代数问题的几何解法几例
破解解析几何问题常见的技巧
4
所以△ F 1 MN 内切圆半径 r 最大，即 △1 最大.
设直线 l 的方程为 x ＝ my ＋ 3 （ m ≠0），
＝＋ 3，
2＋4） y 2＋2 3 my －1＝0，Δ＞0显然
由ቐ 2
得（
m
＋ 2 = 1，
4
−2 3
−1
成立，则 y 1＋ y 2＝ 2 ， y 1 y 2＝ 2 ，
消去
y
，得63
x
2
4
4
2
− =1
9
193＝0，∵Δ＝1262－4×63×（－193）＞0，且 x 1 x 2＜0，∴直线 AB
与双曲线的两支分别相交，∴D满足题意.故选D.
高中总复习·数学
解法分析
解析几何是高中数学中用代数方法研究几何问题的重要分支，解题的
第一步通常是把几何条件转化为代数语言，即转化为方程或函数问
值域容易确定的另一函数，求得其值域，从而求得原函数的值域，形
如 y ＝ ax ＋ b ± ＋ （ a ， b ， c ， d 均为常数，且 ac ≠0）的函数
常用此法求解，但在换元时一定要注意新元的取值范围，以保证等价
转化，这样目标函数的值域才不会发生变化.
高中总复习·数学
技巧5
妙借向量，更换思路
12
12
则 2 ＋ 2 ＝1，
22
22
＋ 2 ＝1，
2
②
①
.
高中总复习·数学
①－②得
（1 ＋2 )(1 −2 ）
1 −2
当
＝－1时
1 −2
2
＋
（1 ＋2 )(1 −2 ）
2
运用方程思想解决几何问题“六法”_
１
６
所以２
S△ABC ＝３．
x２ －１
２
x＋１
５＝０,解 得 x１ ＝３－ ,
２
２
x２ ＝３＋
３＋
６
６
(舍去),此时Байду номын сангаас 求 出 AF ＝６－ ３－
＝
２
２
(
)
６
所 以 存 在 直 线 EF 将 Rt△ABC 的 周 长 与
＜５．
２
解法探究
２０２４ 年 １ 月下半月
面积同时平分,且 AE 的长为３－
解 x１ ＝ ３,
又 ３＋x１ ＝３＋ ３＞４,所
x２ ＝－ ３(舍去)．
６
．
２
１
(ⅱ )若点 F 与 B 重合,如图 ９,由 S△AEB ＝ S△ABC
２
可知 E 为 AC 的 中 点,由 于 BC ＜AB ,故 BC ＋CE ＜
AE ＋AB ,所以不存在满足题设要求的直线 EF ．
分线,
已知 BD ＝２
０,
EF＝１
５,求
EF 平 分 Rt△ABC 的 周 长,设
解:设矩 形 的 长 AB ＝x,
图５
宽 BC ＝y．在 Rt△BAD 中,
BD２ ＝ AD２ ＋ AB２ ,即
２
因为 EF 是 BD 的垂直平分线,则有 BO＝
x２ ＋y２ ＝２
０．
所以 △OFD≌△OEB．
所以 OE＝OF＝７．
°,所 以 可 得
７１
解法探究
２０２４ 年 １ 月下半月
△BED ∽△BCA ．
DE BD
k
９＋k
代数问题的几何解法例析
代数问题的几何解法例析
张笃芳
【期刊名称】《数学教育研究》
【年(卷),期】2004(000)001
【摘要】解析几何是用代数方法研究几何图形问题的一门学科．具体的说，就是
借助于坐标系，用坐标表示点，用曲线上点的坐标所满足的方程表示曲线，通过研究方程的性质间接的研究曲线的性质，从而把几何上的许多图形和概念给出了其代数表示．反过来，许多代数问题，如果我们能联想到它们对应的图形，借助于图形，转化为几何问题去解决，则显得简捷、明了、形象、直观．本文归纳介绍代数上可转化为几何问题解决的若干方面，供同学们在学习中参考．
【总页数】3页(P45-47)
【作者】张笃芳
【作者单位】山东省淄博四中,255100
【正文语种】中文
【中图分类】G623.503
【相关文献】
1.代数问题图形化和几何问题代数化 [J], 何晓静;
2.几何综合题中函数关系问题的归类思考——一类中考压轴题的解法例析 [J], 吴
龙梅
3.代数与几何齐飞\r——破解高考解析几何中的定值、定点问题 [J], 夏锦
4.代数与几何齐飞——破解高考解析几何中的定值、定点问题 [J], 夏锦
5.几何图形中存在性问题的解法例析 [J], 李胜军
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代数问题的图形解法
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下载时间：2010年8月10日
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等量代换常见题型
等量代换常见题型等量代换，即根据已知条件进行推理，将题目中的量词符号替换成具体的数量，从而解决问题。
在数学中，等量代换是一种常见的解题方法，可以在不改变题目本意的情况下，简化问题的复杂度，使计算更加方便和准确。
下面将通过一系列常见题型来介绍等量代换的应用。
一、代数方程求解例如，求解方程2x-5=7的解。
我们可以对方程进行等量代换，将x的系数和常数项替换成具体的数值，得到等效的方程2a-5=7，其中a代表x的值。
然后解得a=6，再将a的值代回原方程可得x=3。
等量代换简化了求解过程，使得问题变得更加清晰和易于理解。
二、几何题解法例如，一个正方形的面积是16平方厘米，求其边长。
我们可以用等量代换的方法解决这个问题。
设正方形的边长为a，则根据已知条件可得a^2=16，即a=4。
通过等量代换，我们将未知量边长a替换成具体的数值4，从而得到答案。
三、函数求值例如，求函数f(x)=2x^2-3x+1在x=2时的取值。
我们可以用等量代换的方法计算出f(x)在x=2时的值。
将x替换成具体的数值2，得到f(2)=2(2)^2-3(2)+1=9。
等量代换使得函数求值变得更加简单和直观。
四、逻辑推理例如，对于命题“若小明考试及格，则小明有奖品”，我们可以进行等量代换，将命题中的变量替换成具体的事实，从而判断命题的真假。
假设小明考试及格，我们可以代换成小明考试得了80分。
如果小明确实得了80分，并且我们知道考试及格的分数线是60分，则根据已知条件，我们可以得出结论：“小明考试及格，小明有奖品”。
等量代换帮助我们从复杂的命题中抽象出具体的事实，从而进行合理的推理和判断。
综上所述，等量代换是一种常见的解题方法，在各个学科中都有广泛的应用。
通过将未知量替换成具体的数值，等量代换能够简化问题的复杂度，使计算更加简单和准确。
无论是代数方程求解、几何题解法、函数求值还是逻辑推理，等量代换都是解决问题的有力工具。
因此，掌握等量代换的技巧对于提高解题能力和应对各种考试都是非常重要的。
几何图形的九大解法
几何图形的九大解法一、分割法例1：将两个相等的长方形重合在一起，求组合图形的面积。
（单位：厘米）解：将图形分割成两个全等的梯形。
S组=（7-2+7）×2÷2×2=24（平方厘米）例2：下列两个正方形边长分别为8厘米和5厘米，求阴影部分面积。
解：将图形分割成3个三角形。
S=5×5÷2+5×8÷2+（8-5）×5÷2=12.5+20+7.5=38（平方厘米）例3：左图中两个正方形边长分别为8厘米和6厘米。
求阴影部分面积。
解：将阴影部分分割成两个三角形。
S阴=8×（8+6）÷2+8×6÷2=56+24=80（平方厘米）二、添辅助线例1：已知正方形边长4厘米，A、B、C、D是正方形边上的中点，P是任意一点。
求阴影部分面积。
解：从P点向4个定点添辅助线，由此看出，阴影部分面积和空白部分面积相等。
S阴=4×4÷2=8（平方厘米）例2：将下图平行四边形分成三角形和梯形两部分，它们面积相差40平方厘米，平行四边形底20.4厘米，高8厘米。
梯形下底是多少厘米？解：因为添一条辅助线平行于三角形一条边，发现40平方厘米是一个平行四边形。
所以梯形下底：40÷8=5（厘米）例3：平行四边形的面积是48平方厘米，BC分别是这个平行四边形相邻两条边的中点，连接A、B、C得到4个三角形。
求阴影部分的面积。
解：如果连接平行四边形各条边上的中点，可以看出空白部分占了整个平行四边形的八分之五，阴影部分占了八分之三。
S阴=48÷8×3=18（平方厘米）三、倍比法例1：已知OC=2AO,SABO=2㎡，求梯形ABCD的面积。
解：因为OC=2AO，所以SBOC=2×2=4（㎡）SDOC=4×2=8（㎡）SABCD=2+4×2+8=18（㎡）例2：已知S阴=8.75㎡，求下图梯形的面积。
代数式方程的解法与应用
代数式方程的解法与应用代数式方程是代数学中的重要概念，它描述了数学中的关系和变量之间的等式。
解代数式方程是数学研究中的一个基本问题，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将探讨代数式方程的解法和其在实际问题中的应用。
一、代数式方程的解法1. 一元一次方程的解法一元一次方程是最简单的代数式方程，它的一般形式为ax + b = 0。
解一元一次方程的方法是通过移项和化简，将方程转化为x = c的形式，其中c为常数。
例如，对于方程2x + 3 = 7，我们可以通过将3移到等式右边，得到2x = 7 - 3，进一步化简得到x = 2。
2. 一元二次方程的解法一元二次方程是一种常见的代数式方程，它的一般形式为ax^2 + bx + c = 0。
解一元二次方程的方法有多种，包括因式分解、配方法、求根公式等。
其中，求根公式是最常用的方法，它可以直接求得一元二次方程的解。
求根公式为x = (-b ±√(b^2 - 4ac)) / 2a。
例如，对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以通过代入a = 1，b = -5，c = 6，利用求根公式求得方程的解为x = 2或x = 3。
3. 多元方程组的解法多元方程组是包含多个未知数的方程组，它的解是满足所有方程的共同解。
解多元方程组的方法包括代入法、消元法、矩阵法等。
其中，消元法是一种常用的方法，它通过对方程组进行变换和消元，将方程组化简为最简形式。
例如，对于方程组2x + 3y = 74x - y = 1我们可以通过将第二个方程乘以2，并将其与第一个方程相减，得到新的方程6x = 9。
进一步化简得到x = 3，代入第一个方程可求得y = 1。
二、代数式方程的应用1. 几何问题中的代数式方程代数式方程在几何问题中有广泛的应用。
例如，对于一个矩形，已知其周长为10，我们可以设矩形的长为x，宽为y，根据周长的定义得到方程2x + 2y = 10。
通过解这个方程，我们可以求得矩形的长和宽。
几何问题的代数解法
几何问题的代数解法在数学的广袤领域中，几何与代数如同两座巍峨的山峰，各自展现着独特的魅力。
而将几何问题转化为代数解法，就像是在这两座山峰之间架起了一座桥梁，让我们能够以一种全新的视角去探索和解决那些看似复杂的几何难题。
几何问题通常涉及图形的形状、大小、位置关系等，需要我们通过直观的观察和几何定理的运用来求解。
然而，有时候这种直观的方法可能会让我们陷入困境，尤其是当问题变得较为复杂或者涉及多个变量时。
这时，代数解法就展现出了它的强大威力。
代数解法的核心思想是将几何中的元素，如点、线、面、角等，用代数符号和方程来表示。
通过建立这些代数关系，我们可以利用代数运算和方程求解的方法来得出几何问题的答案。
比如说，在平面直角坐标系中，一个点可以用坐标（x, y) 来表示。
这样，一条直线就可以用方程 y ＝ kx ＋ b 来描述，其中 k 是斜率，b 是截距。
通过这样的代数表示，我们可以很方便地研究直线的性质，比如判断两条直线是否平行、相交，或者计算它们的交点坐标。
再来看一个具体的例子，求一个三角形的面积。
如果我们知道三角形三个顶点的坐标，那么可以通过行列式的方法来计算其面积。
设三角形三个顶点的坐标分别为（x₁, y₁)，（x₂, y₂)，（x₃, y₃)，则其面积可以表示为：＼S ＝＼frac{1}｛2}＼left|＼begin{array}｛ccc}x₁＆ y₁＆ 1 ＼＼x₂＆ y₂＆ 1 ＼＼x₃＆ y₃＆ 1＼end{array}＼right|＼这种方法将几何中的面积问题转化为了代数中的行列式计算，大大简化了求解过程。
另外，在解决几何最值问题时，代数解法也常常能发挥关键作用。
比如，求平面上一点到给定几个点的距离之和的最小值。
我们可以设该点的坐标为（x, y)，然后根据距离公式列出目标函数，再通过代数方法，如求导数、配方等，来找到最值。
代数解法不仅在平面几何中有着广泛的应用，在立体几何中同样能大放异彩。
小升初经典题型—小学平面几何图形的十大解法
几何图形的十大解法（30例）一、分割法例1：将两个相等的长方形重合在一起，求组合图形的面积。
（单位：厘米）2例2：下列两个正方形边长分别为8厘米和5厘米，求阴影部分面积。
例3：左图中两个正方形的边长分别为8厘米和6厘米。
求阴影部分面积。
二、添辅助线例1：已知正方形边长4厘米，A、B、C、D是正方形边上的中点，P是任意一点。
求阴影部分面积。
CPD BA例2：将下图平行四边形分成三角形和梯形两部分，它们面积相差40平方厘米，平行四边形底20.4厘米，高8厘米。
梯形下底是多少厘米？例3：平行四边形的面积是48平方厘米，BC分别是A 这个平行四边形相邻两条边的中点，连接A、B B、C得到4个三角形。
求阴影部分的面积。
C三、倍比法例1： A B 已知：OC=2AO，S ABO=2㎡，求梯形ABCDO 的面积。
D C例2：7.5 已知：S阴=8.75㎡，求下图梯形的面积。
2.5例3： A 下图AB是AD的3倍，AC是AE的5倍，D E 那么三角形ABC的面积是三角形ADE的多少倍？B C四、割补平移例1： A B 已知：S阴=20㎡， EF为中位线E F 求梯形ABCD的面积。
D C例2：10 求左图面积（单位：厘米）5510例3：把一个长方形的长和宽分别增加2厘米，面积增加24平方厘米。
求原长方形的周长。
2五、等量代换例已知：AB平行于EC，求阴影部分面积。
8E 10 D（单位：m）例2：下图两个正方形边长分别是6分米、4分米。
求阴影部分面积。
例3：已知三角形ABC的面积等于三角形AED的面积（形状大小都相同），它们重叠在一起，比较三角形BDF和三角形CEF的面积大小。
（）A A 三角形DBF大B三角形CEF大D C C两个三角形一样大D无法比较B FE六、等腰直角三角形例1：已知长方形周长为22厘米，长7 厘米，求阴影部分面积。
45°例2：已知下列两个等腰直角三角形，直角边分别是10厘米和6厘米。
1-10--例17-直线与椭圆位置关系-典型题-两根之和两根之积(代数法)-有答案
类型一：标准方程的求解例1 已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值．分析：把椭圆的方程化为标准方程，由2=c ，根据关系222c b a +=可求出m 的值．解：方程变形为12622=+my x ．因为焦点在y 轴上，所以62>m ，解得3>m ． 又2=c ，所以2262=-m ，5=m 适合．故5=m ．例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，P ，b a 3=，求椭圆的标准方程．分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，求出参数a 和b （或2a 和2b ）的值，即可求得椭圆的标准方程．解：当焦点在x 轴上时，设其方程为()012222>>=+b a by a x ．由椭圆过点()03，P ，知10922=+b a ．又b a 3=，代入得12=b ，92=a ，故椭圆的方程为1922=+y x ．当焦点在y 轴上时，设其方程为()012222>>=+b a bx a y ．由椭圆过点()03，P ，知10922=+b a ．又b a 3=，联立解得812=a ，92=b ，故椭圆的方程为198122=+x y ．例3 已知方程13522-=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 解：由⎪⎩⎪⎨⎧-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<<k ，且4≠k ．∴满足条件的k 的取值范围是53<<k ，且4≠k ．说明：本题易出现如下错解：由⎩⎨⎧<-<-,03,05k k 得53<<k ，故k 的取值范围是53<<k ．出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件，当b a =时，并不表示椭圆．例4 已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围．分析：依据已知条件确定α的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出α的取值范围．解：方程可化为1cos 1sin 122=+ααy x ．因为焦点在y 轴上，所以0sin 1cos 1>>-αα． 因此0sin >α且1tan -<α从而)43,2(ππα∈．说明：(1)由椭圆的标准方程知0sin 1>α，0cos 1>-α，这是容易忽视的地方． (2)由焦点在y 轴上，知αcos 12-=a ，αsin 12=b ． (3)求α的取值范围时，应注意题目中的条件πα<≤0．例5 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程．分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，可设其方程为122=+ny mx (0>m ，0>n )，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程．解：设所求椭圆方程为122=+ny mx (0>m ，0>n )．由)2,3(-A 和)1,32(-B 两点在椭圆上可得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+-⋅=-⋅+⋅,11)32(,1)2()3(2222n m n m 即⎩⎨⎧=+=+,112,143n m n m 所以151=m ，51=n ．故所求的椭圆方程为151522=+y x ． 例6 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和352，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．解：设两焦点为1F 、2F ，且3541=PF ，3522=PF ．从椭圆定义知52221=+=PF PF a ．即5=a ． 从21PF PF >知2PF 垂直焦点所在的对称轴，所以在12F PFRt ∆中，21sin 1221==∠PF PF F PF ， 可求出621π=∠F PF ，3526cos21=⋅=πPF c ，从而310222=-=c a b ．∴所求椭圆方程为1103522=+y x 或1510322=+y x ．例7 已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程． 分析：关键是根据题意，列出点P 满足的关系式．解：如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点， 即定点()03，-A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径，即8==+=+BM PB PM PB PA ．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，半长轴为4，半短轴长为73422=-=b 的椭圆的方程：171622=+y x ． 说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．类型二：直线与椭圆的位置关系(代数法-两根之和-积-判别式)一、公共点问题通过方程判别式来判断直线与椭圆的位置关系，几何的交点问题与代数的方程根问题完美结合于此例8 判断直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 的位置关系 解：由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1416322y x kx y 可得02024)14(22=+++kx x k )516(162-=∆∴k （1）当45450)516(162-<>>-=∆k k k 或即时，直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 相交 （2）当45450)516(162-===-=∆k k k 或即时，直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 相切（3）当45450)516(162<<-<-=∆k k 即时，直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 相离 例9 若直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆1522=+my x 恒有公共点，求实数m 的取值范围 解法一：由⎪⎩⎪⎨⎧=++=15122m y x kx y 可得05510)5(22=-+++m kx x m k ，0152≥--=∆∴k m 即1152≥+≥k m 51≠≥∴m m 且解法二：直线恒过一定点)1,0(当5<m 时，椭圆焦点在x 轴上，短半轴长m b =，要使直线与椭圆恒有交点则1≥m 即51<≤m 当5>m 时，椭圆焦点在y 轴上，长半轴长5=a 可保证直线与椭圆恒有交点即5>m综述：51≠≥m m 且 解法三：直线恒过一定点)1,0(要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点)1,0(在椭圆内部115022≤+m 即1≥m 51≠≥∴m m 且[评述]由直线方程与椭圆方程联立的方程组解的情况直接导致两曲线的交点状况，而方程解的情况由判别式来决定，直线与椭圆有相交、相切、相离三种关系，直线方程与椭圆方程联立，消去y 或x 得到关于x 或y 的一元二次方程，则（1）直线与椭圆相交0>∆⇔（2）直线与椭圆相切0=∆⇔（3）直线与椭圆相离0<∆⇔，所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具。
代数推理题的经典类型与解法
4 x 1，已知 x [4,0] ，时恒有 f ( x) g ( x) ，求 a 的 3
1 1 1 1 2 log a (a 1) 对于大于 1 的正整数 n 恒成立，试确 n 1 n 2 2n 12 3
9 (b 0) 在区间[－b，1－b]上的最大值为 25，求 b 的值. 4
1 1 3 2 25 1 3 1 b, 即 b 时， f ( x) 的最大值为 4b +3=25. b 2 与 b 矛盾; 4 2 2 2 2 2 3 2 1 1 (2) 当 b, 即0 b 时, f ( x)在[b,1 b] 上递增， f ( b) (b ) 25; 2 2 2 (1) 当 b
(3) 求证：
六．采用反证法 例 6 对于函数 f ( x) ，若存在 x0 R, 使f ( x0 ) x0 成立，则称 x0为f ( x) 的不动点。如果函数
1 x2 a f ( x) (b, c N ) 有且只有两个不动点 0，2，且 f (2) , 2 bx c
(3) 当
1 3 15 5 1 b, 即b 时， f ( x)在[b,1 b] 上递增， f (1 b) b 2 96 25, 解得 b . 2 2 4 2
关于二次函数问题是历年高考的热门话题, 值得读者在复课时重点强化训练. 针对抛物线顶点横坐标
1 在不在区间[－b，1－b], 自然引出解题形态的三种情况, 这显示了分类讨论的数学思想在解题当中的充 2
ห้องสมุดไป่ตู้
八．解析几何中的推理证明 例 9 一动圆经过点 A（2，0），且在 y 轴上截得的弦长为 4． （1）求动圆圆心 P 的轨迹方程； （2）设 AO 的中点为 B（其中 O 为坐标原点），如果过点 B 的直线 l 与动圆圆心 P 的轨迹相交于不同 的两点 C、D，证明：以 CD 为直径的圆与一定直线相切． 例 10 如图，直角坐标系 xOy 中，一直角三角形 ABC，∠C＝90° ，B、C 在 x 轴上且关于原点 O 对 称，D 在边 BC 上，BD＝3DC，∆ABC 的周长为 12．若一双曲线 E 以 B、C 为 y 焦点，且经过 A、D 两点． A （1）求双曲线 E 的方程； （2）若一过点 P（m，0）（m 为非零常数）的直线 l 与双曲线 E 相交于不 → → 同于双曲线顶点的两点 M、N，且MP＝λ PN ，问在 x 轴上是否存在定点 G，使 → → → x B OD C BC ⊥（GM－λGN）？若存在，求出所有这样定点 G 的坐标；若不存在，请说 明理由．
几何图形解法
2添加辅助线法▌例1：已知正方形边长4厘米，A、B、C、D是正方形边上的中点，P是任意一点。
求阴影部分面积。
解：从P点向4个定点添辅助线，由此看出，阴影部分面积和空白部分面积相等。
S阴=4×4÷2=8（平方厘米）▌例2：将下图平行四边形分成三角形和梯形两部分，它们面积相差40平方厘米，平行四边形底20.4厘米，高8厘米。
梯形下底是多少厘米？解：因为添一条辅助线平行于三角形一条边，发现40平方厘米是一个平行四边形。
所以梯形下底：40÷8=5（厘米）▌例3：平行四边形的面积是48平方厘米，BC分别是这个平行四边形相邻两条边的中点，连接A、B、C得到4个三角形。
求阴影部分的面积。
解：如果连接平行四边形各条边上的中点，可以看出空白部分占了整个平行四边形的八分之五，阴影部分占了八分之三。
S阴=48÷8×3=18（平方厘米）3倍比法▌例1：已知S阴=8.75㎡，求下图梯形的面积。
解：因为7.5÷2.5=3（倍）所以S空=3S阴S=8.75×（3+1）=35（㎡）▌例2：下图AB是AD的3倍，AC是AE的5倍，那么三角形ABC的面积是三角形ADE的多少倍？解：设三角形ADE面积为1个单位。
则SABE=1×3=3 SABC=3×5=15所以三角形ABC的面积是三角形ADE的15倍。
4割补平移▌例1：已知S阴=20㎡，EF为中位线求梯形ABCD的面积。
解：沿着中位线分割平移，将原图转化成一个平行四边形。
从图中看出，阴影部分面积是平行四边形面积一半的一半。
SABCD=20×2×2=80（㎡）▌例2：求下图面积（单位厘米）。
解1：S组=S平行四边形=10×（5+5）=100（平方厘米）解2：S组=S平行四边形=S长方形=5×（10+10）=100（平方厘米）▌例3：把一个长方形的长和宽分别增加2厘米，面积增加24平方厘米。
构造直角三角形解代数最值问题
2020年第3期中学数学研究•51•综合上述探究，得出正确结论共有(2)(3)(4).点评：以上解题方法均是为了实现将双变元的不等式转化为单变元不等式，方法一、四利用构造新的函数来达到消元的目的，方法二、三则是利用构造新的变元，将两个旧的变元都换成新变元来表示，从而达到消元的目的.3.解法反思含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元冋严2的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决;或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数.通过上述解法探究，可知用构造函数法求解极值点偏移问题大致可以分为以下三步：(1)求导，获得函数的单调性，极值情况，作出图像，由题意得知冋严2的范围(数学结合思想)；(2)构造函数：①幻+%2>(<)2x0型的结论构造函数/'(%)-/(2%-x);②t=x2-x x,t=竺换元构造函数；久1③替换函数法构造函数；④对数平均不等式构造函数；(3)求导，限定范围，判断符号，获得不等式，证明得出结论.构造直角三角形解代数最值问题江苏省泰州中学附属初中(225300)刘兴龙构造法是一种重要的数学思想方法，它可以根据问题的条件结构，构造出一个载体把所给的数学元素及其关系全面准确地载入，实现将已知问题转化的目的.此法新颖独特，对培养学生的联想、迁移、转化等思维有着十分重要的作用.本文主要介绍如何构造直角三角形解代数最值问题，供师生教学参考■例1设m、n、p是正数，且+n=p',求巴土2的最大值.p解：由已知条件知m、n、p均为正数，且rn2+n=p2,故可构造RtAABC如图1.在RtAABC中,sinA=—,cos4p(sinA+cos4)P二#sin(A+45°).而sin(A+45°)W1,二P #.故空土2的最大值为P评注：本题难度较大，用一般方法不易求解，且过程十分繁琐.于是考虑构造直角三角形将数转化为形，其构思精巧，令人耳目一新.例2求二次根式y=V%2-8%+25-Vx+1的最大值.解：如图2,将已知函数变形为y=y(4-X)2+323 -启+］，作佃=4,在二同侧作CA丄AB于A且CA=丄于B且DB=3.在图2AB上取点P,令AP=x,易知PD=7(4-x)2+32,PC=W+1.由CD3：1PD-PC I可知y的最大值为CD=/(3-I)2+42= 275.由少血5“呦,得(阳)：(旳)=1：3,解得PA=2.但AP与AP在4点异侧，与AP方向相反.所以％=-P'A=-2.即y取最大值时％的值为-2.评注:本题是一道数形结合的综合题,解题关键是应用勾股定理,相似三角形及不等知识，通过构造•52•中学数学研究2020年第3期直角三角形，使代数问题得以转化，从而化复杂为简单，化抽象为直观.例3已知实数a,6满足条件a>0,6>0,且a+b=4,求代数式+1+/>2+4的最小值.解：因为两个根号内都是岂p 平方和的形式，所以考虑构造直角三角形求解.如图3,作/AE丄丄AB,P是线段AP上的一个动点，设=4,AP=a,BP=b,AE=1,BD=2.过点E作EE丄于F,图3连接DE.根据勾股定理得PE=Va+1,PD=后+4.所以7a2+1+后+4=PE+PDMDE =^32+42=5.故+1+Vb2+4的最小值是5.评注：有些代数题，用代数方法很难解决，但如果抓住“数”与“形”之间的内在联系，就可赋“数”以“形”意，把抽象的数学关系转化为构造直角三角形.用几何图形的直观性，可使已知和结论间的关系变得更明确、更形象,从而使问题变得简单明了.例4求二次根式//+4+7(12-%)2+9的最小值.解:构造直角三角形2UPP和ADCP，使CP+ BP=12丄BC,CD丄BC,AB=2,CD=3.并设BP=力，则PC=12-x,由图44得AP+PD=囲+4+27(12-^)2+9，显然，当仲直+PD=AD时为最小值.为此，延长DC至E,使CE=连结AE.在直角三角形ADE中，AP+PD=AD=7122+52=13,故J/+4+最小值为13.评注：因为W+4、丿(12-%)2+9均与直角三角形的边相关联，故设想用勾股定理解之.又考虑到力与(12-%)之和为12,为此将这两线段放置在同一条线段上，构造出两个直角三角形(如图4).然后通过变形，合二为一，使问题得以转化.综上所述,构造直角三角形求代数式的最大值和最小值问题，其关键在于要从问题的背景出发，根据题设的结构特征，构造出相应的图形求解,有助于培养逻辑推理和直观想象能力.并且这种数形结合的方法，充分体现了数学的和谐美，实现了抽象思维与形象思维之间的转换，符合新课程改革的理念要求，对于启迪学生思维，开拓学生视野，提高综合解题水平大有益处•运用数形结合思想，不仅能直观发现解题捷径，而且能避免大量的计算和复杂的推理，大大简化解题过程，因此，在平常解题过程中，要多给学生渗透这种思想方法，多加强这方面的训练，以提高解题能力和速度，从而开拓学生的思维和视野.利用“同解方程”简化解析几何的运算江苏省海安市实验中学解析几何是指借助笛卡尔坐标系，利用方程来研究几何对象之间的关系和性质的一门几何学分支•高中阶段所学曲线都是用方程来表示的，曲线上所有的点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上，即曲线的方程、方程的曲线.本文重点关注利用“同解方程”以减少解析几何的运算量.(226600)潘新峰—、同解原理原理：已知二次函数/(%)=a^2+b A x+C［、g(力)=a2x2+b2x+c2,若f(x1)=/(x2)=0且g(衍)=g(x2)=0,其中％#%2,则存在入e R且A MO,使得a】=Xa2^b1=Xb2^c1=Ac2-证明：因为g(%)=a2x2+b2x+c2,若/(冋)= /(%2)=0且g(%i)=g(%)=0,所以根据因式分解。
线性代数讲义1
线性代数与解析几何讲义（部分）引 言（Introduction ）1. 数学 数学（數學、mathematics ）在我国古代叫算（筭、祘）术，后来叫算学或数学；直到1939年6月，为了划一才确定统一用数学．“数学是研究现实世界的量的关系和空间形式的科学”，分为代数、几何等．2. 代数 代数(algebra)分为古典代数和近世代数．古典代数(ancient algebra)基本上就是方程论，以方程的解法为中心．如： 一元一次方程 )0(≠=a b ax 的解为b a x 1-=；一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax 的解为)2/()4(22,1a ac b b x -±-=；一元三、四次方程也有类似的求根公式（16世纪）；但是，一元n 次方程当n ≥5时却无一般的“求根公式”（参见数学史或近代数）； 根式求解条件的探究导致群概念的引入，这最早出现在Lagrange 1770年和1771年的著作中；1799年Ruffini 给出“证明”（群论思想）；Abel 进一步给出严格的证明，开辟了近世代数方程论的道路（1824年和1826年），包括群论和方程的超越函数解法；Galois 引入代换群彻底解决了代数方程根式可解的条件，开辟了代数学的一个崭新的领域——群论．从而使代数的研究对象转向研究代数结构本身，此即近世代数．近世代数(modern algebra)又称抽象代数（abstract algebra ）包括代数数论、超复数系、线性代数、群论、环论、域论、格论、李（Lie ）群、李代数、代数几何、代数拓扑，等等． 3. 线性代数 如果保持一元一次方程中未知量的指数（一次的）不变，而增加未知量及方程的个数，即得到线性（一次）方程组．先看下面三个例子：例1 （《孙子算经》卷下第31题）“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问雉、兔各几何？答曰：雉二十三，兔一十二．”解法1 设雉、兔分别为x ，y ，则由⎩⎨⎧=+=+944235y x y x 解得⎩⎨⎧==1223y x .解法2 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛9435足头⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−→−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−→−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−→−122312354735兔雉兔头半足头再作差作差半其足 . 解法 3 请兔子全“起立”后，雉兔总“足”数为70235＝⨯，从而得兔“手”数为94－70＝24，于是兔子数为24÷2＝12，雉数为35－12＝23 .注：后两种解法心算即可．例2 某厂用四种原料生产五种产品，各产品的原料成份及各原料的用量为表1所示，求每种产品的产量（千克）．表1 各产品的原料成份（％）及各原料的用量（千克）解 设A,B,C,D,E 五种产品的产量分别为X i （i ＝1，2，3，4，5），则问题归结为求解方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++=++++6001.06.01.02.01.07807.01.03.01.02.02501.02.02.06.04.01001.01.04.01.03.054321543215432154321X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X这是一个含五个未知量、四个方程的方程组．例3 某商店经营四类商品，四个季度的销售额及利润额如表2所示．求每类商品的年平均利润率（％）． 表2 各类商品四个季度的销售额及利润额（单位：元）解 设四类商品A,B,C,D 的利润率分别为X i （i ＝1，2，3，4），则问题归结为解下面含四个未知量、四个方程的方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++955005002503009075040030016085800500100200806003002002504321432143214321XX X X X X X X X X X X X X X X .现实中的很多问题，往往归结为求解含多个未知量（数）的一次方程组，称为线性方程组，其一般形式为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++m n mn m m n n n n bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 .此类线性方程组可能有解，也可能无解；有解时可能只有一组解，也可能有多组甚至无穷多组解，如⑴⎩⎨⎧=-=+226132121x x x x 有唯一解 ⎩⎨⎧==03/121x x ;⑵⎩⎨⎧=-=-226132121x x x x 有无穷多解 ⎩⎨⎧-==1321c x cx （其中c 为任意常数） ;⑶⎩⎨⎧=-=-426132121x x x x 无解 .那么，如何判定一个给定的线性方程组有没有解？如果有解，究竟有多少组解（一组、多组、无穷多组）？这些解又怎样求（表示）出来？如果无解，又怎么办？因为无解的方程组如果是某一有解的实际问题的数学抽象，此时又如何（用这一线性方程组来）描述它所表示的实际问题的解（“广义解”）？这就要求我们研究解决线性方程组有解的判定条件、解法、解的结构与解的表示以及“广义解”等问题，这些都是线性代数所要解决的问题．线性代数( Linear algebra )是从线性方程组、行列式和矩阵等理论中产生出来的，是代数各分支中应用最广泛的分支．在历史上首先应归功于英国的J.J.Sylvester 、A.Cayley 、美国的Peirce 父子和L.E.Dickson 等人的工作．主要内容：行列式、矩阵、线性方程组、向量空间、相似矩阵及二次型等；主要方法：初等变换法、降阶法、分块法、标准形法、特征值法等． 下面我们将分别介绍．当然我们这里所介绍的只是线性代数中最基本的内容，还有很多内容(如矩阵论或矩阵分析等)要等到我们进一步深造时再学；而且线性代数本身也是在不断发展的．参 考 书[1] 线性代数(第三版、第四版)，同济大学数学教研室编，高等教育出版社． [2] 线性代数（居余马等编）、线性代数与解析几何（俞正光等编）、线性代数辅导（胡金徳等编），清华大学出版社． [3] 线性代数（陈龙玄等编）、线性代数（李炯生等编），中国科技大学出版社． [4] 线性代数解题方法技巧归纳，毛纲源编，华中理工大学出版社． [5] 线性代数方法导引，屠伯埙编，复旦大学出版社． [6] Linear Algebra(UTM)，By L.Smith ，Springer-V erlag ．． ． ．第一讲 行列式 ( Determinant )教学目的与要求：了解n 阶行列式的概念，掌握行列式的性质和二、三阶行列式的计算方法， 会应用行列式的性质简化n 阶行列式的计算，会用Cramer 法则解线性方程组．重点：n 阶行列式的概念、性质与计算§1 二、三阶行列式 （复习与总结）一、2阶行列例1 求下列二元一次方程组的解：(1) ⎩⎨⎧=+=+②①9442352121x x x x ；（2）⎩⎨⎧=+=+②① 22221211212111b x a x a b x a x a ……(1)（其中)021122211≠-=a a a a D ．解 (1) )1(4-⨯+⨯②①得,2346211=⇒=x x1)2(⨯+-⨯②①得1224222=⇒=x x ．(2) )(1222a a -⨯+⨯②①得121222111)(x b a a b D Dx ⇒-===D 1/D ， 1121)(a a ⨯+-⨯②①得=⇒-==221121122)(x a b b a D Dx D 2/D ．为使⑴的解表示简单，Leibniz 于18世纪初引入2阶行列式的定义如下：定义 设有4个元素（数）排成的两行（row ）、两列（column ）的22211211a a a a ，称为一个2阶行列式，其值为a 11a 22－a 12a 21，即2112221122211211a a a a a a a a -=．如例1（2）中的D=22211211a a a a 称为方程组⑴的系数行列式，而2221211a b a b D =，2211112b a b a D =；（1）中的24942351,46494135,2421121======D D D ．例２ 计算2315－=D ．解 1331252315＝）（－＝－⨯-⨯=D ．例３ 设132λλ=D ，问λ为何值时，（1）D = 0，（2）D ≠0？解 因D =λ2－3λ＝λ（λ－3），故（1）当λ＝0或3时，D = 0；（2）当λ≠0，3时，D ≠0．例4 设1221--=k k D ，则D ≠0的充要条件是（ ）答：k ≠－1，3．(因D =(k －1)2－4＝（k ＋1）（k －3），故D ≠0的充要条件是k ≠－1，3) 例5 如果1222112110==a a a a D ，则下列（ ）是⎩⎨⎧=+-=+-0022221211212111b x a x a b x a x a 的解．(A)22111122221211b a b a x a b a b x ==，; (B)22111122221211b a b a x a b a b x =-=，;(C)22111122221211b a b a x a b a b x ----=----=，； (D)22111122221211b a b a x a b a b x ---=-----=，．答：（ ）(因原方程组即⎩⎨⎧-=-+-=-+22221211212111)()(b x a x a b x a x a 的系数行列式1022211211-=-=--=D a a a a D ，2221212221211a b a b a b a b D =----=，2211112211112b a b a b a b a D -=--=)二、3阶行列式例６ 求解下列三元一次方程组：（１） ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++③②①333323213123232221211313212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (2)（其中)0322311332112312213322113312312332211≠---++=a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ；（２） ⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++=-③②①232131232132131x x x x x x x x . 解（1）记3332232211a a a a A =，3331232112a a a a A -=，3231222113a a a a A =, 3332131221a a a a A -=，3331131122a a a a A =,3231121123a a a a A -=,2322131231a a a a A =,2321131132a a a a A -=,2221121133a a a a A =，则： ①×A 11＋②×A 21＋③×A 31得D X 1=D 1（=b 1A 11+b 2A 21+b 3A 31）, X 1=D 1/D ， ①×A 12＋②×A 22＋③×A 32得D X 2=D 2（=b 1A 12+b 2A 22+b 3A 32）, X 2=D 2 /D ， ①×A 13＋②×A 23＋③×A 33得D X 3=D 3（=b 1A 13+b 2A 23+b 3A 33）, x 3=D 3/D ；(2) D=1+0-6-4+0-9=-18，23120A 61320A 81331A 312111＝－＝，＝－＝，＝－＝--,，＝－－＝，＝－－－＝，＝－－＝53121A 31221A 71231A 322212--11101A 33201A 53211A 332313＝＝，＝－－＝，＝－＝-,①×A 11＋②×A 21＋③×A 31得 －18x 1＝－18 ⇒x 1＝1，①×A 12＋②×A 22＋③×A 32得 －18x 2＝0 ⇒x 2＝0， ①×A 13＋②×A 23＋③×A 33得 －18x 3＝0 ⇒x 3＝0．定义 设有9个元素（数）排成的3行、3列的333231232221131211a a a a a a a a a 称为一个三阶行列式， 其值为322311332112312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++．如例6中的D 即称为方程组的系数行列式．2、3阶行列式的值（代数和）可用沙路法（或对角线法则）来记忆： 211222112112221122211211a a a a a a a a a a a a -=+=,322311332112312213322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++==322311332112312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++α;或在图 333231232221131211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a 上操作． 例7 计算 61504321-=D ． 解58051642)1(03043)1(5260105164210343152601-=⋅⋅-⋅⋅--⋅⋅-⋅⋅+-⋅⋅+⋅⋅=-+-++-+=D例8 （1）0100=-=a bb a D 的充要条件是（ ）答：022=+b a ．（因为22b a D +=）（2）0114011>=a a D 的充要条件是（ ），其中R a ∈．答：1012>>-a a 或．（因为12-=a D ） （3）01110212=-=kkD 的充要条件是（ ）（A ）k ＝2； （B ）k ＝－2； （C ）k ＝0； （D ）k ＝3．答：（B ）或（D ）．（因为)3)(2(64222-+=--=---=k k k k k k D ）例９ 计算下列行列式的值（1）749651823=D ；（2）768452913'=D 解 （1）201721436032108105749651823-=---++==D ； （2）201147236010832105768452913'-=---++==D ． 三、3阶行列式的性质 (由定义易验证，对2阶也成立且验证更易)性质1 D T =D . 其中D T 为将D 的行与列互换后所得的行列式，即如果333231232221131211a a a a a a a a a D =，则332313322212312111a a a a a a a a a D T=； D T 有时也记为D ˊ，称为行列式D 的转置行列式．此性质说明在（二、三阶）行列式中行、列等位．因此凡对行（或列）成立的性质对列（或行）也成立．性质2 交换两行(或列)使行列式仅变号，即有333231232221131211333231131211232221a a a a a a a a a a a a a a a a a a -=等． 对换第i 行（列）与第j 行（列）记为（r i ，r j ）（（c i ，c j ））．推论 两行（或列）相同的行列式值为0，即有0232221131211131211=a a a a a a a a a 等． 性质3 行列式中某一行（或列）的公因子可以提到行列式外面来，即有 333231232221131211333231232221131211a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a =等． 推论1 用数k 乘以某行列式相当于用k 乘以该行列的某一行（或列）． 以k 数乘以第i 行（列）记为)(i ic k r k ⋅⋅．推论2 某一行（或列）全为0的行列式的值为0．推论3 有两行（或列）成比例的行列式的值为0．如0333231131211131211333231131211131211==a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a 性质4 若行列式的某一行（或列）的每个元素都是两个元素之和，则此行列式可按此行（或列）分拆成两个行列式之和．如=+++=333231232322222121131211a a a cbc b c b a a a D D 1＋D 2，其中3332312322211312111a a a b b b a a a D =，3332312322211312112a a a c c c a a a D =． 性质5 将某一行（或列）各元素的同一数倍加于另一行（或列）相应的元素上去，不改变行列式的值，即有333231232221131211333231132312221121131211a a a a a a a a a a a a la a la a la a a a a =+++等． 将第j 行（列）的l 倍加到第i 行（列）记为 r i ＋⋅l r j （ c i ＋⋅l c j ）．注：性质2、3和5中的变换：对换两行（或列）、以非零常数乘某行（或列）和把某行（或列）的常数倍加到另一行（或列）上去，分别称为第一、第二和第三类初等行（或列）变换（详见第二讲§5）．性质6（按行（或列）展开定理） （1）∑====31333231232221131211)3,2,1(j ij iji A aa a a a a a a a a D ，即333332323131232322222121131312121111A a A a A a A a A a A a A a A a A a D ++=++=++=；（2）∑==31i ij ijA aD （j=1,2,3）, 即313121211111A a A a A a D ++=333323231313323222221212A a A a A a A a A a A a ++=++=（其中A ij 如例6所示：ij ji ij M A +-=)1(，M ij 是将Ｄ中a ij 所在的第i 行和第j 列全划掉余下的二阶行列式，称为a ij 在D 中的余子式，而A ij 称为a ij 在D 中的代数余子式．）例10 计算下列行列式的值（1）1514013---=kk D ；（2）121210-=kk k D ． 解（1）)3)(1(1430114004315140132321++=-+-=-+++---=k k kk k k r r r r kk D ；；（2）)2(2220202101212101312k k k k k kr r r r kk kD --=--=-----=；．性质7（代数余子式的性质） （1）D A a ik j kj ij δ=∑=31（其中⎩⎨⎧≠=ki 0ki 1，＝，δik为Kronecker 记号．当i ＝k 时即为性质6（1）；当i ≠k ，如i ＝1，k ＝2时，0A 231322122111=+A a A a a ＋等）．（2）D A a jl i il ij δ=∑=31（当j ＝l 时即为性质6（2）；当j ≠l , 如j ＝1，l ＝2时，0A 323122211211=+A a A a a ＋等）．例11 求132311201--=D 的值，并验证性质7． 解 D 的23120A 61320A 81331A 312111＝－＝，＝－＝，＝－＝--，＝－－＝，＝－－－＝，＝－－＝53121A 31221A 71231A 322212--,11101A 33201A 53211A 332313＝＝，＝－－＝，＝－＝-(1) 按第1列展开得=⋅-⋅+⋅=312111211A A A D 1×(-8)+1×(-6)-2×2=-18；(2) 023)6(1)8(0310312111=⋅+-⋅+-⋅=⋅+⋅+⋅A A A ；其余类似．四、Cramer 法则1．一般情形 由例1和例6即得定理（Cramer 法则） （1）二元一次线性方程组 ⎩⎨⎧=+=+②①22221211212111b x a x a b x a x a …（1）当其系数行列式D=22211211a a a a ≠0时有唯一解D D x j j =（j ＝1，2）；（2）三元一次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++③②①333323213123232221211313212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a …（2）当其系数行列式D=333231232221131211a a a a a a a a a ≠0时有唯一解 D D x j j =（j ＝1，2，3）．例12(例6(2)的解法2 ) 18132311201＝－--=D ，D 1＝D ＝－18， 01223112112=---=D ，⎪⎩⎪⎨⎧⇒--0x 0x 1x 0232111101D 3322113＝＝＝＝＝＝＝＝D D D D D D ．注：两种解法本质是一样的，只不过解法2是直接用Cramer 法则的结果（公式），而原解法是把消元（或Cramer 法则的证明）过程再写一遍．2．齐次情形推论 奇次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000333232131323222121313212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a （2ˊ）当其系数行列式D ≠0时只有零解（ｘ1＝ｘ2＝ｘ3＝0）．以后将证明此推论的逆也成立，于是有命题（1）奇次线性方程组（2ˊ）只有零解⇔D ≠0；（2）奇次线性方程组（2ˊ）有非零解⇔D ＝0．例13 λ取何值时，奇次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧==-+=++00023321321x x x x x x x λλλ，有非零解？解 因为)1(011212-=-=λλλλλD ，故当λ＝0或±1时，该方程组有非零解．例14 如果方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=+=-+05403z y kx o z y z ky x 有非零解，则（）．（A ） k ＝0；（B ）k ＝1：（C ）k ＝－1；（D ）k ＝－3．答：（C ，D ）．(由例10（1）)3)(1(1514013++=---=k k kk D 即得) ． 例15 当（）时，奇次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx 仅有零解；（A ） k ＝0；（B ）k ＝－1；（C ）k ＝2；（D ）k ＝－2．答：（A ，B ，D ）．(由例10（2）)2(2121210k kk kD --=-=即得) ．§2 全排列及其逆序列问题：行列式可否归纳定义 212112221111222112112)1()1(a a a a a a a a D ⋅-⋅+⋅-⋅==++，当n ≥2时，n n nn ijn A a A a A a a D 1112121111+++==⨯ ，其中j jj M A 111)1(+-=，M 1j 为a 1j 在D n 中的余子式（n －1阶行列式）？一、全排列例1 用1、2、3三个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？请写出．解 共6个，分别为123，132，213，231，312，321．把n 个不同的元素（不妨设为1，2，…，n ）排成一列，叫做这n 个元素的一个（n 级）全排列，n 个不同元素的全排列的种数为P n ＝n!，如P 3＝3!＝6，P 4＝4!＝24，P 5＝5!=120等．记S n 为1，2，…，n 的所有n 级排列所组成的集合，即S n ＝{（j 1j 2…j n ）| (j 1j 2…j n )为n 级排列}，则|S n |= n!．二、逆序与逆序数1. 标准排列：对n 个不同的元素，先规定一个标准次序（如对1，2，…，n ，规定从小到大的次序为标准次序），从而得到一个标准排列．对1，2，…，n ，今后规定其标准排列为自然排列1 2 … (n －1) n ．2.逆序与逆序数 在一个n 级排列中，当两个元素a 和b 的先后次序与标准顺序不同时，则说a 和b 形成一个逆序；一个排列中所有逆序的总数叫该排列的逆序数．排列p 1p 2…p n 的逆序数记为 t （p 1p 2…p n ）．逆序数为奇（或偶）数的排列称为奇（或偶）排列． 例2 （1）2个2级排列12和21，一个为奇排列（21），一个为偶排列（12）．（2）3级排列的逆序数表（6个3级排列中奇、偶排列各3个）三、逆序数的求法不妨设n 个元素为1，2，…，n ，其标准排列为自然排列1 2 … n ，设p 1p 2…p n 为1，2，…，n 的一个排列，记t i =t(p i )为排列p 1p 2…p n 中p i 左（前）面的比p i 大的元素的个数，s i ＝s （p i ）为排列p 1p 2…p n 中p i 右（后）面的比p i 小的元素的个数，简记t(p 1p 2…p n )为t ，则(1) t(1)t(2) t(n)t(n) t(2)t(1)t t t t n 21+++=+++=+++= ； (2)s(1)s(2) s(n)s(n) s(2)s(1)s s s n 21+++=+++=+++= t ． 注：显然0(1)t(n)t 1====s s n ， t(1 2 … n)=0．例３ 求（1）t=t(32514)；（2）t(7632451)；（3）t(2 3 … n 1)；（4）t(n (n-1) … 2 1) ． 解 （1）因t 1=t(3)=0，t 2=t(2)=1，t 3=t(5)=0，t 4=t(1)=3，t 5=t(4)=1⇒ t =5（奇）， 或因s 1=s(3)=2，s 2=s(2)=1，s 3=s(5)=2，s 4=s(1)=0，s 5=s(4)=0⇒ t =5． （2）t(7632451)=0+1+2+3+2+2+6=16，或=6+5+2+1+1+1+0=16（偶）． （3）t(2 3 … n 1)=0+0+…+0+(n-1)= n-1，或=1+1+…+1+0= n-1．（4）t(n … 2 1)=0+1+…+(n-2)+(n-1)=2)1(-n n ，或=(n-1)+(n-2)+…+1+0=2)1(-n n ． 如62341) 2 3 t(4=⋅=，102451) 2 3 4 t(5=⋅=，152561) 2 3 4 5 t(6=⋅=，…再看6个3级排列的逆序数：t(123)=0，t(132)=0+0+1=1，或=0+1+0=1；t(213)=0+1+0=1，或=1+0+0=1；t(231)=0+0+2=2，或=1+1+0=2；t(312)=0+1+1=2，或=2+0+0=2；t(321)=0+1+2=3，或=2+1+0=3．四、对换及其性质１．对换：在一个排列中，互换某两个元素（如i ，j ）的位置，而其余的元素不动，叫做对该排列的一次对换，记为（i ，j ）；互换相邻两个元素的对换叫做相邻对换．例４ （321）0)123(,3)321(),123(3,1(==−−→−t t ）；（7632451）−−→−)1,6(（7132456），t(7632451)=16（偶）， t(7132456)=0+1+1+2+1+1+1=7（奇）．２．性质性质1 一次对换改变排列的奇偶性．证明（1）相邻对换改变排列的奇偶性：设（…a b …）−−→−),(b a （…b a …）因对换（a ，b ）只改变了a 和b 之间的逆序：当a<b 时，经对换后逆序数增加1；当a>b 时，经对换后逆序数减少1．而a 或b 与其他元素，以及其他元素之间的逆序数经对换后都没有改变，故相邻对换改变排列的奇偶性．（2）任一对换可由奇数次相邻对换而得到，从而改变奇偶性：（…ac 1c 2…c s b …）−−→−),(1c a(…c 1ac 2…c s b …) −−→−−−→−),(),(2sc a c a （…c 1c 2…c s ab …）−−→−),(b a （…c 1c 2…c s ba …）−−→−),(b c s (…c 1c 2…bc s a …)−−→−−→−),(2b c ( …c 1bc 2…c s a …)−−→−),(1b c (bc 1c 2…c s a …)，共2s+1次．例４（1）对换（7632451）−−→−)1,6(（7132456）可由9次相邻对换得到，相应的逆序变化为：（16=）t(7632451)= t(7362451)+1= t(7326451)+2= t(7324651)+3= t(7324561)+４ = t(7324516)+5=( t(7324156)+6= t(7321456)+7= t(7312456)+8= ) t(7132456)+9 (=7+9)． （2）(7=) t(7132456)= t(1324567)+6= t(1234567)+7 (=0+7)．（3）(16=) t(7632451)= t(6324517)+6= t(3245167)+11= t(3241567)+12= t(3214567)+13=t(2134567)+15=t(1234567)+16(=0+16)．性质2 （1）任一排列（p 1p 2…p n ）总可经有限次（相邻）对换成标准排列，且所作对换的次数k 与该排列有相同的奇偶性，即k 与t (p 1p 2…p n )奇偶性相同；（2）任一排列（p 1p 2…p n ）都可由标准排列1 2 … n 经有限次（相邻）对换而得到，且所作对换的次数k 与该排列有相同的奇偶性，即k 与t (p 1p 2…p n )奇偶性相同．（3）S n 中的任意两个n 级排列均可经有限次（相邻）对换而互相得到；且若这两个排列的奇偶性相（或不）同，则所作对换的次数为偶（或奇）数．证（1）对排列的阶n 归纳．当n=1时显然成立．假设结论对n －1已经成立，则对n ： ①若排列为p 1 … p n-1 n ，由归纳假设n －1级排列p 1 … p n-1可经有限次对换成为标准排列1 2 … （n －1），且所作对换的次数与t(p 1…p n-1)有相同的奇偶性，从而p 1…p n-1 n 经上述对换即成为标准排列1 2 …(n －1) n ，且所作对换的次数的次数与t(p 1…p n-1 n)＝t(p 1…p n-1)有相同的奇偶性．②若排列为（p 1…p i-1 n p i+1…p n ），则可经n －i 次相邻对换成为（p 1…p i-1p i+1…p n n ），且t （p 1…p i-1 n p i+1…p n ）=t （p 1…p i-1p i+1…p n n ）＋（n －i ），而由①得p 1…p i-1p i+1…p n n 可经有限次对换成为1 2 …(n －1) n ，且所作对换的次数m 与t （p 1…p i-1p i+1…p n n ）有相同的奇偶性，于是p 1…p i-1 n p i+1…p n 可经m ＋n －i 次对换成为1 2 … n ，且所作对换的次数k =m+n-i 的奇偶性与t （p 1…p i-1 n p i+1…p n ）即t （p 1…p i-1p i+1…p n n ）+n －i 的奇偶性相同．图示如下：（p 1…p i-1 n p i+1…p n ）−−→−-次i n （p 1…p i-1p i+1…p n n ）−−→−次m （1 2 …(n －1) n ）； ③所作对换次数与原排列有相同的奇偶性还可如下证明：设排列p 1…p n 经k 次对换成为标准排列，则t(p 1…p n )经k 次改变奇偶性后成为0 (=t(1 2 … n))，从而k 与t(p 1…p n )奇偶性相同（对k 为奇、偶数分别说明）．（2）将（1）中的变（对）换全倒过来便得．（3）由（1）和（2）：−→−次k n p p p )(21 （1 2 … n ）)21h n q q q （次−→−即得．性质3 n ！个n 级排列中奇偶排列各为 ）2(2!≥n n ．证 因映射ϕ：{n 级奇排列}−−→−），（21{n 级偶排列}为一一对应，即得．如 {(21)}−−→−），（21{(12)} ； {(132), (213), (321) }−−→−），（21{(231), (123), (312)} .§3 n 阶行列式的概念一、 二、三阶行列式的结构规律１. 二、三阶行列式定义式的结构（1）2112221122211211a a a a a a a a -=中的两项可统一表示为212121)()1(j j j j t a a -，其中（j 1j 2）取遍所有（2个）2级排列（12），（21）．（2）33⨯ija ＝322311332112312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++α中的6项可统一表示为321321321)()1(j j j j j j t a a a -，（j 1j 2j 3）取遍所有（6个）3级排列（123），（231），（312），（321），（213），（132）．２. 二、三阶行列式的共同规律设n ＝2或3，则：(1) n 阶行列式为由n 2个数得到一个数的函数；(2) n 阶行列式为n ！项的代数和，每项为n 个元素的乘积，而这n 个元素是取自n 阶行列式中的不同的行、不同的列；(3) n 阶行列式中每项正负号的确定：当项中各乘积因子的第一个（行）下标为标准排列时，其第二个（列）下标为奇（偶）排列的项带负（正）号． 3. 二、三阶行列式的简单统一表达式（1）∑∈-=221221)(211)(22211211)1(s j j j j j j t a a a a a a ，其中)}1,2(),2,1{(2=S ； （2）∑∈-=332132321)(3211)(333231232221131211)1(s j j j j j j j j j t a a a a a a a a a a a a ， S 3＝{（j 1j 2j 3）| (j 1j 2j 3)为3级排列}={（123），（231），（312），（321），（213），（132）}．二、n 阶行列式的定义1．定义 设有n 2个元素排成的n 行、n 列的nnn n n n a a a a a a a a a212222111211称为一个n 阶行列式，其值为∑∈-nn n n s j j j nj j j j j j t a a a )(211)(21221)1( ．上述n 阶行列式可简记为nn ij a ⨯或det n (ij a )．注：⑴当n ＝2，3时，与前面定义一致；当n ＝1时，1111a a =（注意别与绝对值混淆）． ⑵当n ≥4时，“沙路法”不再成立（或不再那样简单），见例1(4)．例１ （1）n21n21λλλλ０λ０λ=（（主）对角线（形）行列式），nnn a a aa＝⨯0，1111＝， |0|n ×n = 0； （2）nn nnn n a a a a a a a a a221121222111＝（下三角形行列式）；（3）nn nn n n a a a a a a a a a2211222112110=上三角形行列式）(；（4）)1(0112211111111212)1(112121n n nn n n n n n nnnn n n n na a a a a a a a a a a a a a a------=-=， n n n λλλλλλ212)1(21)1(0--=ｎ（次对角形行列式）；如,abcd 0dc b a 0=,abcde 0e dc b a 0=;abcdef 0fe dc b a 0-=（5）abcd abcd abcd d c b a t -=-=-=3)3142()1()1(000000000000；（6）111111)1(11001001011010)4123(-=-=⋅⋅⋅-=３）（t （因第3行和第1列均只有一个非零元素，因此非零项必取含21a 32a 的，从而另两个乘积因子11j a 和44j a 只能分别取14a 和43a 才能使该项不为0，于是得结果）； （7）∑∑∈∈-⋅=-=34324324324432432432)(432)(11S )j j (1j 43211)1(44434241443332312423222111)1()1(000S j j j j j j j j j t j j j j j j t a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a })243,324,432,423,342,234{}3234{(344434234333234232211）（）（）（）（）（）（＝级排列的=⋅=S a a a a a a a a a a ；类似有nnn nnnn n n a a a a a a a a a a a a22221121222211100⋅=，特别地，00002122221=nnn n n a a a a a a，一般地，nnnr n r r r rrr r nnr n nrn n r r r r r r rr r r a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a111111111111111111110000++++++++++⋅=，简记为C A CBO A ⋅=;（8）当n ≥2时，n n n n n nn n a a a a a a a a a a 12212)2)(1(1221)1(00000000000000000-------=．（9）当n ≥2时，02!2!)1(1111111111)()(2121=-=-==∑⨯n n n n j j j j j j t nn．（10）nn ijj n nj j j j j j j j t nn ji j i a ba ba ba b ba nn n ⨯---⨯-=-=≠∑)())(()1()0(2211212211)( ．2．等价定义定理1 n i i i i i i i i i t nn ijn n n a a a a D 21)()(212121)1(∑-==⨯（记为D 1）．证 ⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤)n 12)12()(2121i i j j 212121i j j i 21n nj j j n n i i i j j j a a a n i i i a a a nn 列标（）行标（列标行标）＝，＝经若干次对换（因n n n nj j j j j j j j j t nn ija a a a 21212121)()()1(D ∑-=⨯＝由对换的性质2知对D 中任一项n n nj j j j j j t a a a 212121)()1(-总有且仅有D 1中的某一项n i i i j j j t n n a a a 21)(2121)1(-与之对应并相等；反之，对D 1中任一项n i i i i i i t n n a a a 21)(2121)1(-，也总有且仅有D 中的某一项n n nj j j j j j t a a a 212121)()1(-与之对应并相等，如Ｄ4中))1(()1())1(()1(42342113334134221)2413(42342113342342113)3142(a a a a a a a a a a a a a a a a t t -=-=-=-；于是D 与D 1中的项可以一一对应并相等，从而D ＝D 1． 定理2 n n j i j i j i J t I t nn ija a a a 2211)()()1(∑+⨯-=，其中t(I)=t(i 1i 2…i n )，t(J)=t(j 1j 2…j n )，∑为对所有n 级排列(i 1i 2…i n )求和（此时(j 1j 2…j n )为某一固定的n 级排列），或为对所有n 级排列(j 1j 2…j n )求和（此时(i 1i 2…i n )为某一固定的n 级排列）．证 用对换的性质2（3），与定理1类似证明即可．再看例1（3），a b c d a b c d a c b d a b c d b d a c dc b a t t t -=-=-=-=-=++41)3412()1324()2413()1()1(,)1(00000000000又．注：此例中i 1＝2，i 4＝4，i 3＝1，i 4＝3；j 1＝3，j 2＝1，j 3＝4，j 4＝2；j i1＝j 2＝1， j i2＝j 4＝2，j i3＝j 1＝3，j i4＝j 3＝4；i j1＝i 3＝1，i j2＝i 1＝2，i j3＝i 4＝3，i j4＝i 2＝4．§4 行列式的性质一、性质设nnn n n n a a a a a a a a a D212222111211=，记D T（或D ˊ）nnnnn n a a a a a a a a a212221212111=，称为D 的转置（行列式），由§3定理1立即得：性质1 D T＝D , 即任一行列式与其转置的值相等．此性质说明：行列的行与列具有同等的地位，凡对行（或列）成立的性质对列（或行）也成立．性质2 互换行列式的两行（或两列），行列式仅变号．证 设k i a a a a D in i kn k111=，欲证D 1＝－D ，只需证D 1和D 的定义式中的一般项互为相反数即可．事实上，D 1中的一般项为n k i 1n k i 1nj ij k j j 1)j j j j (t a a a a )1( -n i k1n i k 1nj k j j i j 1)j j j j (t a a a a )1( --=恰为D 中一般项的相反数；故得证．推论 两行（或列）完全相同得行列式值为零．性质3 行列式某一行（或列）的公因子可以提到行列式外面来，kD a a ka ka a a nnn in i n =11111． 证明与性质2的证明类似，考虑一般项即可．推论1 行列式的某一行（或列）中所有元素都乘同一数k ，等于用k 乘此行列式． 推论2 某行（或列）全为零的行列式的值为零． 推论3 两行（或列）成比例的行列式的值为零．性质4 若行列式中某一行（或列）的元素都是两项之和，则该行列式可按此行（或列）分拆成两个行列式之和，即nnn in i n nnn in i n nnn in in i i n a a c c a a a a b b a a a a c b c b a a1111111111111111+=++． 证明与性质2的证明类似，考虑一般项即可．性质5 将行列式某一（如第j ）行（或列）每个元素的常数l 倍加到另一（如第i ）行（或列）相应的元素上去，其值不去，即nn ijnnn jnin j i n a D a a laa laa a a ⨯==++(111111)．证 由性质4，左边的行列式可分拆成两个行列式之和，一个为D ，而另一个为0111111=nnn jn j jnj n a a a a la la a a（因其第i 行与第j 行成比例）；从而得证．二、行列式的计算—化为三角形行列式定理1 任何一个行列式均可利用性质2和5化为上（或下）三角形行列式，从而计算其值．证 （1）若a ij ＝0（i ，j ＝1，2，…，n ），则00==⨯nn D ；（2）若0≠∃ij a ，则可用性质2（先第1行与第i 行互换，再第1列与第j 列互换）将a ij 调到左上角；（3）若011≠a ，则可用性质5将第1列（或行）的其余n －1个元素化为零（“打洞”）； （4）对右下角的n －1阶行列式重复（1）～（3）的步骤，如此下去（归纳），即可将D 化为上（或下）三角形行列式．以下以（r i ，r j ）表示互换i ，j 行；r i ＋hr j 表示将第j 行的h 倍加到i 行． 例1（1）413211021102011)r 2r (),r r (0112012121102011)r ,r (0112012120112110141321-------+-----------;4)2()2()1(120420021102011r r 220420021102011)r 3r (),r r (342423=-⋅-⋅-⋅-=-------------++（2）)r ,r (7216112064802131)r 5r (),r r (3315112043512131)c ,c (335111024315211332141221------+--------------)r 4r (10803200112021315)r ,r (151000108011202131)r 8r (),r 4r (721606480112213134432423-----⋅-----+-----402221523200112021315=⋅⋅⋅⋅=---⋅． （3） 4822216200002000020111164,3,2i ),r r (31111311113111116)r r r (r 31111311113111131i 4321=⋅⋅⋅⋅=⋅=-⋅+++ ;（4）xaaaaa x a a a aaxaaa a a x a a n x n i r r xaaaaa x a a a aaxaaa a a x a a a a a x i11111])1([,,2),(1⋅-+=+11)(])1([00000000000011111])1([,,2),(--⋅-+=----⋅-+=-n i a x a n x ax a x a x a x a n x n i ar r;（5）cb a ba ac b a b a a cb a ba a d cb a i r r dc b a c b a ba adc b a c b a b a ad c b a cb a ba a d cb a i i +++++++++=-+++++++++++++++++++3630232001,2,3),(36103632342321434103020002,3),(a a aaar r ba ab a a a ai r r i i =*-++*=-+．例2 证明奇数（n ）阶反对称行列式（a ji ＝－a ij ）的值为零，即000021212112=---nnn n a a a a a a ．证 0)1(=⇒-=⋅-==D D D D D nT．例3 解方程 (a 1≠0)113211232113221132111321=-+-+-+-+-------xa a a a a a a xa a a a a a a xa a a a a a a xa a a a a a a a n n n nn n n n n n n n解 将左边行列式的第1行的相反数分别加到第2～n 行，得左边x)-x)(-(x)-x)(-(00000000000001-n 2-n 21112211321a a a a a xa x a x a x a a a a a a n n n n=----=---故原方程的解为)1,,2,1(-==n i a x i i ，共n －1个解．三、按行、列展开定理1．代数余子式 设nn ji a D ⨯=，把D 中元素a ij 所在的第i 行和第j 行划去后，余下的n －1阶行列式叫做a ij 在D 中的余子式，记作M ij ，记A ij ＝（－1）i ＋j M ij ，叫做a ij 在D 中的代数余子式．例４（1）213132321----=D 的52113)1(1111=--⋅-=+A12312)1(2112=---=+A ,71332)1(3113-=---=+A ；（2）52111321014321---=D的19521013201)1(3113=---=+A , 521013421)1(3223---=+A =- 63，18521201421)1(3333=--=+A ．10013201421)1(3443-=--=+A ；2．按行、列展开定理引理 若n 阶行列式nn ij a D ⨯=的元素a ij 所在第i 行（或第j 列）的其他所有元素全为零，则ij ij A a D =．证 （1）当i ＝j ＝1，即D 的第1行（或第1列）除a 11外所有元素全为零，则由§3例1（7）知1111A a D ⋅=；（2）一般地，设nnnjn ij n j a a a a a a a D1111100=，将D 的第i 行依次与第i －1，i －2，…，2，1行对换，再将第j 列依次与第j －1，j －2，…，2，1列对换，使a ij 调到左上角，所得的新行列式D D D j i j i ⋅-=⋅-=+-+)1()1(21，而a ij 在D 1中的余子式即为a ij 在D 中的余子式M ij ，由（1）ij ij ji ij ij A a D D M a D =-=⇒=+11)1(．定理2 n 阶行列式nn ija D ⨯=的值等于其任一行（或列）的每一个元素分别与其相应的代数余子式的乘积之和，即),,2,1(111n i A a A a A aD in in i i nj ij ij=++==∑=或∑==++==ni nj nj j j jijn j A a A a AiaD 111),,2,1( ．证 （1）nnn n i n nnn n in i i n a a a a a a a a a a a a a a a a D2111121121211121100000000=+++++++++= ),,2,1(00002211211121121211211n i A a A a A a a a a a a a a a a a a a a a in in i i i i nnn n in n nn n n i n=++++++引理（2）由行列式的性质1立即得对列的等式也成立．例4 （3）对（1）中的18)7(312513)2(1131211-=-⋅+⋅-⋅=⋅+⋅-+⋅=A A A D ；对（2），24)10(018)1()63(1193-=-⋅+⋅-+-⋅+⋅=D ．定理3 设nn ija D ⨯=，则（1）D A a A a A a ik kn in k i nj kj ij ⋅=++=∑=δ 111；（2）∑=⋅=++=ni jrnr nj r j ir ij D A a A a A a 111δ证 （1）由定理1知当i ＝k 时成立．当i ≠k 时，将nn k i a a a a a a a a a a a a nn n n in i i in i i n ⨯=212121112110按第k 行展开即得∑==nj kj ijA a10，即∑=≠⋅=nj kj ij k i D A a 1)(0；故得证．由行列式的性质1立即得对列的结论（2）也成立．定理2、3表明，行列式D 的任一行（或列）的每一个元素与其相应的代数余子式的乘积之和等于D 的值，而D 的任一行（或列）的每一个元素与另外一行（或列）的每一个元素的代数余子式的乘积之和等于零．例４（4）对（1）中的D 有 0)7()1(1352)1(32131211=-⋅-+⋅+⋅-=⋅-+⋅+⋅-A A A ， 0)7(211532)1(3131211=-⋅+⋅-⋅=⋅+⋅-+⋅A A A ；对（2）中的D 有0)10(1183)63(1191131143332313=-⋅+⋅+-⋅+⋅=⋅+⋅+⋅+⋅A A A A ， 0)10(2181)63(01922)1(024*******=-⋅+⋅--⋅+⋅=⋅+⋅-+⋅+⋅A A A A ， 0)10(5180)63(2194)5(024********=-⋅-⋅+-⋅+⋅=⋅-+⋅+⋅+⋅A A A A ．3. 行列式的归纳定义 11111a a D ==,21122211212112221111222112112)1()1(a a a a a a a a a a a a D -=⋅-⋅+-⋅==++，当n ≥2时，n n nn ijn A a A a A a a D 1112121111+++==⨯ ，其中j jj M A 111)1(+-=，M 1j 为a 1j 在D n 中的余子式（n －1阶行列式）．可以证明如上定义的n 阶行列式与前面的定义n 阶行列式是完全一样的．4．行列式的简化计算 首先利用性质将某行（或列）化为仅有一个元素可能非零，再按该行（或列）展开，降为n －1阶行列式，如此下去，直到化为二阶或一阶，即可计算其值． 例5（1）527211417)1()1(527011321014107)2(),2(52101132114321233431---⋅-=----++---+r r r r 241861926)1(1109211206)2(),(222321-=--=-⋅-⋅=-+-+r r r r ．（2）)4)(1(22)1(20200112020********12002000110011212--=-=-=--k k kk k k k k k k k r r k k k ．（3）55111111503550100131111115)(),2(33511102431521133431----=----+-------c c c c 40552605502611512=---=----r r ．例6（1）dd c dcb a baa dcdc dcb a babaD n 00012⋅=行展开按第。
方程解问题的两种解法
方程解问题的两种解法一般地，讨论方程的解可以有两种解法，一是利用代数方法，最终把比较复杂的方程化为比较简单的一元一次方程或一元二次方程或其他基本方程（如简单的三角方程），二是转化为函数或方程的曲线，利用图形进行分析，即几何解法.要根据具体问题灵活选用这两种解法，而且两种解法要相互补充，灵活运用.下面举例说明这两种解法的具体应用.例题1：设方程340x x +-=的根为1x ，方程3log 40x x +-=的根为2x ，求12x x +.代数解法：因为13140+-=，所以1x =方程340x x +-=的一个根，()34x f x x =+-在R 上为增函数，所以()34x f x x =+-在R 上最多只有一个零点，所以1 1.x =因为3l o g 3340+-=，所以3x =方程3l o g 40x x +-=的一个根，3()log 4f x x x =+-在(0,)+?上为增函数，所以3()log 4f x x x =+-在(0,)+?上最多只有一个零点，所以2 3.x = 所以12 4.x x +=显然上面提供的代数解法仅仅局限于能够用观察法求出方程根的情况，对于含有指数式、对数式及整式的方程，一般无法用初等方法求出方程的根，因此可以考虑从整体上求出12x x +.此题的特殊性决定了题目的确具有更有一般性的代数方法，但是要用到指数与对数的互化，很难想到，下面提供给同学们仅供参考：11340xx +-= ①322log 40x x +-= ②①式可以变形为1134xx =-+，即为311log (4)x x -+=，若设14x t -+=， 则14x t =-，于是3log 4t t =-，②式变为322log 4x x =-，t 与2x 都是方程3log 4x x =-的根，而这个方程即3log 40x x -+=，又函数3()log 4f x x x =+-在(0,)+?上为增函数，最多只有一个实数根，因此必有214x x =-+，所以12 4.x x +=几何解法：将方程340x x +-=变形为34x x =-+，将方程3l o g 40x x +-=变形为3log 4x x =-+，在同一坐标系内分别作出函数3x y =，3log y x =，4y x =-+的图像，因为3x y =与3log y x =互为反函数，图像关于直线y x =对称，而4y x =-+与y x =垂直，设垂足为xC ，则直线4y x =-+与3x y =，3log y x =的图像的交点A ，B 关于点C 对称，易求得C 点坐标为(2,2)，又A 点坐标为11(,)x y ，B 点坐标为22(,)x y ，由中点坐标公式得12 4.x x +=这里的几何解法也具有一般性，而且比代数解法容易掌握.例题2：已知实数0a ≥,函数2()1f x ax x =+-在区间(1,1)-上有零点，求实数a 的取值范围.代数解法:本题是函数存在零点问题，可以先转化为方程有解问题，而方程有解问题又可以转化为函数值域问题，因此我们还可以有下面的代数解法:解:(1)当0x =时,,1)0(-=f 故0x =不是f (x)的零点. (2)当10,01<<<<-x x 或时,2()1f x ax x =+-0=可以转化为222111111()()24x a x x x x-==-=--,当 01<<-x 时,11x<-, ∴a >21(1)2--124-=, 当 10<<x 时,11x>, ∴a >21(1)2-104-=,综上2()1f x ax x =+-的值域为(0,∞+) ∴a 的取值范围是(0,∞+).上述解法用了分离参数的方法, 分离参数后所得a 是关于x 的函数.一般地,当分离参数后所得的函数是一个比较简单的函数时,用分离参数法比较简单.几何解法:本题若从端点并结合二次函数图像仔细分析,可以有下面简捷明快几何解法:解：（1）当a =0时，f (x)=x-1,函数f (x)的零点为x=1，且1(1,)?, 不符合题意.(2) 当a >0时，由0)1(,01)0(>=<-=a f f 知f (x)在区间(0,1)上至少有一个零点,因此f (x)在区间(-1,1)上有零点.综上所述,满足条件的实数a 的取值范围是(0,∞+). 例题3：已知函数||()2x f x x =+，方程2()f x kx =有四个不同的实数解，求实数k 的取值范围.代数解法：原方程即2||2x kx x =+. 0x =恒为方程的一个解，因此问题转化为方程1||2k x x =+有三个不同的实数解.⑴当0x >时，方程化为：12kx x =+，即 2210kx kx +-=，①0k =时 ，方程无解；②当0k ≠时，2444(1).k k k k ∆=+=+， ⅰ）当10k -<<时，0∆<，方程无实数解.ⅱ）0k >时，显然0∆>，122x x +=-，1210x x k=-<，结合0x >知原方程有一个正根.ⅲ）1k ≤-时，2440k k ∆=+≥，而此时122x x +=-，1210x x k=->，结合0x >知方程无解. ⑵当0x <时，方程化为：12kx x =-+，即 2210kx kx ++=，①0k =时 ，方程无实数解； ②当0k ≠时，2444(1).k k k k ∆=-=- ⅰ）当01k <<时，0∆<，方程无实数解.ⅱ）0k <时，显然0∆>，122x x +=-，1210x x k=<，结合0x <知原方程有一个负根.ⅲ）1k =时，方程显然有两个相等的负根.ⅳ）1k >时，2440k k ∆=->，而此时122x x +=-，1210x x k=>，结合0x <知方程有两个不等的负根.综上可得，当1k >时，方程2()f x kx =有四个不同的实数解. 几何解法：在原方程即2||2x kx x =+. 0x =恒为方程的一个解，因此问题转化为方程1||2k x x =+（*）有三个不同的实数解.显然0k ≠，在同一个坐标系中作出函数1()2g x x =+和函数()||h x k x =（0k ≠）的图像：由图像可知，当0k <时，两个函数图像仅有一个交点；当0k >时，若()||h x k x =的图像在第二象限的部分与双曲线相交，则在第二象限内有两个交点，而在第一象限内显然总有一个交点，因此我们只要利用判别式求出相切时k 的值0k ，那么本题的答案就是0k k >.当0k >，0x <方程即2210kx kx ++=，由2444(1)0k k k k ∆=-=-=得： 1.k =因此k 的取值范围1k >.通过上面的几个例题两种解法的对比，可以看出，几何解法为代数解法提供了具体的形象的支撑，甚至可以提供讨论的层次，缩短讨论的过程，而代数解法可以解决几何法无法解决的关键的具体的数据.正如华罗庚所言，“数形结合百般好，割裂分家万是非，数缺形时少直觉，形缺数时难入微”.请同学们选择适当的方法完成下面的练习: 1、求方程022=-x x 实数解的个数和有理数解. (答案:实数解的个数为3,有理数解为2,4)２、若关于x 的方程043)4(9=+⋅++x x a 有实数解,求a 的取值范围. (答案: ]8,(--∞).３、方程02|1|=--a a x )1,0(≠>a a 有两个不同的实数解，求a 的取值范围. (答案: 102a <<). ４、已知关于x 的方程a x x =+cos sin 在)2,0(π∈x 上有两个不同的实数解,求a的取值范围.(答案: )2,3()3,2( -).５、关于x 的方程01)1(2=+-+x m x 在]2,0[∈x 上有解，求实数m 的取值范围. (答案: ]1,(--∞).。
“代数式”中的典型问题及解决思路
“代数式”中的典型问题及解决思路作者：***来源：《初中生世界·七年级》2022年第11期一、“日历”问题例1 如图1，用一个“T”形框在2022年11月的日历上可以框出5个数。
例如，图中两个“T”形框中的5个数的和分别是31和92。
如果“T”形框在图1中框出的5个数的和是91，那么这5个数中最大的数是___________。
【解析】由图1可知，“T”形框分两种情况。
设“T”形框中最小的数为x，用含x的代数式分别表示其余的数，根据图中框出的5个数的和是91，列出方程，求解即可。
【点评】本题的主要思路是借助整式的加减，探究和表示实际问题中的数量关系。
在整式的学习之后，同学们对整式有了基本认识，但对于抽象字母的理解可能还停留在概念和加减运算上。
希望同学们在后续学习中注重加强理论与生活的联系，借助“月历求和”等情景以及学过的知识，慢慢体会从特殊到一般的探究过程。
二、“代数推理”问题例2 已知：[abc]是一个三位数，其中a+b+c能够被9整除，试说明，这个三位数能够被9整除。
【解析】此题考查了列代数式和整式的加减。
将“[abc]是一个三位数”“a+b+c被9整除”通过代数式表示出来是第一个难点；运用整体思想，将代数式变形成能被9整除的形式，是本题的第二个难点。
解：由题可知，这个三位数可表示为100a+10b+c。
∵a、b、c的和能被9整除，∴可设a+b+c=9k，其中k为正整数。
∴100a+10b+c=99a+9b+（a+b+c）=99a+9b+9k=9（11a+b+k）。
∵a、b、k均为正整数，∴11a+b+k为正整数。
∴100a+10b+c能被9整除。
∴这个三位数能够被9整除。
【点评】用字母a表示百位上的数字，字母b表示十位上的数字，字母c表示个位上的数字，合理运用“用字母表示数”，式子100a+10b+c便具有三位数的一般特点。
将多项式进行某种变形，通过整体变换进行求解是该种类型常见的解题思路，即从条件出发，整体考虑，逆向思考，将待求解的式子通过法则凑成已知条件的形式，寻找已知条件和待求解式子之间的关联，然后进行整体变换。
第3章《代数式》考点归纳
第3章《代数式》考点归纳知识梳理重难点分类解析 考点1 列代数式【考点解读】列代数式解决问题的关键是读懂题意，列出代数式. 例1 端午节期间，“惠民超市”的粽子打八折促销后现价是a 元，则粽子的原价是 元.分析:八折=80%，把原价当作单位“1”，则现价是原价的80%.根据分数除法的意义可知原价= 580%4a a ÷=. 【规律·技法】本考点解题时要抓住以下几点:①在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义;②能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示;③能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义. 【反馈练习】1.体育委员小金带了500元钱去买体育用品，已知一个足球x 元，一个篮球y 元，则代数式50032x y --表示的实际意义是 .2. (2017·苏州期末)某企业1月份的产值为x 万元，2月份的产值比1月份减少了10%,3月 份的产值比2月份增加了15%，则3月份的产值用代数式表示为( ) A. (110%+15%)x -万元 B. (110%15%)x +-万元 C. (110%)(115%)x -+万元 D. (10%)(15%)x x -+万元考点2 求代数式的值【考点解读】本考点解题时要抓住以下几点:①会求代数式的值;②能根据特定的问题查阅条件，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算;③读懂计算程序图，会按照规定的程序计算代数式的值;④求代数式的值时，有时需运用“整体”的思想.例2若23a b -=，则924a b -+的值为 . 分析:原式=92(2)963a b --=-=. 【规律·技法】运用整体代入法求代数式的值.例3 如图所示的运算程序中，若开始输入的x 值分别为30和91，则输出的结果分别为( )A. 33，94B. 15，94C. 15，46D. 33，46分析:首先判断输入的x 的值是奇数还是偶数，然后再计算相应的x 值.当x =30时，输出130152⨯=;当x =91时，输出91+3=94.故输出的结果分别为15,94. 答案:B 【规律·技法】运算时必须看清程序指令对应的计算条件. 【反馈练习】3.若235a b -=，则2622015b a -+= .4.刘谦的魔术表演风靡全国、小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对,a b 进入其中时，会得到一个新的实数: 21a b +-，例如把(3,－2)放入其中，就会得到23(2)16+--=.现将实数对(－1,3)放入其中，得到实数m ，再将实数对(m ,1)放入其中后，得到实数 . 考点3 合并同类项及去括号【考点解读】本考点解题时要抓住以下几点:①了解单项式、多项式、整式、单项式的系数、同类项等概念;②掌握合并同类项及去括号的方法;③会简单的整式加、减运算. 例4 已知242m ab --与23n ab +是同类项，则()m n m -= .分析:根据同类项定义可得21,24m n -=+=，解得3,2m n ==,所以()1mn m -=-. 答案:－1 【规律·技法】理解同类项定义中的两个“相同”:所含字母相同，相同字母的指数相同.例5 计算3(2)4(2)x y x y --+-的结果是( ) A. 2x y - B. 2x y + C. 2x y -- D. 2x y -+ 分析:原式=36482x y x y x y -++-=-. 答案:A【规律·技法】去括号时，如果括号前面是“－”号，注意括号内每一项都要改变符号. 【反馈练习】5.下列各式中，去括号正确的是（ ）A. 22(22)22x x y x x y --+=--+ B. (1)()1mn m n mn m n --+-=--+-C. (5)5ab ab --+=-D. (53)(2)22x x y x y x y --+-=-+ 6. (2017·苏州期末)若代数式42m a b 与215n a b+-是同类项，则nm = .考点4 规律探索【考点解读】本考点考查学生的创新意识和独立解决问题的能力，这类问题形式多样，可以数形结合，也可以探究一组数的变化规律，还可以探究一组图形的变化趋势.例6 将图①的正方形作如下操作:第1次分别连接对边中点，如图②，得到5个正方形;第2次将图②左上角正方形按上述方法再分割，如图③，得到9个正方形，…，依此类推，第n 次操作后，得到正方形的个数是 .分析:第1次操作后，得到正方形的个数是5=4X1+1;第2次操作后，得到正方形的个数是9=4X2+1;…;依此类推，第n 次操作后得到正方形的个数是41n +. 答案: 41n +【规律·技法】观察图形的变化趋势，探索变化中的数量关系，并能运用代数式描述.例7 如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形，…，依此规律，第n 个图案有 个三角形.(用含n 的代数式表示)分析:由题意可知:第1个图案有3+1=4(个)三角形，第2个图案有3X2+1=7(个)三角形，第3个图案有3X3+1=10(个)三角形，…，依此规律，第n 个图案有(31n +)个三角形. 答案:(31n +)【规律·技法】解答此类问题，可以先把前面几个图形中得到的数据表示出来，然后找出规律.对于选择题，可通过代入法验证答案. 【反馈练习】7. (2016·内江)将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第n 个图形有 个小圆.(用含n 的代数式表示)8. (2017·宁波)如图，用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放:则图⑦有 枚黑色棋子，图ⓝ有 枚黑色棋子. 易错题辨析易错点1 根据数据找规律方法不当例1 如图在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，第n 个图形中的阴影部分小正方形的个数是 .错误解答: 22n +错因分析:把图形看作一个正方形再多加2个小正方形，其实是长方形再加2个小正方形. 根据图形可知:第1个图形中阴影部分小正方形的个数是4=2+2=1X2+2; 第2个图形中阴影部分小正方形的个数是8=6+2=2X3+2; 第3个图形中阴影部分小正方形的个数是14=12+2=3X4+2;…所以第n 个图形中阴影部分小正方形的个数是2(1)22n n n n ++=++. 正确解答: 22n n ++易错辨析:此类题型考查学生观察、分析、判断、归纳的能力，其关键是通过图案得到一组有规律的数.本例若单纯从数据发现规律比较复杂，要注意观察图形的变化，结合数据，从中得出规律，根据此规律表示出第n 个图形中阴影部分小正方形的个数.易错点2 对数量关系分析不透例２ 用代数式表示“x 与y 的差的平方的一半”正确的是( ) A.221()2x y - B. 21()2x y - C. 21()2x y - D. 212x y - 错误解答:A 错因分析:“差的平方”看成了“平方的差”导致出错. x 与y 的差是x y -，平方是2()x y -，一半是21()2x y -. 正确解答:C 易错辨析:在审题时，不要把“差的平方”与“平方的差”理解错 易错点3 单项式有关概念模糊不清例3 单项式3223x yπ-的系数为 ，次数为 .错误解答: 83- 6错因分析:在确定系数时误把π当成了未知数，在确定次数时多算了23中的次数3. 正确解答: 83π- 3 易错辨析:在确定单项式的系数和次数时，需特别注意区分字母和常数，次数的计算务必不重不漏. 易错点4 忽视结果输出的条件例4 如图所示的计算程序，若开始输入的数为－3，则最后输出的结果为 . 错误解答:－5错因分析:输入－3后，按程序步骤可得(－3)X2+1=-5，此时没有判断所得数据是否小于－8就输出了结果.实际上，因为－5>－8，所以(－5)X2+1=－9，此时－9<－8，故输出结果为－9. 正确解答:－9 易错辨析:解答程序运算类题型时，在判断输出结果时，务必要确认是否满足输出条件. 例5 某计算程序如图所示，当输入x = 时，输出的结果为8y =.错误解答:11错因分析:根据程序图可知:当3x ≥时，由38x -=，解得11x =.错误解答只考虑3x ≥时的情况，而漏了3x <时的情况.当3x <时，由358x +=，解得1x =.故1x =或11. 正确解答:1或11.易错辨析:本题考查了求代数式的值的应用，解此题的关健是根据输出的值为8推出方程，从而求解.需要注意的是，符合输出的条件有两个，分别是38x -=和358x +=，不能只看到一个，导致漏解. 易错点5 合并同类项时漏抄无同类项的项 例6 合并同类项: 222323a b ab a a b ab ----.错误解答:原式= 22(12)(33)6a b ab a b ab -+--=--.错因分析:漏抄无同类项的项2a -. 正确解答:原式= 2222(12)(33)6a b ab a a b ab a -+---=---.易错辨析:在合并同类项时，切忌漏写常数项和不含同类项的项.不含同类项的项及常数项一定要照抄在后面. 易错点6 去(添)括号时符号等选择有误 例7 去括号: 2(321)x y z --+.错误解答:原式= 2321x y z --+.错因分析:去括号时只改变了括号内第一项的符号，后两项符号未变.正确解答:原式= 2321x y z -+-. 易错辨析:解此题时还可能出现如下错误:2(321)2321x y z x y z --+=-++.括号前面是“－”号的，在去括号的时候需注意括号内的每一项都要改变符号.例8 求多项式2341m m -+与258m m +-的差.错误解答: 2234158m m m m -+-+-=2(35)(41)7m m -+-+-=2237m m ---.错因分析:减去一个多项式时没有添括号. 正确解答: 22341(58)m m m m -+-+-=2234158m m m m -+--+=2(35)(41)(18)m m -+--++=2259m m --+.易错辨析:减去一个多项式时，这个多项式要整体加括号，否则就变成减去这个多项式的第一项，加上其余的项了. 【反馈练习】1.下列说法中，正确的是( )A. 22m n 不是整式B.单项式32x y -的系数是－1 C. 23a bc 与2bca 不是同类项 D. 234x y+是多项式2.若2(2),2M p q N p q =-+=-+，则M N -的值为( )A. 54p q --B. 5p -C. 34p q --D. 4p q -+3.随着服装市场竞争日益激烈，某品牌服装专卖店一款服装按原售价降价a 元后，再次降价20%，现售价为b 元，则原售价为( ) A. 5()4a b +元 B. 4()5a b +元 C. 5()4b a +元 D. 4()5b a +元 4. (2017·徐州期末)如图，每个图案均由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成，照此规律，第n 个图案中白色正方形比黑色正方形多 个.(用含n 的 代数式表示)5. (2017·扬州期末)按照如图所示的操作步骤，若输入的值为－3，则输出的结果是 .6.计算: (1) 2222251(34)(35)22x y xy x y yx xy -+--+; (2) 2225[22(31)]x x x x x ----+.探究与应用探究1 同类项的概念与应用 例1 若单项式234m xy --与单项式27223n x y -的和仍是单项式，求22(22)m n m n +--的值.解答:由题意，得22,372m n -==-,所以4,2m n ==, 所以222242(22)42(22)20128mnm n +--=+--=-=.规律·提示解答本题的关健是理解题意，单项式与单项式的和是单项式说明这两个单项式一定是同类项，因而可由相同字母的指数相同来确定,m n 的值. 【举一反三】 1.若单项式13m xy -与4n xy 的和是单项式，则m n 的值为( ) A. 3 B. 6 C. 8 D. 9探究2 与某些字母的取值无关的代数式例2 已知222321,1A x xy x B x xy =+--=-+-.(1)求36A B +;(2)若36A B +的值与x 的取值无关，求y 的值.点拨:在计算36A B +时，,A B 分别代表一个整式，因此在计算时注意把它们当成一个整体加上括号.若式子的值与字母x 无关，则所有含x 项的系数之和为0.解答:(1) 22363(2321)6(1)A B x xy x x xy +=+--+-+-226963666x xy x x xy =+---+-=1569xy x --. (2)因为361569(156)9A B xy x y x +=--=--的值与x 的取值无关，所以1560y -=，所以25y =. 规律·提示如何理解式子的值与字母x 的取值无关是解答本题的关键.与某个字母的取值无关，即含有该字母所有项的系数之和为0. 【举一反三】2.已知式子22(23)2(21)2bx ax y bx x y +---+-的值与字母x 的取值无关，求式子()()a b a b --+的值.探究3 整体代入求值例3 已知多项式32x ax bx c +++，其中,,a b c 为常数.当1x =时，多项式的值是1;当2x =时，多项式的值是2.当x 分别是8和－5时，多项式的值分别为M 和N ，求M N -的值.点拨:先将1x =,2x =分别代入多项式，得到关于,,a b c 的代数式，再将,M N 表示出来，利用上面的式子即可. 解答:当1x =时，原式=11a b c +++=，则0a b c ++=①.当2x =时，8422a b c +++=，则426a b c ++=-② .②－①，得36a b +=-.当8x =时，512648M a b c =+++;当5x =-时，125255N a b c =-+-+.所以637391363713(3)63713(6)559M N a b a b -=++=++=+⨯-=.规律·提示有时给出的条件不是字母的具体值，就要先进行化简，求出字母的值，但有时很难或者无法求出字母的值.根据题目的特点.将一个代数式的值整体代入，可使求值方便且快捷. 【举一反三】3.已知35190,810a b a b -+=+-=.求下列代数式的值: (1) 129a b --; (2) 426a b -; (3) 2(43)86a b a b +--.探究4 特殊值法巧求值例4 若4432(31)x ax bx cx dx e +=++++，求a b c d e -+-+的值. 点拨:当1x =-时，432ax bx cx dx e a b c d e ++++=-+-+. 解答:将1x =-代入，得4(2)16a b c d e -+-+=-=. 规律·提示用特殊值代入代数式求解是解决这类问题的常用方法，常用的特殊值有0,1,2x =±±等. 【举一反三】4.已知4324(2)ax bx cx dx e x ++++=-.求下列代数式的值: (1) a b c d e ++++; (2) a c +.探究5 用代数式表示图形与数量的变化例5 如图是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要多少枚棋子?摆第n 个图案呢？(用含n 的代数式表示)点拨:解法一:列表填数，观察数值，体会从特殊到一般的数学思想;解法二:问题中“按照这样的方式摆下去”，何种方式并没有明确的界定，我们可以有不同的理解，如从平行四边形角度看，把图形分成如图所示的三个平行四边形(中间剩1枚棋子).解答:解法一:1716116a ==+=+⨯；21916121(12)6a ==++=++⨯； 3371612181(123)6a ==+++=+++⨯；41(1234)6a =++++⨯；51(12345)6a =+++++⨯；…猜想: 21(1234)6331n a n n n =+++++⋅⋅⋅+⨯=++,再将6n =代入该代数式，得2636361127a =⨯+⨯+=.解法二:依次类推，图案的序号n :1,2,3,4,5,…，棋子总枚数n a :7,19,37,61,91,….171(12)3a ==+⨯⨯;2191(23)3a ==+⨯⨯;3371(34)3a ==+⨯⨯;4611(45)3a ==+⨯⨯;5911(56)3a ==+⨯⨯;猜想: 21[(1)]3331n a n n n n =++⨯=++.再将6n =代入该代数式，得2636361127a =⨯+⨯+=.规律·提示1.规律探究题，常按照一定的顺序给出一系列量，要求根据已知量找出一般规律，解题的关键是由不变到变，再把变量和序号联系起来.2.探寻图形变化规律可从以下方面入手:(1)整理数据，分析数据;(2)把握图形结构、变化方式;(3)数形结合，分解图形，感悟由部分研究整体的思想.【举一反三】5.(1)如图①，每个正方形点阵均被一条直线分成两个三角形点阵，根据图中提供的信息，用 含n 的等式表示第n 个正方形点阵中的规律是 ;(2)如图②是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n 个图案中涂色正三角形的个数是 .(用含n 的代数式表示)参考答案知识梳理数值 相同字母 系数 字母的指数 不改变 改变 重难点分类解析 【反馈练习】1.体育委员买了3个足球和2个篮球后剩余的经费2. C3. 20054. 95.D6. 87. 2(4)n n ++ 8. 19 (32)n -易错题辨析 【反馈练习】1.B2.C3.A4. (43)n +5. 446. (1) 原式=222552x y xy -+; (2) 原式=2642x x -+. 探究与应用 【举一反三】 1.D2. ()()2a b a b --+=-.3.(1) 12954a b --=; (2) 42640a b -=-;(3) 2(43)86360a b a b +--=. 4.(1) 1a b c d e ++++=; (2) 25a c +=.5.(1) 2(1)(1)22n n n n n -++= (2) 42n -。
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1+ b .
2
网址 : z xss. chinajournal. net. cn
16
电子信箱 : zxs s@ chin ajourn al. n et . cn
2 2 2
边长为 6 的正方形 , 由勾 股定 理 可 得: A B = BC = 13 , CD =
图3
A D = 6 2. 根据 两点之 间, 线 段最短 得 5+ 10+ 二、 证不等关系
13> 6 2.
例 2 设正实数 a 、 b 满足 a + b = 1, 求证 : 可知 1+ a +
2 2
图1
在
AP C 和
BP D 中 , A C = BD =
2,
P D + P B > BD, P C + A P > A C, PD+ PC+ (A P + PB) > BD + A C= 2 2. 由此可得 即 三、 求最值 例 3 已知 a + b = 1, x + y = 1. 求 ax + by 的最大值.
安徽省灵璧县黄湾中学( 234213)
华腾飞
代数与几何是初中数学的两个分支, 而数 形结合是数学中的一种重要的思想方法. 数学 题中大量的数式问题隐含着形的信息 , 将抽象 复杂的数量关系通过形的直观而形象地揭示 出来 , 往往可获得新颖而简捷的解题思路 . 下 面向大家介绍几例代数问题的几何解法. 有些 代数问题采用几何解法 , 不仅非常简明、 快捷 , 而且还别有一番情趣. 一、 比较大小 例 1 比较 5 + 的大小. 解析 如图 1 , 构造 5, 10 ,
1+ b > 2 2- 1 .
2
分析
由勾 股定 理
1+ a 是以 1 和 a 1+ b 2
图2ห้องสมุดไป่ตู้
为两 直角边的 直角三 角 形的 斜 边 长, 而 是以 1 和 b 为两直角 边 的直角三角形的斜边长 , 于是 可作如图 2 所示 的
智慧窗 巧解方程 参考答案
解
2
正方形 A BCD, 则待证结论转化为 PD + PC > A C+ BD - A B. 证明 设正方 形边 长 A B = BC = CD = DA = 1, a+ b= A P + PB = 1, PD = 1+ a , PC =
2 2 2 2 2 2
1+ a +
1+ b + 1> 2 2 ,
1+ a2 +
1+ b2 > 2 2- 1 .
10 +
13 与 6 2
解
如 图 3, 以 BD
为直径作单位圆 O, A 、 C 为 BD 异侧的点, 且都 在 O 上, 连结 A B 、 BC 、 CD 、 DA 、 A C. 设 A B = a, B C = y , CD = x , D A = b, 则由托 勒密定理得 ax + by = A C B D. BD = 1 . 当弦 A C 亦为直径时, A C ax + by 的最大值为 1 . 练习 1. 已知 a> b> 0, 求证: a - b < a - b. ( 提示: 可考虑用垂径定理及反证法证之) . 2. 若 0< a < b < c < d, a + d = b + c, a2 + d = b + c . 求证 : a、 b、 c、 d 四数 不存在 . ( 提 示 : 构造两直角三角形 , 用反证法证之 . ) ( 责审 王敬庚)
2
1= ( 2011- x ) + ( x - 2010 ) , 原 方程 可 化 为 ( 2011 - x ) 2 + ( x -
2010) = [ ( 2011- x ) + ( x - 2010 ) ] 2 . 即 2( 2011- x ) ( x - 2010 ) = 0 . 2011- x = 0 或 x - 2010= 0, x 1 = 2011 或 x 2 = 2010 .