物理电路一阶电路和二阶电路的时域分析

第1 章
RL并联充电电路
用对偶原理
iL iL iL
Is
iL Is
强制分量；
R t 自由分量；
iL I se L
静电场
R L uL
iR
iL
第1 章
静电场
RL串联电路在正弦电压源激励下的响应
us Um cos(t u )
接入相位角(合闸角)
R
us
L
di dt
Ri
Um
cos(t
u
)
L i
第1 章
求电流 i(t)
6i
2i
2
静电场
3
16
4
9
第1 章
静电场
7.3 一阶电路的零状态响应
何谓“零状态响应”？ 初始无储能，输入不为零
一、RC串联充电电路
uC uR U s
uC
RC duC dt
Us
iR
Us
C uc
一阶线性非齐次微分方程
“一阶非齐次线性方程的通解等于其对应的齐 次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。”
C
U0
uc
uc iR
i
R
uR
KVL : uR uC 0
RC
duC dt
uC
0
一阶齐次微分方程
初始条件： uc (0 ) uc (0 ) U0
第1 章
静电场
方程的通解为： uc Ae pt
代入得： (RCp 1) Ae pt 0
其中A, P未知
相应的特征方程为： RCp 1 0
代入初始条件得： uc (0 ) Ae0 A U0
通解 i i i
稳态分量 i Im cos(t )
瞬态分量
t
i Ae
确定 A, Im ,
第1 章
静电场
7.4 一阶电路的全响应
iR
uC uR U s
uC
RC duC dt
Us
Us
一阶线性非齐次微分方程
C
uc
初始条件： uc (0 ) uc (0 ) U0
uc uc uc
8V
2i1 2
0.1H iL
10 a
iL
12V
0.1H
b
第1 章
求 uc (t) 零输入、零状态 1A 和全响应，画图
静电场
4
2
u1
0.5V
1.5u1 uc
0.5F
第1 章
静电场
7.5 二阶电路的零输入响应
何谓“二阶电路” RLC串联电路
uL
C U0
uc
L
R uR
i
iL
iR
iC
C
duC dt
t
t
iL (t) I0e Is (1 e )
t
iL (t) Is (I0 Is )e
例7-4
i 2
10V
1.戴维宁等值
2.时间常数 3.电感电流(不突变) 4.三要素
a
iL
2A
b 2 a
6V b
4H
iL
4H
例7-5
1.戴维宁等值 2.时间常数 3.电感电流
4 2
2A
i1
1
4
uc 非齐次方程的特解 uc 对应齐次方程的通解
uc U s
1t
uc (U0 U s )e RC
第1 章
1t
uC U s (U0 U s )e RC
全响应＝稳态分量＋瞬态分量
1t
1t
uC U0e RC U s (1 e RC )
全响应＝零状态响应＋零输入响应
满足叠加原理
t
f (t) f () [ f (0 ) f ()]e
静电场
三要素法
第1 章
静电场
元件 比较内容
零输入响应 零状态响应
RC电路
t
uc (t) U 0e
t
uc (t) U s (1 e )
RL电路
t
iL (t ) I0e
t
iL (t) Is (1 e )
时间常数
RC
L
R
全响应
t
t
uc (t) U0e Us (1 e )
t
uc (t) U s (U0 U s )e
第1 章
7.1 基本概念
动态元件（储能元件）
RL一阶电路 RC一阶电路 过渡过程＆初始条件
静电场
例7-1：
R1 1
U0
R2 C
uc
L
iL
ic
第1 章
静电场
换路前后瞬间电容电压与电感电流不能跃变！
第1 章
静电场
7.2 一阶电路的零输入响应
何谓“零输入响应”？ 状态不为零！
一、RC放电电路
i C duc dt
L
解得：
Rt
i I0e L
uL
L
di dt
Rt
RI0e L
电压电流都以同样的指数规律衰减，衰减快慢取决于 L R
衰减的时间常数 L 单位为秒
R
电阻消耗的功率全部来自于电感初始储能。
第1 章
例7-3
静电场
1
R i(t)
0.189
U
v 35V uv
Rv
5k
L 0.398H
1.时间常数 2.电感电流(不突变)
4 i(t)
1F
4
二、RL放电电路
R0
1
2
两种解法： 1. 解微分方程； 2. 用对偶原理；
U0
R
L uL iL
微分方程为： 0 L di Ri
dt
初始条件为： i(0 ) i(0 ) I0 通解为： i Ae pt
R L uL iL
特征方程为： Lp R 0 特征根为： p R
第1 章
静电场
能量转化
WR
i2 (t)Rdt
0
(U0
t
e RC
)2 Rdt
0R
U
2 0
2t
e RC dt
U
2 0
(
RC
)e
2t RC
R0
R2
0
CU02 2
电阻消耗的功率全部来自于电容初始储能。
第1 章
例7-2 求 i(t)
2 1
2
10V
4 i(t)
1F
静电场
4
先求 uc (0 ) 再求 uc (0 ) 再求 uc (t) 最后求 i(t)
摘自《高等数学》下册第343页
第1 章
uc uc uc
静电场
uc 非齐次方程的特解 uc 对应齐次方程的通解
uc U s
1t
uc U se RC
1t
因此 uc U s (1 e RC )
稳态分量和瞬态分量
i
Us
1t
e RC
R
uc U s
强制分量、与外激励有关；
1 t 自由分量, 与激励无关
解得：
1t
uc U 0e RC
i
U0
1t
e RC
R
电压电流都以同样的指数规律衰减，衰减快慢取决于 RC
衰减的时间常数是固有属性 RC 单位为妙
第1 章
静电场
(动态)电路的特征方程
(动态)电路的特征方程的特征根 (动态)电路的时间常数
如果(动态)电路的特征根中，有一个特征根为正 值，会出现什么现象？
uc U se RC
第1 章
静电场
能量转化
充电效率
WR
i2 (t)Rdt
0
(Us
t
e
)2 Rdt
0R
U
2 s
2t
e RC dt
U02
(
RC
)e
2t RC
R0
R2
0
1 2
CU s2
不论电容C与电阻R的数值为多少，在充电过程中， 电源提供的能量只有一半转变成电场能量储存于电 容中，而另一半则为电阻所消耗。充电效率为50％。
第1 章
U0
Cห้องสมุดไป่ตู้
uc
L
R uR
i
静电场
uc uL uR 0
uc
L
diL dt
RiR
0
特性方程
•特征方程
LC
d 2uc dt 2
RC
duc dt