高中数学第3章 3.3.1 几何概型 学案

§3.3几何概型

3.3.1几何概型

【明目标、知重点】

1．了解几何概型的定义及其特点．

2．了解几何概型与古典概型的区别．

3．会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率．

【填要点、记疑点】

1．几何概型的定义

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．

2．几何概型的特点

(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．

(2)每个基本事件出现的可能性相等．

3．几何概型的概率公式

P(A)＝

构成事件A的区域长度(面积或体积)

.

试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

【探要点、究所然】

[情境导学]在现实生活中，常常会遇到试验的所有可能结果是无穷多的情况，例如：一个正方形方格内有一内切圆，往这个方格中投一个石子，求石子落在圆内的概率，由于石子可能落在方格中的任何一点，这个实验不能用古典概型来计算事件发生的概率．对此，我们必须学习新的方法来解决这类问题．

探究点一几何概型的概念

思考1计算随机事件发生的概率，我们已经学习了哪些方法？

答(1)通过做试验或计算机模拟，用频率估计概率；(2)利用古典概型的概率公式计算．思考2某班公交车到终点站的时间可能是11：30～12：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一点上．这两个试验可能出现的结果是有限个，还是无限个？若没有人为因素，每个试验结果出现的可能性是否相等？

答出现的结果是无限个；每个结果出现的可能性是相等的．

思考3下图中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否

则乙获胜．你认为甲获胜的概率分别是多少？

答 以转盘(1)为游戏工具时，甲获胜的概率为1

2；以转盘(2)为游戏工具时，甲获胜的概

率为35

.

思考4 上述每个扇形区域对应的圆弧的长度(或扇形的面积)和它所在位置都是可以变化

的，从结论来看，甲获胜的概率与字母B 所在扇形区域的哪个因素有关？哪个因素无关？

答 与扇形的弧长(或面积)有关，与扇形区域所在的位置无关．

思考5 玩转盘游戏中所求的概率就是几何概型，你能给几何概型下个定义吗？参照古典概

型的特征，几何概型有哪两个基本特征？

答 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型；几何概型的基本特征：(1)可能出现的结果有无限多个；(2)每个结果发生的可能性相等． 思考6 古典概型和几何概型有什么相同点和不同点？

答 相同点：两者基本事件发生的可能性都是相等的；

不同点：古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个. 例1 判断下列试验中事件A 发生的概型是古典概型，还是几何概型．

(1)抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率； (2)思考3中，求甲获胜的概率．

解 (1)抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6＝36种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；

(2)游戏中指针指向B 区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分”，概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关，因此属于几何概型．

反思与感悟 判断一个概率是古典概型还是几何概型的步骤：(1)判断一次试验中每个基本事件发生的概率是否相等，若不相等，那么这个概率既不是古典概型也不是几何概型；(2)如果一次试验中每个基本事件发生的概率相等，再判断试验结果的有限性，当

试验结果有有限个时，这个概率是古典概型；当试验结果有无限个时，这个概率是几何概型．

跟踪训练1 判断下列试验是否为几何概型，并说明理由：

(1)某月某日，某个市区降雨的概率．

(2)设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A 连接，求弦长超过半径的概率．

解 (1)不是几何概型，因为它不具有等可能性；(2)是几何概型，因为它具有无限性与等可能性．

探究点二 几何概型的概率公式

问题 对于具有几何意义的随机事件，或可以化归为几何问题的随机事件，一般都有几何概

型的特性，那么，对于属于几何概型的试验，如何求某一事件的概率？有没有求几何概型的概率公式呢？

思考1 有一根长度为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段的长度都不小

于1 m 的概率是多少？你是怎样计算的？

答 从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为3 m 的绳子上的任意一点．

如上图，记“剪得两段的长都不小于1 m ”为事件A .把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A 发生．由于中间一段的长度等于绳长的1

3，

于是事件A 发生的概率P (A )＝1

3

.

思考2 射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环，从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，

靶心是金色，金色靶心叫“黄心”．奥运会射箭比赛的靶面直径是122 cm ，黄心直径是12.2 cm ，运动员在距离靶面70 m 外射箭．假设射箭都等可能射中靶面内任何一点，那么如何计算射中黄心的概率？

答 如右图，由于中靶点随机地落在面积为1

4×π×1222 cm 2的大圆内，

若要射中黄心，则中靶点落在面积为1

4

×π×12.22 cm 2的圆内，

所以P ＝1

4

×π

×12.2214

×π×1222＝0.01.

思考3 在装有5升纯净水的容器中放入一个病毒，现从中随机取出1升水，那么这1升水

中含有病毒的概率是多少？你是怎样计算的？

答 概率为1

5，由于病毒在5升水中的哪个位置的可能性都有，1升水中含有病毒的概

率为1升水的体积除以5升水的体积．

思考4 根据上述3个思考中求概率的方法，你能归纳出求几何概型中事件A 发生的概率的

计算公式吗？ 答 P (A )＝

构成事件A 的区域长度(面积或体积)

试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

.

例2 某公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求乘客

候车时间不超过6分钟的概率．

解 如下图所示，设上辆车于时刻T 1到达，而下辆车于时刻T 2到达，则线段T 1T 2的长度为10，设T 是线段T 1T 2上的点，且TT 2的长为6，记“等车时间不超过6分钟”为事件A ，则事件A 发生即当点t 落在线段TT 2上，即D ＝T 1T 2＝10，d ＝TT 2＝6.所以P (A )＝d D ＝610＝35

. 故乘客候车时间不超过6分钟的概率为3

5

.

反思与感悟 数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．利用图解题的关键：首先用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的几何区域，然后根据构成这两个区域的几何长度(面积或体积)，用几何概型概率公式求出事件A 的概率．

跟踪训练2 某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率．

解 记“等待的时间小于10分钟”为事件A ，打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内则事件A 发生．

由几何概型的概率公式求得P (A )＝60－5060＝16

，