因式分解(超全方法)
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因式分解的常用方法
第一部分:方法介绍
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之
中,是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍.
一、提公因式法.:ma+mb+mc=m(a+b+c)
二、运用公式法.
在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如:
(1)(a+b)(a-b) = a 2
-b 2
---------a 2
-b 2
=(a+b)(a-b); (2) (a ±b)2
= a 2
±2ab+b 2
——— a 2
±2ab+b 2
=(a ±b)2
; (3) (a+b)(a 2
-ab+b 2
) =a 3
+b 3
------ a 3
+b 3
=(a+b)(a 2
-ab+b 2
); (4) (a-b)(a 2
+ab+b 2
) = a 3
-b 3
------a 3
-b 3
=(a-b)(a 2
+ab+b 2
). 下面再补充两个常用的公式:
(5)a 2
+b 2
+c 2
+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2
;
(6)a 3
+b 3
+c 3
-3abc=(a+b+c)(a 2
+b 2
+c 2
-ab-bc-ca);
例.已知a b
c ,,是ABC ∆的三边,且222
a b c ab bc ca ++=++, 则ABC ∆的形状是( )
A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形
三、分组分解法.
(一)分组后能直接提公因式
例1、分解因式:bn bm an am +++
例2、分解因式:bx by ay ax -+-5102
练习:分解因式1、bc ac ab a -+-2
2、1+--y x xy
(二)分组后能直接运用公式 例3、分解因式:ay ax y x ++-2
2
例4、分解因式:2
222c b ab a -+-
练习:分解因式3、y y x x 392
2
--- 4、yz z y x 22
2
2
---
综合练习:(1)3
2
2
3
y xy y x x --+ (2)b a ax bx bx ax -+-+-2
2
(3)1816962
2
2
-+-++a a y xy x (4)a b b ab a 491262
2-++-
(5)922
34-+-a a a (6)y b x b y a x a 2
2
2
2
44+--
(7)2
2
2y yz xz xy x ++-- (8)12222
2++-+-ab b b a a
(9))1)(1()2(+---m m y y (10))2())((a b b c a c a -+-+
(11)abc b a c c a b c b a 2)()()(2
2
2
++++++(12)abc c b a 33
33-++
四、十字相乘法.
(一)二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——))(()(2
q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。 特点:(1)二次项系数是1; (2)常数项是两个数的乘积;
(3)一次项系数是常数项的两因数的和。
思考:十字相乘有什么基本规律
例.已知0<a ≤5,且a 为整数,若2
23x x a ++能用十字相乘法分解因式,求符合条件的
a .
例5、分解因式:652
++x x
例6、分解因式:672
+-x x
练习5、分解因式(1)24142
++x x (2)36152
+-a a (3)542
-+x x
练习6、分解因式(1)22-+x x (2)1522
--y y (3)24102
--x x
(二)二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2
条件:(1)21a a a = 1a 1c
(2)21c c c = 2a 2c (3)1221c a c a b += 1221c a c a b += 分解结果:c bx ax ++2
=))((2211c x a c x a ++
例7、分解因式:101132
+-x x
分析: 1 -2 3 -5 (-6)+(-5)= -11 解:101132
+-x x =)53)(2(--x x
练习7、分解因式:(1)6752-+x x (2)2732
+-x x
(3)317102
+-x x (4)101162
++-y y
(三)二次项系数为1的齐次多项式
例8、分解因式:2
21288b ab a --
分析:将b 看成常数,把原多项式看成关于a 的二次三项式,利用十字相乘法进行分解。 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b
解:2
21288b ab a --=)16(8)]16(8[2
b b a b b a -⨯+-++