代数问题的几何解法几例

1+ b > 2 2- 1 .
2
分析
由勾 股定 理
1+ a 是以 1 和 a 1+ b 2
图2
为两 直角边的 直角三 角 形的 斜 边 长, 而 是以 1 和 b 为两直角 边 的直角三角形的斜边长 , 于是 可作如图 2 所示 的
智慧窗 巧解方程 参考答案
解
2
正方形 A BCD, 则待证结论转化为 PD + PC > A C+ BD - A B. 证明 设正方 形边 长 A B = BC = CD = DA = 1, a+ b= A P + PB = 1, PD = 1+ a , PC =
2
1= ( 2011- x ) + ( x - 2010 ) , 原 方程 可 化 为 ( 2011 - x ) 2 + ( x -
2010) = [ ( 2011- x ) + ( x - 2010 ) ] 2 . 即 2( 2011- x ) ( x - 2010 ) = 0 . 2011- x = 0 或 x - 2010= 0, x 1 = 2011 或 x 2 = 2010 .
百度文库图1
在
AP C 和
BP D 中 , A C = BD =
2,
P D + P B > BD, P C + A P > A C, PD+ PC+ (A P + PB) > BD + A C= 2 2. 由此可得 即 三、 求最值 例 3 已知 a + b = 1, x + y = 1. 求 ax + by 的最大值.
安徽省灵璧县黄湾中学( 234213)
华腾飞
代数与几何是初中数学的两个分支, 而数 形结合是数学中的一种重要的思想方法. 数学 题中大量的数式问题隐含着形的信息 , 将抽象 复杂的数量关系通过形的直观而形象地揭示 出来 , 往往可获得新颖而简捷的解题思路 . 下 面向大家介绍几例代数问题的几何解法. 有些 代数问题采用几何解法 , 不仅非常简明、 快捷 , 而且还别有一番情趣. 一、 比较大小 例 1 比较 5 + 的大小. 解析 如图 1 , 构造 5, 10 ,
2 2 2
边长为 6 的正方形 , 由勾 股定 理 可 得: A B = BC = 13 , CD =
图3
A D = 6 2. 根据 两点之 间, 线 段最短 得 5+ 10+ 二、 证不等关系
13> 6 2.
例 2 设正实数 a 、 b 满足 a + b = 1, 求证 : 可知 1+ a +
2 2
2 2 2 2 2 2
1+ a +
1+ b + 1> 2 2 ,
1+ a2 +
1+ b2 > 2 2- 1 .
10 +
13 与 6 2
解
如 图 3, 以 BD
为直径作单位圆 O, A 、 C 为 BD 异侧的点, 且都 在 O 上, 连结 A B 、 BC 、 CD 、 DA 、 A C. 设 A B = a, B C = y , CD = x , D A = b, 则由托 勒密定理得 ax + by = A C B D. BD = 1 . 当弦 A C 亦为直径时, A C ax + by 的最大值为 1 . 练习 1. 已知 a> b> 0, 求证: a - b < a - b. ( 提示: 可考虑用垂径定理及反证法证之) . 2. 若 0< a < b < c < d, a + d = b + c, a2 + d = b + c . 求证 : a、 b、 c、 d 四数 不存在 . ( 提 示 : 构造两直角三角形 , 用反证法证之 . ) ( 责审 王敬庚)
1+ b .
2
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