概率问题、分布问题选讲

概率问题选讲

严禁烟火问题

当我们进入林区时或进入汽车加油站时都能看见醒目的标志牌“严禁烟火”.请用所 学过的概率知识阐述之.

解: 虽然一次用火引起的火灾的概率非常的小，但多次的用火仍然安全吗?

分房问题

设有n 个人，每个人都等可能地被分配到N 个房间中的任意一间去住()≤n N .求下列

事件的概率.

（1）指定的n 个房间各有一个人住； （2）恰好有n 个房间，其中各住一个人.

生日问题

某班级打算对每位同学举行生日活动，该班级有n 位学生. 问该班级至少有两人的生日 在同一天的概率为多少?

抽签问题

盒中有a 只黑球，b 只白球，它们除颜色不同外，其他方面没有差别. 现把球随机的一 只只摸出来，求第k 次摸出的一只球是黑球的概率(1)≤≤k a b +. 解法一

把a 只黑球与b 只白球都看作是不同的（例如把它们都编上不同的号），若把摸出的球 依次放在排列成一直线的a b +个位置上，则可能的排法总数为()!a b +. 第k 次摸得黑球有

a 种方法，而另外(1)a

b +-个位置有(1)!a b +-种排法，于是所求概率为

(1)!()!k a a b a

P a b a b

+-=

=

++. 这个结果与k 无关！仔细想一下，就会发现这个结果与我们的生活经验是一致的. 例如在体 育比赛中进行的抽签，对各队的机会均等与抽签的先后次序是无关地.

解法二

把a 只黑球看作是没有区别的，把b 只黑球也看作是没有区别的. 把摸出的球依次放 在排列成一直线的a b +个位置上. 若把a 只黑球的位置固定下来则其他位置必然是放白球，

而黑球的位置有()

a b a +种放法，由于第k 次摸得黑球，这个位置必然放黑球，剩下的黑球

可以放在(1)a b +-个位置上的任意1a -个位置，因此共有()

11a b a +--种放法，于是所求概率为

()()1

1有利于场合数试验可能总数k

a b a a b a

a

P a b +-

-+===+.

n

10 20 23 30 40 50 ⋅⋅⋅ P

0.12

0.41

0.51

0.71

0.89

0.97

⋅⋅⋅

解法三

第k 次摸得黑球有a 种可能，而第k 次摸球总共有a b +种可能，于是所求的概率为

=

k a

P a b

+.

会面问题（几何概率）

两人相约晚间7点到8点在某地点会面，先到者等候另一人20分钟，如果另一人没来 这时先到者可以离去，试求这两人能够会面的概率. 解: 以,x y 分别表示两人到达的时刻，则两人会面的 充要条件是：||20≤x y -.

可能的结果的全体是边长为60的正方形里所有的点， 能会面的点的区域用阴影标出.于是所求概率为

22260405609

P -==.

Buff 蒲丰投针问题

平面上画着一些平行线，它们之间的距离都相等于a ，向此平面任投一长度为()d d a <

的针，试求此针与任一平行线相交的概率.

匹配问题

某人给他的n 位好朋友每人写了一封信，又写好n 只署名的信封，然后在黑暗中把每封 信放入一只信封中，试求至少有一封信放对的概率.

解: 若以i A 记第i 封信与信封符合，则所求事件为1

2n A A A ⋅⋅⋅，所以可以用概率的加法 公式，不难求得

1

()i P A n

=，

(2)!1

()!(1)

i j n P A A n n n -==

-， 1

()(1)(2)

i j k P A A A n n n =--，

……………………………

1

()!

n i j P A A A n ⋅⋅⋅=.

于是

()()()

1121111

()(1)123(1)(1)(2)!

n n n n n P A A A n n n n n n n -⋅⋅⋅=-+-⋅⋅⋅+----

11111(1)2!3!!

n n -=-+-⋅⋅⋅+-.

这个问题若要直接计算有利场合数，那将是非常复杂的.

60

20

60

20O

y x

Pólya 波利亚罐模型

罐中有b 只黑球及r 只红球，随机取出一只，把原球放回，并加进与抽出球同色的球c 只，再摸第二次，这样下去共摸了n 次，问前面的1n 次出现黑球，后面的21n n n =-次出现 红球的概率是多少?

解: 以1A 表示第一次摸出黑球这一事件，……，1n A 表示第1n 次摸出黑球，11n A +表示第11n + 次摸出红球，……，n A 表示第n 次摸出红球.于是

1()b

P A b r

=

+， 21

(|)b c

P A A b r c +=++， 3122(|)2b c

P A A A b r c +=

++， ………………………………

1111211(1)(|)(1)n n b n c

P A A A A b r n c

-+-⋅⋅⋅=

++-， 111121(|)n n r

P A A A A b r n c

+⋅⋅⋅=

++，

1121211(|)(1)n n r c

P A A A A b r n c

+++⋅⋅⋅=

+++，

………………………………

121(1)(|)(1)n n r n c

P A A A A b r n c

-+-⋅⋅⋅=

++-. 因此 112111(1)(1)2()2(1)(1)(1)n b n c r n c b b c b c b c r r c

P A A A b r b r c b r c b r c b r n c b r n c b r n c b r n c

+-+-++++⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

+++++++++-+++++++-.

这个答案只与黑球及红球出现的次数有关，而与黑球及红球出现的顺序无关.这个模型 可用来作为描述传染病的数学模型.特别地取0c =，则是有放回摸球；取1c =-，则是不 放回摸球.

例: 送检的两批灯泡在运输的途中各打碎了一支.若每批十支，而第一批中有1支次品，第二

批中有2支次品.现从剩下的灯泡中任取一支，问抽得次品的概率是多少?

解: 以B 表示抽得次品这一事件，为了求其概率，要考虑抽得的灯泡出自哪一批中.

以A 表示灯泡出自第一批，那么A 表示灯泡出自第二批.于是有9()18P A =

，9()18

P A =. 为了计算(|)P B A 还必须分别考虑第一批中打碎的是次品还是好品，因此有

1911

(|)01010910

P B A =⨯+⨯=.

同理

21822

(|)10910910

P B A =⨯+⨯=.

于是得

3()()(|)()(|)20

P B P A P B A P A B A =+=

. （还有其他的解法吗?）