最新12导数的计算汇总

公 式 3 .若 f ( x ) s in x , 则 f '( x ) c o s x ;
公 式 4 .若 f ( x ) c o s x , 则 f '( x ) s in x ;
公 式 5 .若 f ( x ) a x , 则 f '( x ) a x ln a ( a 0 );
请注意公式中的条件是 nQ,但根据我们所掌握 的知识,只能就 nN*的情况加以证明.这个公式称为 幂函数的导数公式.事实上n可以是任意实数.
我们今后可以直接使用的
基本初等函数的导数公式
公 式 1 .若 f ( x ) Leabharlann Baidu , 则 f '( x ) 0;
公 式 2 .若 f ( x ) x n , 则 f '( x ) n x n 1 ;
公 式 3 .若 f ( x ) s in x , 则 f '( x ) c o s x ;
公 式 4 .若 f ( x ) c o s x , 则 f '( x ) s in x ;
公 式 5 .若 f ( x ) a x , 则 f '( x ) a x ln a ( a 0 );
公 式 6 .若 f ( x ) e x , 则 f '( x ) e x ;
公 式 7 .若 f ( x )
log a
x,则 f
'( x )
1 x ln a
(a
0,且 a
1);
公 式 8 .若 f ( x ) ln x , 则 f '( x ) 1 ; x
例用 两 种 方 法 求 y(2x23)(3x2) 的 导 数 解：法一：y (2 x 2 3 )(3 x 2 ) (2 x 2 3 )3 x ( 2 )
yf(xx)f(x); (3 ) 求 x极 限 ， 得 导 x函 数 y f(x ) lim y .
x 0 x
函数f(x)在点x0处的导数 f (x0) 就是导函数 f (x)在x= x0处的函数值,即f(x0)f(x)|xx0.这也是求函数在点x0 处的导数的方法之一。
3.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率.
•例 求曲线y=sinx在点 A(π/6,1/2)的切线方程
例 .已知P（-1，1），Q（2，4） 是曲线y=x2上的两点，求与直线PQ 平行的曲线y=x2的切线方程。
我们今后可以直接使用的
基本初等函数的导数公式
公 式 1 .若 f ( x ) c , 则 f '( x ) 0;
公 式 2 .若 f ( x ) x n , 则 f '( x ) n x n 1 ;
从而切线 y1方 3(程 x1)为 即 , 3xy40.
设直线m的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公 式得:
|b ( 4 )|1 0 |b 4 | 1, 0 b 6 或 b 1;4 3 2 1
故所求的直线m的方程为3x+y+6=0或3x+y-14=0.
练习:若直线y=3x+1是曲线y=ax3的切线,试求a的值.
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12导数的计算
知识回顾
1.导数的定义 x0 当xx0,平均变化 瞬 率时变化率
f
'(x0)lxim 0fxlxim 0 f(x0
x)f x
(x0)
叫函数在x=x0的导数 2.求函数的导数的方法是:
( 1 ) 求 函 数 的 增 量 y f( x x ) f( x ) ;
(2)求 函 数 的 增 量 与 自 变 量 的 增 量 的 比 值 :
公 式 6 .若 f ( x ) e x , 则 f '( x ) e x ;
公 式 7 .若 f ( x )
log a
x,则 f
'( x )
1 x ln a
(a
0,且 a
1);
公 式 8 .若 f ( x ) ln x , 则 f '( x ) 1 ; x
典型例题
• 解:由基本初等函数导数公式得: • P/(t)=1.05tln1.05 • P/ (10)=1.0510ln1.05≈0.08(年) • 所以,在第10个年头,这种商品的 • 价格约以0.08元/年的速度上涨.
解:设直线y=3x+1与曲线y=ax3相切于点P(x0,y0),则有: y0=3x0+1①,y0=ax03②,3ax02=3.③ 由①,②得3x0+1=ax03,由③得ax02=1,代入上式可得: 3x0+1=x0,x0=-1/2. 所以a•(-1/2)3=1,a=4.
教学后记： 有了上节课的基础，本节相对简单，轻松。
x f(x)Climy0.
x 0x
公式1: C0(C为 常 数 ).
求下列函数的导数:
2)y f (x) x, y'1
3 ) y f ( x ) x 2 , y' 2x
4)y
f (x)
1 x
,
y'
1 x2
已知y x，求y
思考
思考 (xn)nnx 1(n . Q )
(xn)
(n Q )
4.求切线方程的步骤： （1）求出函数在点x0处的变化率 f (x0)，得到曲线
在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
yf(x 0)f(x 0)x (x 0).
新课——几种常见函数的导数
根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数 公式.
1) 函数y=f(x)=c的导数. 解 :yf(x)C,yf(xx)f(x)CC,y0,
4 x (3 x 2 ) (2 x 2 3 )3 1x828x9
法二： y(6x34x29x6)
1x828x9
例
: 已知曲线 距离等于
y
10
,x求13 直在线点mP(的1,方1)处程的. 切线与直线m平行且
解 y： x 1 3,y(x 1 3)(x3) 3x4;
曲 线 P(1,在 1)处 的 切 线k 的 y|x 斜 13率 ,