商业集团的利润最大，这100台打印机的调配方案为：甲商场A 款40台，B 款30a台，乙商场A款0台，B款30台，最大利润为7250元；①1518．(1)“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价分别为120元和80元；(2)当“冰墩墩”购进200个时该旗舰店当月销售利润最大，最大利润为11600元．。
九年级数学 教案1 第2课时 商品利润最大问题
第2课时商品利润最大问题1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系．2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．3．能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题．一、情境导入红光旅社有100张床位，每床每日收费10元，客床可全部租出，若每床每日收费提高2元，则租出床位减少10张，若每床每日收费再提高2元，则租出床位再减少10张，以每提高2元的这种方式变化下去，每床每日应提高多少元，才能使旅社获得最大利润？二、合作探究探究点一：最大利润问题【类型一】利用解析式确定获利最大的条件为了推进知识和技术创新、节能降耗，使我国的经济能够保持可持续发展．某工厂经过技术攻关后，产品质量不断提高，该产品按质量分为10个档次，生产第一档次(即最低档)的新产品一天生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，每件可节约能源消耗2元，但一天产量减少4件．生产该产品的档次越高，每件产品节约的能源就越多，是否获得的利润就越大？请你为该工厂的生产提出建议．解析：在这个工业生产的实际问题中，随着生产产品档次的变化，所获利润也在不断的变化，于是可建立函数模型；找出题中的数量关系：一天的总利润＝一天生产的产品件数×每件产品的利润；其中，“每件可节约能源消耗2元”的意思是利润增加2元；利用二次函数确定最大利润，再据此提出自己认为合理的建议．解：设该厂生产第x 档的产品一天的总利润为y元，则有y＝[10＋2(x－1)][76－4(x－1)]＝－8x2＋128x＋640＝－8(x－8)2＋1152.当x＝8时，y最大值＝1152.由此可见，并不是生产该产品的档次越高，获得的利润就越大．建议：若想获得最大利润，应生产第8档次的产品．(其他建议，只要合理即可)【类型二】利用图象解析式确定最大利润(2014·福建莆田)某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y1(元)与销售时间第x月之间存在如图①所示(一条线段)的变化趋势，每千克成本y2(元)与销售时间第x月满足函数关系式y2＝mx2－8mx ＋n，其变化趋势如图②所示．(1)求y2的解析式；(2)第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？解：(1)由题意可得，函数y2的图象经过两点(3，6)，(7，7)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m－24m＋n＝6，49m－56m＋n＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝18，n ＝638.∴y 2的解析式为y 2＝18x 2－x ＋638(1≤x ≤12)． (2)设y 1＝kx ＋b ，∵函数y 1的图象过两点(4，11)，(8，10)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝11，8k ＋b ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－14，b ＝12.∴y 1的解析式为y 1＝－14x ＋12(1≤x ≤12)．设这种水果每千克所获得的利润为w 元．则w ＝y 1－y 2＝(－14x ＋12)－(18x 2－x ＋638)＝－18x 2＋34x ＋338，∴w ＝－18(x －3)2＋214(1≤x ≤12)，∴当x ＝3时，w 取最大值214，∴第3月销售这种水果，每千克所获的利润最大，最大利润是214元/千克． 三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策.。
【北师大版】2019年春九年级数学下册： 第2课时 商品利润最大问题
2.4 二次函数与一元二次方程第2课时 商品利润最大问题学习目标:体会二次函数是一类最优化问题的数学模型．了解数学的应用价值，掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．学习重点:本节重点是应用二次函数解决实际问题中的最值．应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值．实际问题的最值，不仅可以帮助我们解决一些实际问题，也是中考中经常出现的一种题型．学习难点:本节难点在于能正确理解题意，找准数量关系．这就需要同学们在平时解答此类问题时，在平时生活中注意观察和积累，使自己具备丰富的生活和数学知识才会正确分析，正确解题．学习过程:一、有关利润问题：某商店经营T 恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?二、做一做：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.⑴利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.⑵利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.?⑶增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在60400个以上?三、举例：【例2】某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000kg ，购进价格为30元/kg ，物价部门规定其销售单价不得高于70元/kg ，也不得低于30元/kg ．市场调查发现，单价定为70元时，日均销售60kg ；单价每降低1元，日均多售出2kg ．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）．设销售单价为x 元，日均获利为y 元．（1）求y 关于x 的二次函数表达式，并注明x 的取值范围．（2）将（1）中所求出的二次函数配方成y=a （x ＋a b2）2＋ab ac 442 的形式，写出顶点坐标，在图所示的坐标系中画出草图．观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多？是多少？（3）若将这种化工原料全部售出比较日均获利最多和销售单价最高这两种方式，哪一种获总利较多？多多少？四、随堂练习：1．关于二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象有下列命题：①当c=0时，函数的图象经过原点；②当c ＞0且函数图象开口向下时，方程ax 2＋bx ＋c=0必有两个不等实根；③当a ＜0，函数的图象最高点的纵坐标是ab ac 442；④当b=0时，函数的图象关于y 轴对称．其中正确命题的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．某类产品按质量共分为10个档次，生产最低档次产品每件利润为8元，如果每提高一个档次每件利润增加2元．用同样的工时，最低档次产品每天可生产60件，每提高一个档次将少生产3件，求生产何种档次的产品利润最大？五、课后练习1．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？2．将进货为40元的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个．已知这时商品每涨价一元，其销售数就要减少20个．为了获得最大利益，售价应定为多少？3．某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40元～70元之间．市场调查发现，若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱；价格每降低1元，平均每天多销售3箱；价格每升高1元，平均每天少销售3箱．（1）写出平均每天销售量y （箱）与每箱售价x （元）之间的函数表达式（注明范围）；（2）求出商场平均每天销售这种年奶的利润W （元）与每箱牛奶的售价x （元）之间的二次函数表达式；（每箱利润=售价－进价）（3）求出（2）中二次函数图象的顶点坐标，并求出当x=40，70时W 的值，在直角坐标系中画出函数图象的草图；（4）由函数图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润是多少？。
初三数学最大利润问题公式
最大利润问题在初三数学中是一个常见的问题，通常涉及到成本、售价、利润等概念。
假设一件商品的成本是 c 元，售价是s 元，利润是p 元。
根据经济学和数学的基本概念，我们有以下公式：
利润p 是售价s 减去成本c，即p = s - c。
利润率r 是利润p 除以成本c，即r = p / c。
总利润T 是单个商品的利润p 乘以销售数量n，即T = n × p。
现在我们要来解这个问题，找出最大利润T 的表达式。
通过解方程和不等式，我们得到总利润T 的表达式为：T = p
最大利润T 的表达式为：T = p
因此，最大利润T 是由售价s 和成本 c 的关系决定的。
九年级数学 教案2 第2课时 商品利润最大问题
21.3 实际问题与一元二次方程(2)教学内容建立一元二次方程的数学模型，解决如何全面地比较几个对象的变化状况． 教学目标掌握建立数学模型以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题．复习一种对象变化状况的解题过程，引入两种或两种以上对象的变化状况的解题方法． 重难点关键1．重点：如何全面地比较几个对象的变化状况．2．难点与关键：某些量的变化状况，不能衡量另外一些量的变化状况． 教具、学具准备小黑板教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下面的题目．问题：某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，•商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?老师点评：总利润=每件平均利润×总件数．设每张贺年卡应降价x 元，•则每件平均利润应是（0.3-x ）元，总件数应是（500+0.1x ×100） 解：设每张贺年卡应降价x 元则（0.3-x ）（500+1000.1x ）=120 解得：x=0.1答：每张贺年卡应降价0.1元．二、探索新知刚才，我们分析了一种贺年卡原来平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了减少库存降价销售，并知每降价0.1元，便可多售出100元，为了达到某个目的，每张贺年卡应降价多少元?如果本题中有两种贺年卡或者两种其它东西，量与量之间又有怎样的关系呢?即绝对量与相对量之间的关系．例1．某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元，•那么商场平均每天可多售出34•张．•如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大．分析：原来，两种贺年卡平均每天的盈利一样多，都是150元；0.30.751000.10.2534=≈，从这些数目看，•好象两种贺年卡每张降价的绝对量一样大，下面我们就通过解题来说明这个问题．解：（1）从“复习引入”中，我们可知，商场要想平均每天盈利120元，甲种贺年卡应降价0.1元．（2）乙种贺年卡：设每张乙种贺年卡应降价y 元，则：（0.75-y ）（200+0.25y ×34）=120 即（34-y ）（200+136y ）=120 整理：得68y 2+49y-15=0 y=496481268-±⨯ ∴y ≈-0.98（不符题意，应舍去）y ≈0.23元答：乙种贺年卡每张降价的绝对量大．因此，我们从以上一些绝对量的比较，不能说明其它绝对量或者相对量也有同样的变化规律．（学生活动）例2．两年前生产1t 甲种药品的成本是5000元，生产1t•乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t 甲种药品的成本是3000元，生产1t•乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?老师点评：绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）÷2=1000元，•乙种药品成本的年平均下降额为（6000-3000）÷2=1200元，显然，•乙种药品成本的年平均下降额较大． 相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题．解：设甲种药品成本的年平均下降率为x ，则一年后甲种药品成本为5000（1-x ）元，两年后甲种药品成本为5000（1-x ）元． 依题意，得5000（1-x ）2=3000解得：x 1≈0.225，x 2≈1.775（不合题意，舍去）设乙种药品成本的平均下降率为y ．则：6000（1-y ）2=3600整理，得：（1-y ）2=0.6解得：y ≈0.225答：两种药品成本的年平均下降率一样大．因此，虽然绝对量相差很多，但其相对量也可能相等．三、巩固练习新华商场销售甲、乙两种冰箱，甲种冰箱每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．乙种冰箱每台进货价为2000元，市场调研表明：当销售价为2500元时，•平均每天能售出8台；而当销售价每降低45元时，平均每天就能多售出4台，•商场要想使这两种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，那么两种冰箱的定价应各是多少?四、应用拓展例3．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，•据市场分析，•若每千克50元销售，一个月能售出500kg ，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg ，针对这种水产品情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式．（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?分析：（1）销售单价定为55元，比原来的销售价50元提高5元，因此，销售量就减少5×10kg．（2）销售利润y=（销售单价x-销售成本40）×销售量[500-10（x-50）]（3）月销售成本不超过10000元，那么销售量就不超过1000040=250kg，在这个提前下，•求月销售利润达到8000元，销售单价应为多少．解：（1）销售量：500-5×10=450（kg）；销售利润：450×（55-40）=450×15=6750元（2）y=（x-40）[500-10（x-50）]=-10x2+1400x-40000（3）由于水产品不超过10000÷40=250kg，定价为x元，则（x-400）[500-10（x-50）]=8000 解得：x1=80，x2=60当x1=80时，进货500-10（80-50）=200kg<250kg，满足题意．当x2=60时，进货500-10（60-50）=400kg>250kg，（舍去）．五、归纳小结本节课应掌握：建立多种一元二次方程的数学建模以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题．六、布置作业1．教材P53复习巩固2 综合运用7、9．2．选用作业设计：一、选择题1．一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共（）．A．12人 B．18人 C．9人 D．10人2．某一商人进货价便宜8%，而售价不变，那么他的利润（按进货价而定）可由目前x增加到（x+10%），则x是（）．A．12% B．15% C．30% D．50%3．育才中学为迎接香港回归，从1994年到1997年四年内师生共植树1997棵，已知该校1994年植树342棵，1995年植树500棵，如果1996年和1997年植树的年增长率相同，那么该校1997年植树的棵数为（）．A．600 B．604 C．595 D．605二、填空题1．一个产品原价为a元，受市场经济影响，先提价20%后又降价15%，现价比原价多_______%．2．甲用1000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票转卖给乙，获利10%，乙而后又将这手股票返卖给甲，但乙损失了10%，•最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这手股票卖出，在上述股票交易中，甲盈了_________元．3．一个容器盛满纯药液63L，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，•第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是28L，设每次倒出液体xL，•则列出的方程是________．三、综合提高题1．上海甲商场七月份利润为100万元，九月份的利率为121万元，乙商场七月份利率为200万元，九月份的利润为288万元，那么哪个商场利润的年平均上升率较大?2．某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，•现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，•如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树?3．某玩具厂有4个车间，某周是质量检查周，现每个车间都原有a （a>0）个成品，且每个车间每天都生产b （b>0）个成品，质量科派出若干名检验员周一、•周二检验其中两个车间原有的和这两天生产的所有成品，然后，周三到周五检验另外两个车间原有的和本周生产的所有成品，假定每名检验员每天检验的成品数相同．（1）这若干名检验员1天共检验多少个成品?（用含a 、b 的代数式表示）（2）若一名检验员1天能检验45b 个成品，则质量科至少要派出多少名检验员?答案：一、1．C 2．B 3．D二、1．2 2．1 3．（1-63x ）2=2863三、1．甲：设上升率为x ，则100（1+x ）2=121，x=10%乙：设上升率为y ，则200（1+y ）2=288，y=20%，那么乙商场年均利润的上升率大．2．设多种x 棵树，则（100+x ）（1000-2x ）=100×1000×（1+15.2%）•，•整理，•得：•x 2-400x+7600=0，（x-20）（x-380）=0，解得x 1=20，x 2=3803．（1）2222a b +⨯=a+2b 或2253a b +⨯ （2）因为假定每名检验员每天检验的成品数相同．所以a+2b=2103a b +，解得：a=4b 所以（a+2b ）÷45b=6b ÷45b=304=7.5（人） 所以至少要派8名检验员．。
最大利润问题(初三)
最大利润问题一．解答题（共7小题）1．如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．（1）求S与x的函数关系式及x值的取值范围；（2）要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？（3）、当AB的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？2．某校九年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作．已知该水果的进价为每千克8元，下面是他们在活动结束后的对话．小丽；如果以每千克10元的价格销售，那么每天可售出300千克．小强：如果每千克的利润为3元，那么每天可售出250千克．小红：如果以每千克13元的价格销售，那么每天可获取利润750元．（1）请根据他们的对话，判决该水果每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在怎样的函数关系，并求出这个函数关系式；（2）设该超市销售这种水果每天获取的利润为W（元），求W（元）与x（元）之间的函数关系式．当销售单价为何值时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少元？（3）当销售利润为600元时，销售单价为每千克多少元？3．某工艺厂设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据销售单价x（元、件）…30405060…每天销售量y（件）…500400300200…（1）求y与x的函数关系式；（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润为8000元？（3）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润不低于8000元？4．某商场将每件进价为70元的某种商品原来按每件90元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．（1）求商场经营该商品原来一天可获利润元．（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元，①若商场经营该商品一天要获利润2270元，则每件商品应降价多少元？②求出y与x之间的函数关系式，当x取何值时，商场获利润最大？5．如图：河上有一座抛物线形桥洞，已知桥下的水面离桥拱顶部3m时，水面宽AB=6m，建立如图所示的坐标系．（1）当水位上升0.5m时，求水面宽度CD为多少米？（结果可保留根号）（2）有一艘游船它的左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在上述河流中航行，若这船宽（最大宽度）2米，从水面到棚顶高度为1.8米．问这艘船能否从桥下洞通过？6．兴义街心花园是位于兴义老城区的商业文化购物步行街，是贵州最长最大的步行街，在贵州乃至西南都相当有名．街心花园某商场经营某种品牌童装，购进时的单价是60元，根据市场调查，在一段时间内，销售单价是80元时，销售量是200件销售单价每降低1元，就可多售出20件．（1）求出销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求出销售该品牌童装获得的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（3）若童装厂规定该品牌童装的销售单价不低于76元且不高于80元则商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少？1．某商店将每件进价为80元的某种商店按每件110元出售，每天可售出100件．该商店想通过降低售价、增加销售量的方法来提高利润．经市场调查，发现这种商品每件每降价5元，每天的销售量可增加50件．设商品降价x元，每天销售该商品获得的利润为y元．（1）求y（元）关于x（元）的函数关系式，并标指出x的取值范围．（2）求当x取何值时y最大？并求出y的最大值．（3）若要是每天销售利润为3750元，且尽可能最大的向顾客让利，应将该商品降价多少元？。
二次函数的应用第二课时最大利润学年北师大版九年级数学下册课件
（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定 为多少元？
解：（2）由题意，得：- 10x²+700x-10000=2000 解得x1=30,x2=40
∴李明想要每月获得2000元的利润， 销售单价应定为30元或40元.
2.某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投 放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量 是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单 价不得低于成本． （1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系
y=a(x-h)2+k顶点坐标是(h,k),对称轴是直线x=h 当x=h时，y有最大值或最小值k
y=ax2+bx+c中顶点式,对称轴和顶点坐标公式:
y a x
b
2
4ac
b2
.
2a
4a
顶点坐标是
b 2a
,
4ac 4a
b2
对称轴是直线x b 2a
当x b 时, y有最大或最小值 4ac b2 .
（2）当1≤x＜50时，二次函数开口下，二次函数对称轴为x=45， 当x=45时，y最大=﹣2×452+180×45+2000=6050， 当50≤x≤90时，y随x的增大而减小， 当x=50时，y最大=6000，
综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大利润是6050元；
（3）当20≤x≤60时，每天销售利润不低于4800元．
设旅行团人数为x人,营业额为y元,则 y= x [800-10(x-30)]
= - 10x2+1100x
= - 10(x-55)2+30250
初中数学实际问题与二次函数商品利润最大问题
初中数学实际问题与二次函数商品利润最大问题1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系．2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．3．能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题．一、情境导入红光旅社有100张床位，每床每日收费10元，客床可全部租出，若每床每日收费提高2元，则租出床位减少10张，若每床每日收费再提高2元，则租出床位再减少10张，以每提高2元的这种方式变化下去，每床每日应提高多少元，才能使旅社获得最大利润？二、合作探究探究点一：最大利润问题【类型一】利用解析式确定获利最大的条件为了推进知识和技术创新、节能降耗，使我国的经济能够保持可持续发展．某工厂经过技术攻关后，产品质量不断提高，该产品按质量分为10个档次，生产第一档次(即最低档)的新产品一天生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，每件可节约能源消耗2元，但一天产量减少4件．生产该产品的档次越高，每件产品节约的能源就越多，是否获得的利润就越大？请你为该工厂的生产提出建议．解析：在这个工业生产的实际问题中，随着生产产品档次的变化，所获利润也在不断的变化，于是可建立函数模型；找出题中的数量关系：一天的总利润＝一天生产的产品件数×每件产品的利润；其中，“每件可节约能源消耗2元”的意思是利润增加2元；利用二次函数确定最大利润，再据此提出自己认为合理的建议．解：设该厂生产第x档的产品一天的总利润为y元，则有y＝[10＋2(x－1)][76－4(x －1)]＝－8x2＋128x＋640＝－8(x－8)2＋1152.当x＝8时，y最大值＝1152.由此可见，并不是生产该产品的档次越高，获得的利润就越大．建议：若想获得最大利润，应生产第8档次的产品．(其他建议，只要合理即可)【类型二】利用图象解析式确定最大利润某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y1(元)与销售时间第x月之间存在如图①所示(一条线段)的变化趋势，每千克成本y2(元)与销售时间第x月满足函数关系式y2＝mx2－8mx＋n，其变化趋势如图②所示．(1)求y2的解析式；(2)第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？解：(1)由题意可得，函数y 2的图象经过两点(3，6)，(7，7)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －24m ＋n ＝6，49m －56m ＋n ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝18，n ＝638.∴y 2的解析式为y 2＝18x 2－x ＋638(1≤x ≤12)． (2)设y 1＝kx ＋b ，∵函数y 1的图象过两点(4，11)，(8，10)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝11，8k ＋b ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－14，b ＝12.∴y 1的解析式为y 1＝－14x ＋12(1≤x ≤12)．设这种水果每千克所获得的利润为w 元．则w ＝y 1－y 2＝(－14x ＋12)－(18x 2－x ＋638)＝－18x 2＋34x ＋338，∴w ＝－18(x －3)2＋214(1≤x ≤12)，∴当x ＝3时，w 取最大值214，∴第3月销售这种水果，每千克所获的利润最大，最大利润是214元/千克．三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策.。
人教版九年级数学课件-商品利润最大问题
③漲價多少元時，利潤最大，最大利潤是多少？
y=-10x2+100x+6000，
當
x
2
100 (10)
5時,y=-10×52+100×5+6000=6250.
即定價65元時，最大利潤是6250元.
例1 某商品現在的售價為每件60元，每星期可賣出300件，
市場調查反映：每漲價1元，每星期少賣出10件；每降價1元，
當x=2時，y有最大值，且y最大=19440. 這時每間客房的日租金為160+10×2=180(元).
答：每間客房的日租金提高到180元時，客房日租金的總收入 最高，最大收入為19440.
當堂練習
1.某種商品每件的進價為20元，調25查表明：在某段時間內 若以每件x元（20 ≤x ≤30)出售，可賣出（300－20x）件，
3. 某種商品每天的銷售利潤y（元）與銷售單價x(元）之間滿足
關係：y=ax2+bx-75.其圖象如圖.
（1）銷售單價為多少元時，該種商品每天的銷售利潤最大？最
大利潤是多少元？
（2）銷售單價在什麼範圍時，該種商品每天的銷售利潤不低於
16元？
解：(1)由題中條件可求y=-x2+20x-75
y
∵-1<0,對稱軸x=10,
3
3
即定價57.5元時，最大利潤是6050元.
售由情(1綜況)(合,2你)可的知知討道，論應應及該定現如價在何6的5定元銷價時， 才能能使使利利潤潤最最大大了。嗎?
知識要點
求解最大利潤問題的一般步驟 （1）建立利潤與價格之間的函數關係式： 運用“總利潤=總售價-總成本”或“總利潤=單件利潤×銷售量” （2）結合實際意義，確定引數的取值範圍； （3）在引數的取值範圍內確定最大利潤： 可以利用配方法或公式求出最大利潤；也可以畫出函數的簡圖， 利用簡圖和性質求出.
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∵-1<0,对称轴x=10,
y
∴当x=10时，y值最大，最大值为25. 16
即销售单价定为10元时，销售利润最
大，为25元；
O 57
x
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售 利润不低于16元？
(2)由对称性知y=16时，x=7和13. 故销售单价在7 ≤x ≤13时，利润不低于16元.
课堂小结
建立函数 关系式
总利润=单件利润×销 售量或总利润=总售价总成本.
最大利 润问题
确定自变
量的取值
范
围
涨价:要保证销售量≥0； 降件：要保证单件利润 ≥0.
确定最大 利润
利用配方法或公式求最 大值或利用函数简图和 性质求出.
二 如何定价利润最大
例1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出 300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10 件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的 进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
u涨价销售
①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
单件利润（元）销售量（件） 每星期利润（元）
A．1月，2月 C．3月，12月
B．1月，2月，3月 D．1月，2月，3月，12月
5. 某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x(元） 之间满足关系：y=ax2+bx-75.其图象如图. （1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润 最大？最大利润是多少元？
解：(1)由题中条件可求y=-x2+20x-75
正常销售 涨价销售
20 20+x
300 300-10x
6000 y=(20+x)(300-10x)
建立函数关系式：y=(20+x)(300-10x), 即：y=-10x2+100x+6000.
②自变量x的取值范围如何确定？
营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑 销售量就可以，故300-10x ≥0，且x ≥0,因此自变量的 取值范围是0 ≤x ≤30.
③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？
y=-10x2+100x+6000，
当
x
100 2(10)
5
时,y=-10×52+100×5+6000=6250.
即涨价5元时，最大利润是6250元.
例1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出 300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10 件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的 进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
3. 某种商品的成本是120元，试销阶段每件商品的售价 x（元）与产品的销售量y（件）满足当x=130时，y=70， 当x=150时，y=50，且y是x的一次函数，为了获得最大 利润S（元），每件产品的销售价应定为（ A ）
A．160元 B．180元 C．140元 D．200元
4.生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及 时停产，现有一生产季节性产品的企业，一年中获得 利润y与月份n之间的函数关系式是y=-n2+15n-36，那么 该企业一年中应停产的月份是（ D ）
3
由(1)(2)的讨论及现在的销 售情综况合,你可知知道，应应该定如价何65定元价时，
才能能使使利利润润最最大大了。吗?
知识要点 求解最大利润问题的一般步骤 （1）建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润 ×销售量” （2）结合实际意义，确定自变量的取值范围； （3）在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函 数的简图，利用简图和性质求出.
2.进价为80元的某衬衣定价为100元时，每月可卖出 2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月 售出衬衣的总件数y(件）与衬衣售价x(元)之间的函数 关系式为 y=2000-5(x-100) .每月利润w(元)与衬衣售价 x(元)之间的函数关系式为 w=[2000-5(x-100)](x-80).(以 上关系式只列式不化简）.
u降价销售
①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
单件利润（元）销售量（件） 每星期利润（元）
正常销售 降价销售
20
300
6000
20-x
300+18x y=(20-x)(300+18x)
建立函数关系式：y=(20-x)(300+18x)， 即：y=-18x2+60x+6000.
②自变量x的取值范围如何确定？
九年级数学下册知识点 二次函数
商品利润最大问题
利润问题中的数量关系
探究交流 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出
300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售 额是 18000 元，销售利润 6000 元.
数量关系 （1）销售额= 售价×销售量; （2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量; （3）单件利润=售价-进价.
这时每间客房的日租金为160+10×2=180(元). 答：每间客房的日租金提高到180元时，客房日租金的总收入 最高，最大收入为19440.
练习
1.某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某 段时间内若以每件x元（20 ≤x ≤30)出售，可卖出 （600－20x）件，为使利润最大，则每件售价应 定为 25 元.
例2 某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元，每天都客 满．经市场调查，如果一间客房日租金每增加10元，则客房每天 少出租6间，不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高到 多少元时，客房日租金的总收入最高？最高总收入是多少？
解：设每间客房的日租金提高10x元，则每天客房出租数会 减少6x间，则 y=(160+10x)(120-6x) =－60(x－2)2+19440. ∵x≥0，且120－6x＞0， ∴0≤x＜20. 当x=2时，y有最大值，且y最大=19440.
营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可
以，故20-x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤20. ③降价多少元时，利润最大，是多少？
即：y=-18x2+60x+6000，
当
x 60 5 2(18) 3
时, y 18(5)2 60560006050.
3
3
即降价 5 元时，最大利润是6050元.