2018北京市通州区高三(上)期末数学(理)

2018北京市通州区高三（上）期末

数 学（理） 2018.1

第Ⅰ卷 （选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知集合{}

2|20A x x x

=∈-≤Z ，集合{}1,0,1B =-，那么A B 等于

A ．{}1- B

．{}0,1

C ．{}0,1,2

D ．{}1,0,1,2-

2．已知点(2

P 为抛物线2

2y px =上一点，那么点P 到抛物线准线的距离是 A ．2

B ．

．3 D ． 4 3

．一个算法的程序框图如图所示，如果输出 y 的值是1，那么输入x 的值是

A ．2-

B ．2-或2

C ．

D ．或2

4．已知a ∈R ，那么“直线1y ax =-与42y ax =-+垂直”是“2

a =

”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件

5．已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列，那么数列{}n a 的前10项和10S 等于

A ．90

B ．100

C ．10或90

D ．10或100 6．已知a ，b ∈R ，0a b >>，则下列不等式一定成立的是 A.

11

a b

> B. tan tan a b > C. 22log log a b > D.

22b

a a

b --⋅>⋅

7．已知点()2,1A -，点),(y x P 满足线性约束条件20,10,24,x y x y +≥⎧⎪

-≤⎨⎪-≥⎩

O 为坐标原点，那么OP OA ⋅的最小值是

A. 11

B. 0

C. 1-

D. 5-

8．如图，各棱长均为1的正三棱柱111ABC A B C -，M ，N 分别为线段1A B ，1B C 上的动点，若点M ，N 所在直线与平面11ACC A 不相交， N

M

C 1

B 1

A 1

A ．

2 B ． 2

C ．1

D 第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上． 9．已知复数

2i i

a

-的实部与虚部相等，那么实数a =_______. 10．二项式6

12x x ⎛

⎫- ⎪⎝

⎭的展开式中的常数项是_______.

11．在极坐标系中，已知点A 是以2,

6π⎛

⎫

⎪⎝

⎭

为圆心，1为半径的圆上的点，那么点A 到极点的最大距离是_______.

12．已知点P 的坐标是()

，将OP 绕坐标原点O 顺时针旋转3

π

至OQ ，那么点Q 的横坐标是_______.

13．在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．已知小正方形网格的边长为1，那么该四面体的四个面中，面积最大的面的面积是_______.

14．已知函数()222x a x f x a x x ⎧+<=⎨-⎩

≥‚‚

‚无零点，那么实数

a 的取值范围是_______.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

15．（本题满分13分）

已知函数()π2sin cos sin 22f x x x x ⎛⎫

=+-

⎪⎝⎭

. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）求()f x 在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦

，上的最大值和最小值．

（Ⅰ）现用分层抽样的方法从这600人中抽取20人进行成绩分析，求其中成绩为优秀的学生人数； （Ⅱ）在（Ⅰ）中抽取的20名学生中，要随机选取2名学生参加活动，记“其中成绩为优秀的人数”为X ，

求X 的分布列与数学期望. 17．（本题满分14分）

如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中

，1AA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 为梯形， //AD BC ，

AB DC ==，11

22

AD AA BC ==

=， 点P ，Q 分别为11A D ，AD 的中点. （Ⅰ）求证：//CQ 平面1PAC ； （Ⅱ）求二面角1C AP D --的余弦值；

（Ⅲ）在线段BC 上是否存在点E ，使PE 与平面1PAC 所成角的正弦值是21

，若存在，求BE 的长；若不存在，请说明理由.

Q

P D 1

C 1

B 1

A 1

D

C

B A

已知椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>过点()0,1-，离心率2e =.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知点(),0P m ，过点()1,0作斜率为()0k k ≠直线l ，与椭圆交于M ，N 两点，若x 轴平分MPN ∠ ，求m 的值．

19．（本题满分13分）

已知函数()ln x a

f x x

-=

，a ∈R . （Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）对任意的()1,x ∈+∞，()f x >a 的取值范围.