Matlab-控制系统的仿真
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法。使用格式为：
q = quad(fun,a,b)
• fun：被积分函数
• a、b：积分上下限
例：计算下列定积分
2
1
0
x3
dx 2x5
function y = myfun(x) y = 1./(x.^3-2*x-5);
>> Q = quad('myfun',0,2) Q=
-0.4605
>> F = @(x)1./(x.^3-2*x-5); >> Q = quad(F,0,2)
在控制系统仿真中，常用的求微分方程数值解的函 数是ode23和ode45。
1. ode23 在MATLAB中，函数ode23采用2-3阶龙格-库塔法
求解微分方程。
[t,y]=ode23(odefun,tspan,y0)
[t,y]=ode23(odefun,tspan,y0,options) • odefun：定义微分方程的形式y’=f(t,y) • tspan=[t0,tfinal]：表示微分方程的积分限从t0（始
Matlab-控制系统的仿真
7.1 微分方程的求解
在现在数学研究和工程实践中，很多数学模型都是 用微分方程确定的，很多基本方程本身就是一个微分方 程，因此求微分方程非常重要，但是大部分的微分方程 目前难以求得其解析解，因此人们只有利用计算机强大 的计算功能来求其数值解。MATLAB主要使用龙格-库 塔法求解微分方程。
function dy=fun1(x,y)
25
y
dy
dy=-y+x^2+4*x+1;
20
在命令窗口中输入 15
>> [x,y]=ode23('fun1',[1,4],1);
>> dy=-y+x.^2+4*x+1;
10
>> plot(x,y,x,dy);
5
wk.baidu.com
>> legend('y','dy')
0
1
1.5
程 d d22 xt(1x2)d dx t x0 （w=2）。
当t=0时，dx/dt=1，d2x/dt2=0。
d d22 xt(1x2)d dx t x0
解：（1）将高阶微分方程式等价变换成一阶微分方 程组。 令y1=x且y2=dx/dt 则dy1/dt=y2，
dy2/dt=w(1-y1^2)y2-y1 （2）编写M函数文件表示该微分方程，给定当前时 间及y1和y2的当前值，返回上述的导数值，并将导数 值以列向量的形式给出。 function fun2=vdpol(t,y) fun2=[y(2) 2*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)]'
2
2.5
3
3.5
4
2. ode45 在MATLAB中，函数ode45采用普通4-5阶龙格-库
塔法求解微分方程。其使用方法与ode23函数的使用方 法基本相同。
ode45函数是大部分场合的首选算法，ode23函数主 要适用于精度较低的情形。
例：解经典非线性方程，范得波（Van der Pol）微分方
（1）分析：电容电压和电流的关系
V C (t)C 1I(t)dt
I(t) C dC V (t) dt
根据基尔霍夫定律，可得出微分方程
R (t) IV C (t) V i Rd C d C ( V t)t V C (t) V i 使用ode函数时，对微分方程进行如下假设
yVC(t)
（3）计算结果如下： >> [t,y]=ode45('vdpol',[0 30],[1;0]); >> y1=y(:,1); >> y2=y(:,2); >> plot(t,y1,':b',t,y2,'-r') >> legend('位移', '速度')
3. 定积分的数值解法 MATLAB软件使用quad函数进行定积分的数值解
值）到tfinal（终值），该积分限也 可以是一些离散的点。 • y0:初始状态列向量 • options：积分参数，包括‘RelTol’（相对误差）和 ‘AbsTol’（绝对误差），可省略。
例：使用ode23函数求解常微分方程y’=-y+x2+4x+1，
x=1时，y=1。
解：首先创建函数fun1.m
dy Vi y dt RC
（2）建立导数函数
function dy=cap(t,y) Vi=20; R=5; C=70e-6; dy=(Vi-y)/(R*C); （3）使用ode函数进行仿真，仿真时间0～0.006s，Vc 初始值为0V。
>> [t,y]=ode45('cap',[0,0.006],0); >> plot(t,y) >> axis([0 0.006 0 25]) >> title('Vc-Time') >> xlabel('Time/sec') >> ylabel('Vc/V')
（1）分析：根据电路分析，由基尔霍夫定律可以得
出微分方程 RI(t)VL(t)VC(t)Vi(t)
I(t)CdVC(t) dt
dI(t) VL(t)L dt
LCd2dVCt2(t)RCdVdCt(t)VC(t)Vi(t)
在利用ode函数时，对微分方程作出如下假设：
y(1) VC (t) y(2) I(t)
Q= -0.4605
7.2 微分方程模型
7.2.1 方法描述 微分方程模型是数学模型的一种主要形式。当采用
一阶微分方程的数值积分法进行数值计算时，应把高阶 微分方程变换成n个一阶微分方程形式。对于微分方程 而言，除了少数可以得到解析解外，大多数只能采用数 值解法。
在MATLAB中，使用ode函数建立微分方程模型。 7.2.2 范例分析 例：在RC低通滤波器电路中，电阻R=5Ω，理想电压 源为Vi=20V，电容C=70μF。分析电容元件的时域特性。
dy(1) 1 y(2) dt C
dy(2) 1 dt L (Vi (t) y(1) R* y(2))
当电压源为直流电压源时，加载在电容上的电压 随时间呈抛物线增大，稳态值为电源电压。电容电压 在t=0时取得最小值，最小值为0；电容电压在 t=0.0023s时达到最大值，为20V。
例：用简单的LC谐振电路组成滤波器电路，其电路方 程是二阶微分方程。观察该RLC电路中，相关电气元 件的时域变化情况。假设电源为直流电压源Vi=20V， 电阻R=5Ω，电容C=70μF，电感L=70mH。
q = quad(fun,a,b)
• fun：被积分函数
• a、b：积分上下限
例：计算下列定积分
2
1
0
x3
dx 2x5
function y = myfun(x) y = 1./(x.^3-2*x-5);
>> Q = quad('myfun',0,2) Q=
-0.4605
>> F = @(x)1./(x.^3-2*x-5); >> Q = quad(F,0,2)
在控制系统仿真中，常用的求微分方程数值解的函 数是ode23和ode45。
1. ode23 在MATLAB中，函数ode23采用2-3阶龙格-库塔法
求解微分方程。
[t,y]=ode23(odefun,tspan,y0)
[t,y]=ode23(odefun,tspan,y0,options) • odefun：定义微分方程的形式y’=f(t,y) • tspan=[t0,tfinal]：表示微分方程的积分限从t0（始
Matlab-控制系统的仿真
7.1 微分方程的求解
在现在数学研究和工程实践中，很多数学模型都是 用微分方程确定的，很多基本方程本身就是一个微分方 程，因此求微分方程非常重要，但是大部分的微分方程 目前难以求得其解析解，因此人们只有利用计算机强大 的计算功能来求其数值解。MATLAB主要使用龙格-库 塔法求解微分方程。
function dy=fun1(x,y)
25
y
dy
dy=-y+x^2+4*x+1;
20
在命令窗口中输入 15
>> [x,y]=ode23('fun1',[1,4],1);
>> dy=-y+x.^2+4*x+1;
10
>> plot(x,y,x,dy);
5
wk.baidu.com
>> legend('y','dy')
0
1
1.5
程 d d22 xt(1x2)d dx t x0 （w=2）。
当t=0时，dx/dt=1，d2x/dt2=0。
d d22 xt(1x2)d dx t x0
解：（1）将高阶微分方程式等价变换成一阶微分方 程组。 令y1=x且y2=dx/dt 则dy1/dt=y2，
dy2/dt=w(1-y1^2)y2-y1 （2）编写M函数文件表示该微分方程，给定当前时 间及y1和y2的当前值，返回上述的导数值，并将导数 值以列向量的形式给出。 function fun2=vdpol(t,y) fun2=[y(2) 2*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)]'
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2. ode45 在MATLAB中，函数ode45采用普通4-5阶龙格-库
塔法求解微分方程。其使用方法与ode23函数的使用方 法基本相同。
ode45函数是大部分场合的首选算法，ode23函数主 要适用于精度较低的情形。
例：解经典非线性方程，范得波（Van der Pol）微分方
（1）分析：电容电压和电流的关系
V C (t)C 1I(t)dt
I(t) C dC V (t) dt
根据基尔霍夫定律，可得出微分方程
R (t) IV C (t) V i Rd C d C ( V t)t V C (t) V i 使用ode函数时，对微分方程进行如下假设
yVC(t)
（3）计算结果如下： >> [t,y]=ode45('vdpol',[0 30],[1;0]); >> y1=y(:,1); >> y2=y(:,2); >> plot(t,y1,':b',t,y2,'-r') >> legend('位移', '速度')
3. 定积分的数值解法 MATLAB软件使用quad函数进行定积分的数值解
值）到tfinal（终值），该积分限也 可以是一些离散的点。 • y0:初始状态列向量 • options：积分参数，包括‘RelTol’（相对误差）和 ‘AbsTol’（绝对误差），可省略。
例：使用ode23函数求解常微分方程y’=-y+x2+4x+1，
x=1时，y=1。
解：首先创建函数fun1.m
dy Vi y dt RC
（2）建立导数函数
function dy=cap(t,y) Vi=20; R=5; C=70e-6; dy=(Vi-y)/(R*C); （3）使用ode函数进行仿真，仿真时间0～0.006s，Vc 初始值为0V。
>> [t,y]=ode45('cap',[0,0.006],0); >> plot(t,y) >> axis([0 0.006 0 25]) >> title('Vc-Time') >> xlabel('Time/sec') >> ylabel('Vc/V')
（1）分析：根据电路分析，由基尔霍夫定律可以得
出微分方程 RI(t)VL(t)VC(t)Vi(t)
I(t)CdVC(t) dt
dI(t) VL(t)L dt
LCd2dVCt2(t)RCdVdCt(t)VC(t)Vi(t)
在利用ode函数时，对微分方程作出如下假设：
y(1) VC (t) y(2) I(t)
Q= -0.4605
7.2 微分方程模型
7.2.1 方法描述 微分方程模型是数学模型的一种主要形式。当采用
一阶微分方程的数值积分法进行数值计算时，应把高阶 微分方程变换成n个一阶微分方程形式。对于微分方程 而言，除了少数可以得到解析解外，大多数只能采用数 值解法。
在MATLAB中，使用ode函数建立微分方程模型。 7.2.2 范例分析 例：在RC低通滤波器电路中，电阻R=5Ω，理想电压 源为Vi=20V，电容C=70μF。分析电容元件的时域特性。
dy(1) 1 y(2) dt C
dy(2) 1 dt L (Vi (t) y(1) R* y(2))
当电压源为直流电压源时，加载在电容上的电压 随时间呈抛物线增大，稳态值为电源电压。电容电压 在t=0时取得最小值，最小值为0；电容电压在 t=0.0023s时达到最大值，为20V。
例：用简单的LC谐振电路组成滤波器电路，其电路方 程是二阶微分方程。观察该RLC电路中，相关电气元 件的时域变化情况。假设电源为直流电压源Vi=20V， 电阻R=5Ω，电容C=70μF，电感L=70mH。