立足双基 关注热点 把握范围——谈三角函数的自主招生备考
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２ ＋Ｔ ＝ 竹＋ Ｂ ＿ — １ ｋ ｚ 时 后 １即Ａ ｋ 詈， ：＇ ｋ （ ∈ ） ， 订 ， Ｉ ｉ Ｔ Ｔ ＿
ｃｓ ｃ ｓ ｏ Ａ＋ ０ Ｂ有 最 小值 ＿． ｃｓ ＋ｃｓ 的最大 １ 故 ｏ ｏ Ｂ
三角 函数是基本初等函数之一 ， 要充分关注三 角 公式 的灵 活 运 用 ， 妙 利 用 特 殊 角 进 行 角 的 变 巧 换， 合理利用 －Ｚ 函数的图像和性质进行解题． Ｊ
・
２ ８・
中学教研 （ 学） 数
巧 妙利 用 角 的变换 达 到解题 目的．
１３ 合 理 利 用 性 质 ．
（ ）若 ｔｎ 一 １ ：＿ｎ ２ ａＣ ｔ Ｂ＋ｔ Ｃ 且 ｓｎ Ａ， ａ ａ ｎ ｉ２
ｔ ｎＡ ａ
，
例 ３ 已知 函数 ）＝ｓ ＋ ｉ （ ）一２ ｉ（ ｎ ｓ ｘ＋ ｎ
第 ６期
虞金龙 ： 足双基 立
关 注热 点
把 握 范 围
・２ ・ ７
立 足 双 基
— —
关 注 热 点
把 握 范 围
谈 三角 函数 的 自主招生备考
（ 绍兴市第一中学 浙江绍兴 ３２０） １００
●虞 金龙
－－ 凼 数 是 一 种 重 要 的 函数 ， 的 定 义 和 性 质 角 它
亍＋ 一ｏ０＋ｏ０＋ｏ０） 寺（ ｃ２ ｃ８ ｃ４。＋ ｓ。 ｓ。 ｓ
１， １＋ｃ ｓ ０。 ｏ４
ｃＡｃＢ丢。 ＋ｃ（ Ａ 。 ＋ｓ＝ｃＡ １ｓ ） ＝ ｓ ｏ ２ ｓ 。 一 ＋ ２ ２ ｃＡ丢。 ） ＝ ＋ｃ竽 ＋ ｓ （ ，
１ ｌ
Ｉ 一 ＋ ＋ｏ６。 —■ ｓ 。＝ —■ ——厂 ０ ＋ ＋ｏ ０、 １ ｃ ｌ １ ｃ８ ｓ 一）
（０ ０ ２ １ 年清华大学 自 主招生试题）
解 ｓ ０ ＋ｓ ０ ＋ ｉ ０ ＝ ｉ １。 ｉ５ 。 ｓ ７ 。 ｎ ｎ ｎ
Ｃ Ｓ８ Ｏ ４ ０￣＋ｃ ｓ ４ ｏ ４ ０￣＋ｃ ｓ２ ｏ ０￣：
ｃＡｃ 专１ｃＡ＋ （＋ｓ） 。 ＋ ｓ （＋ｓ）下１ｃ Ｂ＝ ｓ 。 ＝ 。 １ 。 ２ ２
１ ２ 巧 化 角的 变换 ．
Ａ 一， ． 吾 －
ｃ１ ，＋ ．一 １ Ｔ
Ｂ， ．吾 ÷
Ｄ １＋ ２ ． １
，
例 ２ 求 ｓ Ｏ ＋ｓ Ｏ ＋ ｉ Ｏ 的值． ｉ ｌ。 ｉ５ 。 ｓ ７。 ｎ ｎ ｎ （０ １年 清华 大 学等七 校联 考 试题 ） ｚ１
解 由降幂 公 式得
１ １ 灵 活运 用公 式 ．
值 最 值 别 ÷， ． 案 ． 、小 分 为 ＿ １答 选Ｂ
评注 公式多是三角函数的一大特点 ， 如何灵 活运用 公式 是夯 实 三角 函数 双基 的基本 途径． 本题
主要 考查三 角 函数 的和 差公 式 、 降幂公 式及 三角恒 等变形 公式． 题 的解 题 关键 是利 用条 件将所 给 的 本
ｉ２ ｓ ｎＢ，ｉ Ｃ的倒数 成 等差 数 列 ， ｎ ２ 求 。 Ａ 的值 ＿
．
）ｓ ＋） ｃ （＋） 图 关 詈 ｃ（ 一 ｓ 的 像 于 ＝ 对 。 。
称， 詈＜ 詈． 且一 ＜
（ ） ‘的大 小 ； １求 ｐ （） ２ 当 ∈［ ， 时 ， 程 ）一ｍ ＝ ０ 耵］ 方 ０恰 有 ２ 个不 同 的实根 ， 观察 ） 的图像 ， 出 ｍ 的 取值 范 写
÷。 ＋ ｃ Ｂ １ ｃＡ寻ｏ ＋ ｓ ２ ｓ ． ２
Ｎｆ ＝ ， 以 ＝ ＿ 从 而 Ａ＋ 所 ｉ Ｔ Ａ，
÷３２ｌ。 ｃｏ （ ｃ６＋。 。 ＋００ ２８＋ ｓ ｓ
２ ｏ ４ ￣＋Ｃ Ｓ １ ０ ｃｓ０ Ｏ ６ ￣＋Ｃ Ｓ ８ Ｏ ２ ０￣＋ｃ ｓ ４ ￣ ｏ ０ １：
例 Ａ ＝ ，ｃＡｃ 的 小 函数 “化一 ”， 形 为 一 个 角 或 一 个 三 角 函数 的 １若 ＋ 孥则。 ＋ｓ 最 ｓ 。 即变
值和最大值分别为 （ ）
形 式． 般 来 说 ， 解 三 角 函数 的周 期 、 值 等 问 一 求 最 题 ， 可 以利 用 “ 都 化一 ” 的方 法 ， 因此 考生 要 给 予重 视并 熟 练运 用．
围．
（０ １年 清华 大 学等 七校联 考 试题 ） ２１
解 （ ） ｔｎ Ａ＋ １ 由 ａ （ ）＝ ｔ ＋ ａ Ｂ ａＡ ｔｎ ｎ
，
得
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詈 詈２６。ｏｏ。詈 ＋（ｓｃ０ ｃ０＝． ｃ０ｓ ＿ｓ） ｏ。２ ２
评注 角 的变换 是三 角 函数考查 的重点之 一 ， 由于题 目的形 式各 不相 同 ， 因此 解题 方法 也 因题 而
（ ＋） ２ 詈“ Ａ
＝ 一 ，＝ 一耵 詈Ｂ 耵
当Ａ詈＝ ２＋ ２
异． 从整体上讲 ， 的变换要着重 抓住 “ 角 特殊角 ” ， 考虑 角与 角 之 间 的关 系． 题 主 要 利 用三 角 公 式 ， 本
．
素＋ （ｓ。ｃ ０一 ｓ。＝ 素 ｃ８ ＋ ｓ。ｃ２） ｏ０ 。 ｏ０ ４
Leabharlann Baidu
ｃＡ１＿ｃ 一 ） ｏ ＋（１ ｉ 小 ｓ ＿ ２ ｏ Ａ 寺１ 一ｓ ） ＝ （。 譬以 ＋ Ａ ｉ ｃ Ａ
ｃ。ｓ
音＋ ［ｓ０ ２）Ｃ（。 。 ｃ ０ ＝ 昔 ｃ（。 ０ ４Ｓ０ ２） 。 。 。６＋ 。＂ ６ 一 一ｓ ］ Ｏ ０ ２
独 特 ， 自主 招生 中是 对基 础知 识 和基本 技 能考 查 在 的重要 内容 之 一． 因此 在 备 考 时 ， 在 三 角 函数 的 要 灵 、 、 上下 功夫 ， 备考前 ， 立 足双 基 ， 活 巧 在 应 关注 热
点 ， 握范 围． 把
１ 立 足双 基
（∈ ） ，Ｓ ＋ｏＢ 最 值 当 Ａ 罟＝ Ｚ时 Ｃ ｃ 有 大 ÷； ２ ＋ ＯＡ ｓ
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・
２ ８・
中学教研 （ 学） 数
巧 妙利 用 角 的变换 达 到解题 目的．
１３ 合 理 利 用 性 质 ．
（ ）若 ｔｎ 一 １ ：＿ｎ ２ ａＣ ｔ Ｂ＋ｔ Ｃ 且 ｓｎ Ａ， ａ ａ ｎ ｉ２
ｔ ｎＡ ａ
，
例 ３ 已知 函数 ）＝ｓ ＋ ｉ （ ）一２ ｉ（ ｎ ｓ ｘ＋ ｎ
第 ６期
虞金龙 ： 足双基 立
关 注热 点
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・２ ・ ７
立 足 双 基
— —
关 注 热 点
把 握 范 围
谈 三角 函数 的 自主招生备考
（ 绍兴市第一中学 浙江绍兴 ３２０） １００
●虞 金龙
－－ 凼 数 是 一 种 重 要 的 函数 ， 的 定 义 和 性 质 角 它
亍＋ 一ｏ０＋ｏ０＋ｏ０） 寺（ ｃ２ ｃ８ ｃ４。＋ ｓ。 ｓ。 ｓ
１， １＋ｃ ｓ ０。 ｏ４
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１ ｌ
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（０ ０ ２ １ 年清华大学 自 主招生试题）
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Ｃ Ｓ８ Ｏ ４ ０￣＋ｃ ｓ ４ ｏ ４ ０￣＋ｃ ｓ２ ｏ ０￣：
ｃＡｃ 专１ｃＡ＋ （＋ｓ） 。 ＋ ｓ （＋ｓ）下１ｃ Ｂ＝ ｓ 。 ＝ 。 １ 。 ２ ２
１ ２ 巧 化 角的 变换 ．
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，
例 ２ 求 ｓ Ｏ ＋ｓ Ｏ ＋ ｉ Ｏ 的值． ｉ ｌ。 ｉ５ 。 ｓ ７。 ｎ ｎ ｎ （０ １年 清华 大 学等七 校联 考 试题 ） ｚ１
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１ １ 灵 活运 用公 式 ．
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评注 公式多是三角函数的一大特点 ， 如何灵 活运用 公式 是夯 实 三角 函数 双基 的基本 途径． 本题
主要 考查三 角 函数 的和 差公 式 、 降幂公 式及 三角恒 等变形 公式． 题 的解 题 关键 是利 用条 件将所 给 的 本
ｉ２ ｓ ｎＢ，ｉ Ｃ的倒数 成 等差 数 列 ， ｎ ２ 求 。 Ａ 的值 ＿
．
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２ ｏ ４ ￣＋Ｃ Ｓ １ ０ ｃｓ０ Ｏ ６ ￣＋Ｃ Ｓ ８ Ｏ ２ ０￣＋ｃ ｓ ４ ￣ ｏ ０ １：
例 Ａ ＝ ，ｃＡｃ 的 小 函数 “化一 ”， 形 为 一 个 角 或 一 个 三 角 函数 的 １若 ＋ 孥则。 ＋ｓ 最 ｓ 。 即变
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（０ １年 清华 大 学等 七校联 考 试题 ） ２１
解 （ ） ｔｎ Ａ＋ １ 由 ａ （ ）＝ ｔ ＋ ａ Ｂ ａＡ ｔｎ ｎ
，
得
ｔｎ ｔｎ ａ Ａ＋ ａ Ｂ＝ｔ （ Ｂ） １一ｔ Ａ ａＢ） ａ Ａ＋ （ ａ ｔ ｎ ｎ ｎ ． 因为 ＡＡ Ｃ不 是直 角 三角 形 且 Ａ＋ Ｂ Ｂ＋Ｃ＝叮， 以 Ｔ所
詈 詈２６。ｏｏ。詈 ＋（ｓｃ０ ｃ０＝． ｃ０ｓ ＿ｓ） ｏ。２ ２
评注 角 的变换 是三 角 函数考查 的重点之 一 ， 由于题 目的形 式各 不相 同 ， 因此 解题 方法 也 因题 而
（ ＋） ２ 詈“ Ａ
＝ 一 ，＝ 一耵 詈Ｂ 耵
当Ａ詈＝ ２＋ ２
异． 从整体上讲 ， 的变换要着重 抓住 “ 角 特殊角 ” ， 考虑 角与 角 之 间 的关 系． 题 主 要 利 用三 角 公 式 ， 本
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素＋ （ｓ。ｃ ０一 ｓ。＝ 素 ｃ８ ＋ ｓ。ｃ２） ｏ０ 。 ｏ０ ４
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ｃＡ１＿ｃ 一 ） ｏ ＋（１ ｉ 小 ｓ ＿ ２ ｏ Ａ 寺１ 一ｓ ） ＝ （。 譬以 ＋ Ａ ｉ ｃ Ａ
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独 特 ， 自主 招生 中是 对基 础知 识 和基本 技 能考 查 在 的重要 内容 之 一． 因此 在 备 考 时 ， 在 三 角 函数 的 要 灵 、 、 上下 功夫 ， 备考前 ， 立 足双 基 ， 活 巧 在 应 关注 热
点 ， 握范 围． 把
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（∈ ） ，Ｓ ＋ｏＢ 最 值 当 Ａ 罟＝ Ｚ时 Ｃ ｃ 有 大 ÷； ２ ＋ ＯＡ ｓ