概率问题、分布问题选讲

概率问题选讲
严禁烟火问题
当我们进入林区时或进入汽车加油站时都能看见醒目的标志牌“严禁烟火”.请用所 学过的概率知识阐述之.
解: 虽然一次用火引起的火灾的概率非常的小，但多次的用火仍然安全吗?
分房问题
设有n 个人，每个人都等可能地被分配到N 个房间中的任意一间去住()≤n N .求下列
事件的概率.
（1）指定的n 个房间各有一个人住； （2）恰好有n 个房间，其中各住一个人.
生日问题
某班级打算对每位同学举行生日活动，该班级有n 位学生. 问该班级至少有两人的生日 在同一天的概率为多少?
抽签问题
盒中有a 只黑球，b 只白球，它们除颜色不同外，其他方面没有差别. 现把球随机的一 只只摸出来，求第k 次摸出的一只球是黑球的概率(1)≤≤k a b +. 解法一
把a 只黑球与b 只白球都看作是不同的（例如把它们都编上不同的号），若把摸出的球 依次放在排列成一直线的a b +个位置上，则可能的排法总数为()!a b +. 第k 次摸得黑球有
a 种方法，而另外(1)a
b +-个位置有(1)!a b +-种排法，于是所求概率为
(1)!()!k a a b a
P a b a b
+-=
=
++. 这个结果与k 无关！仔细想一下，就会发现这个结果与我们的生活经验是一致的. 例如在体 育比赛中进行的抽签，对各队的机会均等与抽签的先后次序是无关地.
解法二
把a 只黑球看作是没有区别的，把b 只黑球也看作是没有区别的. 把摸出的球依次放 在排列成一直线的a b +个位置上. 若把a 只黑球的位置固定下来则其他位置必然是放白球，
而黑球的位置有()
a b a +种放法，由于第k 次摸得黑球，这个位置必然放黑球，剩下的黑球
可以放在(1)a b +-个位置上的任意1a -个位置，因此共有()
11a b a +--种放法，于是所求概率为
()()1
1有利于场合数试验可能总数k
a b a a b a
a
P a b +-
-+===+.
n
10 20 23 30 40 50 ⋅⋅⋅ P
0.12
0.41
0.51
0.71
0.89
0.97
⋅⋅⋅
解法三
第k 次摸得黑球有a 种可能，而第k 次摸球总共有a b +种可能，于是所求的概率为
=
k a
P a b
+.
会面问题（几何概率）
两人相约晚间7点到8点在某地点会面，先到者等候另一人20分钟，如果另一人没来 这时先到者可以离去，试求这两人能够会面的概率. 解: 以,x y 分别表示两人到达的时刻，则两人会面的 充要条件是：||20≤x y -.
可能的结果的全体是边长为60的正方形里所有的点， 能会面的点的区域用阴影标出.于是所求概率为
22260405609
P -==.
Buff 蒲丰投针问题
平面上画着一些平行线，它们之间的距离都相等于a ，向此平面任投一长度为()d d a <
的针，试求此针与任一平行线相交的概率.
匹配问题
某人给他的n 位好朋友每人写了一封信，又写好n 只署名的信封，然后在黑暗中把每封 信放入一只信封中，试求至少有一封信放对的概率.
解: 若以i A 记第i 封信与信封符合，则所求事件为1
2n A A A ⋅⋅⋅，所以可以用概率的加法 公式，不难求得
1
()i P A n
=，
(2)!1
()!(1)
i j n P A A n n n -==
-， 1
()(1)(2)
i j k P A A A n n n =--，
……………………………
1
()!
n i j P A A A n ⋅⋅⋅=.
于是
()()()
1121111
()(1)123(1)(1)(2)!
n n n n n P A A A n n n n n n n -⋅⋅⋅=-+-⋅⋅⋅+----
11111(1)2!3!!
n n -=-+-⋅⋅⋅+-.
这个问题若要直接计算有利场合数，那将是非常复杂的.
60
20
60
20O
y x
Pólya 波利亚罐模型
罐中有b 只黑球及r 只红球，随机取出一只，把原球放回，并加进与抽出球同色的球c 只，再摸第二次，这样下去共摸了n 次，问前面的1n 次出现黑球，后面的21n n n =-次出现 红球的概率是多少?
解: 以1A 表示第一次摸出黑球这一事件，……，1n A 表示第1n 次摸出黑球，11n A +表示第11n + 次摸出红球，……，n A 表示第n 次摸出红球.于是
1()b
P A b r
=
+， 21
(|)b c
P A A b r c +=++， 3122(|)2b c
P A A A b r c +=
++， ………………………………
1111211(1)(|)(1)n n b n c
P A A A A b r n c
-+-⋅⋅⋅=
++-， 111121(|)n n r
P A A A A b r n c
+⋅⋅⋅=
++，
1121211(|)(1)n n r c
P A A A A b r n c
+++⋅⋅⋅=
+++，
………………………………
121(1)(|)(1)n n r n c
P A A A A b r n c
-+-⋅⋅⋅=
++-. 因此 112111(1)(1)2()2(1)(1)(1)n b n c r n c b b c b c b c r r c
P A A A b r b r c b r c b r c b r n c b r n c b r n c b r n c
+-+-++++⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
+++++++++-+++++++-.
这个答案只与黑球及红球出现的次数有关，而与黑球及红球出现的顺序无关.这个模型 可用来作为描述传染病的数学模型.特别地取0c =，则是有放回摸球；取1c =-，则是不 放回摸球.
例: 送检的两批灯泡在运输的途中各打碎了一支.若每批十支，而第一批中有1支次品，第二
批中有2支次品.现从剩下的灯泡中任取一支，问抽得次品的概率是多少?
解: 以B 表示抽得次品这一事件，为了求其概率，要考虑抽得的灯泡出自哪一批中.
以A 表示灯泡出自第一批，那么A 表示灯泡出自第二批.于是有9()18P A =
，9()18
P A =. 为了计算(|)P B A 还必须分别考虑第一批中打碎的是次品还是好品，因此有
1911
(|)01010910
P B A =⨯+⨯=.
同理
21822
(|)10910910
P B A =⨯+⨯=.
于是得
3()()(|)()(|)20
P B P A P B A P A B A =+=
. （还有其他的解法吗?）
概率分布选讲
Bernoulli 伯努利分布
只进行一次伯努利试验，则事件A 出现或事件A 出现，其概率是: ()P A p =或()P A q =. 且1p q +=称为伯努利分布.
二项分布
在n 次独立重复试验中，事件A 发生k 次的概率，用(;,)b k n p 表示.
几何分布
在n 次独立重复试验中，首次成功出现在第k 次试验的概率.
分析: 要使首次成功出现在第k 次试验，就必须而且只须在前面1k -次试验中都出现事件
A ，而第k 次试验出现A ，设121k k k A A A A -Ω=⋅⋅⋅. 利用事件的独立性，得
1
121()()()()()k k k k P P A P A P A P A q
p --Ω=⋅⋅⋅=. 记
1(;)k g k p q p -=，1,2,3,,k n =⋅⋅⋅.
这是几何级数的一般项，称为几何分布.
例: 一人晚上醉酒回家要打开门，他有n 把钥匙，其中仅有一把是能打开门的钥匙.他随机 地取出一把钥匙开门，若次钥匙打不开就把它放到一边去，求这人第k 次才打开门的概 率是多少?
Pascal 巴斯卡分布
考虑相继的伯努利试验，要多长才会出现第r 次成功? 分析: 若第r 次成功发生在第k 次实验，那么必然有≥k r .
用C k 表示第r 次成功发生在第k 次实验这件事，并以(;,)f k r p 记其概率，C k 发生 当且前面的次试验中有1k -次成功，k r -次失败，而第k 次试验的结果为成功，这些 事件的概率分别为()
111r k r k p q r ----与p . 于是利用试验的独立性，可得
()()
111(C )11
r k r r k r k k k P p q p p q r r -----=⋅=--.
即
()
1(;,)1
r k r k f k r p p q r --=-，,1,k r r =+⋅⋅⋅ 特别地，当r =1时，我们得到几何分布.
分赌注问题
甲乙两个赌徒按某种方式下注赌博，说定先胜局者将赢得全部的赌注，但进行到甲胜r 局，乙s 胜局(,)r t s t <<时，因有突发事故不得不中止赌博，试问甲乙如何分配这些赌注才公平合理?
Banach 火柴盒问题
数学家的左右衣袋中各放有一盒装有N 根火柴的火柴盒，每次抽烟时任取一盒用一根，求发现一盒用完时，另一盒还有r 根的概率.
分析: 可以看作是12
p =的伯努利试验.要左边空而右边还剩r 根，应该是左边摸过1N + （前N 次用去N 根火柴，最后一次发现火柴盒是空的），而右边摸过N r -次，这事件 的概率为
()
21
112(21;1,)2
2N r N r f N r N N -+⎛⎫
--++= ⎪
⎝⎭.
对右边先空的情形可同样的考虑，因此所求的概率为
()
21122(21;1,)2
2N r
N r f N r N N -⎛⎫
--++= ⎪
⎝⎭.
练习
1．在装有号码1,2,,N ⋅⋅⋅的球的箱子中有放回地摸了n 次球()≤n N ，依次记下其号码， 试求这些号码按严格上升次序排列的概率.
2．任意从数列1,2,,N ⋅⋅⋅中不放回地取出n 个数并按大小排列成12m n a a a a <<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅<，
求(1)≤≤m a M m N =的概率.
()()()
11!M N M m n m N n n ----
3．从6双不同的手套中任取4只，问其中恰有一双配对的概率是到少?
4．从n 双不同的鞋子中任取2r (2)r n <只，求下列事件发生的概率. （1）没有成对的鞋子； （2）只有一对鞋子； （3）恰有两对鞋子； （4）有r 对鞋子.
5．袋中有n 只球，记有号码1,2,,N ⋅⋅⋅的球各一只，采用（1）有放回；（2）不放回方式摸球.
试求在第k 次摸球时首次摸到1号球的概率.
()()
1(1)!
1!N k k N k k ---
6．（分赌注问题）甲乙二人各出赌注a 注，约定谁先胜三局就赢得全部的赌注.现已赌三局， 甲二胜一负，这时因故中止赌博.若二人的赌技相同，问应该如何分配赌注才算公平合理?
7．在扑克牌游戏中（从52张牌中任取5张），求下列事件的概率. （1）以A 打头的同花顺次的五张牌； （2）其他同花顺次五张牌； （3）有四张牌同点数；
（4）三张同点数且另外二张也同点数； （5）五张同花；
（6）异花顺次五张牌；
（7）三张同点数另外两张不同点数； （8）五张中有二对； （9）五张中有一对； （10）其他情况.
8．在一张打上方格的纸上投一枚直径为1的硬币，方格要多小时才能使硬币与线不相交 的概率小于1%.
9．从(0,1)中随机地取两个数，求下列事件的概率. （1）两数之和小于1.2； （2）两数之积小于14
； （3）以上两个要求同时满足.
10．某士兵班有N 个士兵，每人各有一把枪，这些枪的外形完全一样.在一次夜间紧急集合
中，若每人随机地取走一把枪，问至少有一人拿到自己枪的概率是多少?
11111(1)2!3!!
n n --+-⋅⋅⋅+-
11．在上题中求恰好有(0)≤≤k k N 个人拿到自己的枪的概率.
()
2(1)!A
j N k
j k
N
N k j P -=⎛⎫
- ⎪⎝⎭=∑
12．甲、乙、丙三人按下面的规则进行比赛.第一局由甲、乙参加而丙轮空，由第一局的优
胜者与丙进行第二局比赛，而失败者则轮空.比赛用这种方式一直进行到一个人连胜二 局为止，连胜二局者成为整场比赛的优胜者. 若甲、乙、丙胜每局的概率各为0.5. 问: 甲、乙、丙成为整场比赛优胜者的概率各是到少?。