简单逻辑联结词

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

一、基础梳理

1．简单的逻辑联结词

(1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词．

(2)简单复合命题的真值表：

p q p∧q p∨q ¬p

真真

假真

真假

假假

2.全称量词与存在量词

(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．

(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．

(3)全称量词用符号“∀”表示；存在量词用符号“∃”表示．

3．全称命题与特称命题

(1)含有全称量词的命题叫全称命题．

(2)含有存在量词的命题叫特称命题．

4．命题的否定

(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．

(2)p或q的否定为：¬p且¬q；p且q的否定为：¬p或¬q.

一个关系

逻辑联结词与集合的关系

“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成

的命题问题．

两类否定

1．含有一个量词的命题的否定

(1)全称命题的否定是特称命题

全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p：∃x0∈M，¬p(x0)．

(2)特称命题的否定是全称命题

特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x)．

2．复合命题的否定

(1) ¬ (p∧q)⇔(¬p)∨(¬q)；

(2) ¬ (p∨q)⇔(¬p)∧(¬q)．

三条规律

(1)对于“p∧q”命题：一假则假；

(2)对“p∨q”命题：一真则真；

(3)对“¬p”命题：与“p”命题真假相反．

二、双基自测

一、选择题

1．(2011·北京)若p是真命题，q是假命题，则( )．

A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题

C．¬p是真命题D．¬q是真命题

2．(2011·山东日照调研)“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的() A．充要条件B．充分不必要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

3．设p、q是两个命题，则复合命题“p∨q为真，p∧q为假”的充要条件是 ( )．A．p、q中至少有一个为真B．p、q中至少有一个为假

C．p、q中有且只有一个为真D．p为真、q为假

4．(2011·潍坊模拟)下列说法错误的是() A．命题“若x2－4x＋3＝0，则x＝3”的逆否命题是：“若x≠3，则x2－4x＋3≠0”

B ．“x ＞1”是“|x |＞0”的充分不必要条件

C ．若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题

D ．命题p ：“存在x 0∈R 使得x 02＋x 0＋1＜0”，则¬p ：“任意x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”

5．由命题p ：“函数y ＝1

x

是减函数”与q ：“数列a ，a 2，a 3，…是等比数列”构成的复合

命题，下列判断正确的是 ( ) A ．p 或q 为真，p 且q 为假，非p 为真 B ．p 或q 为假，p 且q 为假，非p 为真 C ．p 或q 为真，p 且q 为假，非p 为假

D ．p 或q 为假，p 且q 为真，非p 为真

6．若函数f (x )＝x 2＋a

x (a ∈R )，则下列结论正确的是 ( )

A ．任意a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是增函数

B ．任意a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是减函数

C ．存在a ∈R ，f (x )是偶函数

D ．存在a ∈R ，f (x )是奇函数

7．已知命题“任意a ，b ∈R ，如果ab >0，则a >0”则它的否命题是 ( ) A ．任意a ，b ∈R ，如果ab <0，则a <0 B ．任意a ，b ∈R ，如果ab ≤0，则a ≤0 C ．存在a ，b ∈R ，如果ab <0，则a <0 D ．存在a ，b ∈R ，如果ab ≤0，则a ≤0

8．(人教A 版教材习题改编)已知命题p ：∀x ∈R ，sin x ≤1，则( )． A ．¬p：∃x 0∈R ，sin x 0≥1 B ．¬p：∀x ∈R ，sin x ≥1 C ．¬p：∃x 0∈R ，sin x 0>1 D ．¬p：∀x ∈R ，sin x >1

二、填空题

9．(2010·安徽)命题“对任何x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是___ ________________． 10．(2011·山东淄博调研)已知命题“存在x 0∈R ，使2 x 02＋(a －1) x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．

11．已知命题p ：函数f (x )＝log 0.5(3－x )的定义域为(－∞，3)；

命题q ：若k ＜0，则函数h (x )＝k

x

在(0，＋∞)上是减函数．

则下列结论中错误的是________．

①命题“p 且q ”为真；②命题“p 或¬q ”为假；

③命题“p 或q ”为假；④命题“¬p 且¬q ”为假．

12．命题p ：函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1满足f ⎝⎛⎭⎫π3＋x ＝f ⎝⎛⎭

⎫π

3－x ， 命题q ：函数g (x )＝sin(2x ＋φ)＋1可能为奇函数(φ为常数)，

则复合命题①“p 或q ”，②“p 且q ”，③“ ¬p ”中，真命题是________． 三、解答题

13．写出下列命题的否定，并判断真假．

(1)q ：任意x ∈R ，x 不是5x －12＝0的根； (2)r ：有些质数是奇数；