简谐振动

（一）简谐振动

最简单和最基本的振动是简谐振动．任何复杂的振动，都可以看成为许多简谐振动的合成．

1．特点

质点作简谐振动的条件是：在任何时候所受到的力与质点离开平衡位置的位移成正比，其指向与位移相反，始终指向平衡位置．所受的力与位移的关系表示为

（7.1）

式中为正的常数．对于弹簧振子，就是弹簧劲度系数

2．运动的微分方程及其解

根据牛顿第二定律，作简谐振动的质点的微分方程写成

即

（7.2）

式中。如下面的（7.3）和（7.4）听示，是简谐振动的圆频率。

微分方程（7.2）的解是

（7.3）

或

（7.4）

式（7.3）也可以表为复数形式

（7.5）

但要约定取其实数部分．

利用三角公式，很容易导出A，和B，C之间的关系

即（7.6）

3．速度和加速度

作简谐振动的质点，它的速度和加速度很容易得到．只要将（7.3）对时间分别求导一次和求导两次即可，

（7.7）

（7.8）

式（7.1）、（7.2）、（7.3）、（7.4）、（7.5）都是判别一个系统是否作简道振动的依椐．

4．圆频率、周期和频率之间的关系

，，（7.9）

，，三者不是独立的，只要知道其中一个，就可以由（7.9）求出其余两个。它们是由振动系统的固有性质决定，常称为固有圆频率，固有周期和固有频率．

5．振幅和初周相

（7.3）中和是两个积分常数，可由初始条件决定．将初始条件：

“，，

”代入（7.3）和（7.7），得

（7.10）

解得

（7.11）

求解质点作简谐振动的具体运动情况，也就是要确定（7.3）中的，，三

个值．其中和由初始条件决定，因此一般来说，首先必须确定初始值和，而根据（7.10）或（7.11）求出和值．至于（或或），它是由系统固有性质决定的，与初始情况无关．例如对于弹簧振子，，完全由弹簧劲度系数和物体质量所决定．弹簧的大（即所谓硬的弹簧），振动的圆频率也就大。而物体的质量m大，就小．

6．简谐振动系统的能量

作简谐振动的质点动能为

（7.12）

振动系统弹性势能为

（7.13）

因此系统总机械能为

（7.14）

系统的动能和势能各随时间作周期性变化，在振动过程中动能和势能互相转换，而总机械能保持不变．这是简谐振动的一个特性．总机械能E与振动的振幅平方A2，振动的圆频率平方成正比．

动能和势能在一个周期内对时间的平均值分别是

（7.15）

注意和在一周期内对时间的平均值均等于1／2．这样，

（7.16）

7.弹簧振子、单摆和复摆

弹簧振子：

无摩擦的水平面上的弹簧振子的振动是简谐振动的典型例子(图7－1)．将坐标原点取在的平衡位置上，则物体所受的力如式(7.1)，运动微分方程如式（7.2），其解如式（7.3）或式（7.4）．振动周期

对于竖直悬挂的弹簧振子（图7－2）．在竖直方向，除了受弹性力作用外，还受重力作用．若选取坐标OX，竖直向下，原点O在弹簧既不伸长也不缩短的端点，则物体在任意位置所受到的力表为．除了弹力之外多了一项恒定的外力——重力．但是若将坐标原点取在物体重力作用下的平衡位置O’（显然O’在O之下面处，见图7－2），则物体在任意位置X’所受的力就可简单地表示为．这在形式上与水平弹簧振子相同在这种情况下，重力似乎可以不加考虑，同水平振子一样处理．

图7－1

单摆： 在摆角

很小情况下，单摆的摆动是简谐振动。

单摆的位置由角位移 决定．单摆摆锤受重力

和摆绳张力T 作用（图7-3）．摆

锤在竖直面上作圆周运动，如果仅考虑切向运动，则切向力为

．只

要

则

（弧度单位）， 因此切向力表为

（7.17）

负号表示切向力指向平衡位置，驱使

减小，是一恢复力．这种力具有弹性 力的特点，常称为准弹性力． 单摆的运动方程

由牛顿第二定律切向分量式决定

即

（7.18）

图7－ 2

图7-3

此式与微分方程（7.2）形式相同，所以单摆作

简谐振动，其振动圆频率为

（7.19）

振动周期．运动的表达式为

（7.20）

和为两个待定常数，由初始摆角和初始角速度决定

复摆:

一个可绕固定轴O摆动的刚体称复摆（图7－4）．当

在重力作月下平衡时，重力作用线通过O；设重心为

C （即质心），当偏离平衡位置时，复摆所受

的重力矩为．设复摆质量为m，摆对

O的转动惯量为I，并令，根据转动定律有

图7- 4

对于小角度的摆动，，

上式变为

（7.21）

此式也与（7.2）相仿，因此复摆也作简谐振动．

振动圆频率为

（7.22）

周期．运动表达式为

和同样是由初始条件决定的积分常数．拿（7.22）与（7.19）相比较，可把

称作复摆的等值摆长．

8．简谐振动的矢量图示法

设简谐振动在图7－5的OX轴上进行．由原点O作一矢量，它的长恰等于振幅A，这个矢量称为振幅矢量．t＝0时，振幅矢量A与轴正向所成的角等于初周相．这个矢量以数值等于圆频

率的角速度绕O作逆时针方

向匀速转动．在时刻t，振幅矢量在轴上

的投影为，恰好表示简谐振

动的位移．而振幅矢量的端点Q在轴

上的投影P点就在OX轴上作简谐振动．

Q点在一个圆上作匀速圆周运动，这个圆称

为参考圆．振幅矢量了旋转一周所需要的时

间与简谐振动的周期相同简谐振动是一种

图7－5

变速运动，而振幅矢量的转动却是匀速运

动．对初学者来说，匀速运动更易于掌握．同时，图示方法更形象、更直观．这种方法还为振动叠加的研究提供了最简洁的方法．

（二）阻尼振动

事实上无摩擦的简造振动只是理想情况．由于摩擦阻尼和辐射阻尼使简谐振动的能量逐渐减小，因而振幅也逐渐减小，这种振动称为阻尼振动．

1．运动的微分方程及其解

若所受的阻力与速度一次方成正比（在速度较小情况下的湿摩擦就是如此），阻力表

为

（7.23）