第四章 积分变换法

解：由自变量的取值范 围，对 x 进行傅立叶变换，设
u x, t U , t u x,t ei xdx

f x F
那么方程转变为
dU ,

t 2U , t
dt
U , t |t0 F
第四章 积分变换法
4.1 傅立叶变换的概念和性质 4.2 傅立叶变换的应用 4.3 拉普拉斯变换的概念和性质 4.4 拉普拉斯变换的应用
4.1 傅立叶变换的概念和性质
定义：假设 I 是数集(实数或者复数)，K(s,x) 为 I [a,b] 上的函数,这里 [a,b]为任意区间。如果 f(x) 在区间 [a,b] 有定义, 且 s I, K(s,x) f(x) 为 [a,b] 上可积函数, 则含参变量积分
a 0
由初始条件 U (,t) ()cosat () sinat a

1
a
t
0
fˆ (, ) sina(t

) d
4.2 傅立叶变换的应用
注意到 ()cosat 1 [()eiat ()eiat ]
2
取傅立叶逆变换，得
F 1[()cosat] 1 [ x at x at ]

f x s e 4t ds.
2 t
F f g F f F g F 1 F f F g f g
4.2 傅立叶变换的应用
例 用积分变换法解方程：
u t

2u x2

f
( x, t )
u x,0 x
)F

1
x2
e 4(t ) d .
2 t 0
2 (t )

上式两边关于x作逆傅立叶变换，得
4.2 傅立叶变换的应用
u x,t F 1 U(,t)


F 1 F
1
x2 e 4t

2 t
F f (n) (i)n F f
4.1 傅立叶变换的概念和性质
3)对傅立叶变换后的函数求导数
d F f F[ix f ( x)]
d
dn
d n
F
f

F[(ix)n
f ( x)]
4) 卷积性质
设 f(x)，g(x) 在 (,) 上绝对可积, 定义卷积：
6) 平移性质 F[ f ( x y)] ei y F ( f ), y R.
4.1 傅立叶变换的概念和性质
思考： 对于u(x,y), 若以 y 为参数, 对 x 作傅立叶变换
u x, y FouxrierU , y
由傅立叶变换的线性性质
u y

x,
y
1

F ei xd
记作：f
2
(x)

F
1[F
(
)]
4.1 傅立叶变换的概念和性质
傅立叶变换具有如下性质:
1)线性性质：设 f,g是绝对可积的函数， , 为数
F f g F( f ) F(g)
2)微分运算性质
F f iF f
L(eat ) 1 , pa
L(cos at)
p p2 a2
4.3 拉普拉斯变换的概念和性质
2)线性性质
L f g L f L g
3) 微分性质 若 F( p) L[ f (t)], 则
L[ f 't ] pF p f 0,
U , t |t0 ,
dU ,
dt
t |t0
4.2 傅立叶变换的应用
解常微分方程：
ω是参数
d 2U ,
dt 2
t a2 2U , t
fˆ ,t
的通解为
U (,t) Ccosat Dsinat
1 t fˆ(, )sina(t ) d
x R,t 0
解： 作关于x 的傅立叶变换。设

ux,t U ,t ux,tei xdx
f x,t fˆ ,t



x





方程变为
dU ,

t 2U ,t
fˆ ,t
dt
U , t |t0
Fouxrier
U
,
y
y

d dy
U
,
y
是参数
同理,
2u y2

x,
y

Fouxrier
d2 dy2
U
,
y

4.2 傅立叶变换的应用
4.2 傅立叶变换的应用
例 用积分变换法解方程：
u 2u

t

x 2
,
t 0, x R .
u x, 0 f x
t是参数
解：作关于 x 的傅立叶变换。设
ux,t U ,t, f x,t fˆ ,t,
(x) (), (x) ().
4.2 傅立叶变换的应用
于是原方程变为
d 2U ,
dt 2
t a22U ,t
fˆ ,t
满足初始条件
4.3 拉普拉斯变换的概念和性质
若 F ( p) 是 f (t)的拉普拉斯变换，则 f (t) 称为 F ( p)的拉普拉斯逆变换，记作：
f (t) L1[F( p)] 基本性质：
1)基本变换:
L(t n )
n! pn1 , n 0,1, 2L
,
a L(sin at ) p2 a2 ,
gat (x)
1 a
t 0
f
ga(t ) (x)d
U
(, t )

()cosat

()
sinat a

1
a
t
0
fˆ (,
) sina (t

)
d
F 1[()cosat] 1 [ x at x at ]
F 1
b
K s, x f xdx : F s
a
定义了一个从 f(x) 到 F(s) 的变换, 称为积分变换, K(s,x) 为变换的核。
常见的积分变换有傅立叶变换和拉普拉斯变换。
4.1 傅立叶变换的概念和性质
傅立叶变换 假设 f(x) 在(,)上有定义，在(,) 上绝对 可积，在任一有限区间上有有限个极大值、极小 值，且至多有有限个第一类不连续点，则函数
1
2


ei xd

f (t )ei t
dt


f (t) f (t 0) f (t 0)
2
t是连续点 t是第一类间断点
特别的，当 f(x) 连续时
f
x
1


ei xd f (t )ei t dt
2

➢傅立叶逆变换定义为： f x

t
fˆ (, )F

1
x2
e 4(t ) d
0
2 (t )

*
1
x2
e 4t
2 t
t
f ( x, )*
1
x2
e d 4(t )
0
2 (t )

1


( x )2
e 4t d
1 a
t 0
f
ga(t ) (x)d
1 [ x at x at ]
2

1
x at

s ds 1
xa(t )
t
d
f s, ds
2a xat
2a 0 xa(t )
4.3 拉普拉斯变换的 概念和性质
4.3 拉普拉斯变换的概念和性质
L[ f ''t] p2F p p f 0 f '0, L[ f n t ] pnF p pn1 f 0 pn2 f '0
L f n1 0 .
4.3 拉普拉斯变换的概念和性质
4) 积分性质
L

t 0
sinat


2 g at
(x)

1 , 2 0,

at
x 其它
at
4.2 傅立叶变换的应用
所以 U (,t) 取傅立叶逆变换，得
u x,t 1 [ x at x at ]
2
t是参数
1
a
gat (x)


f (x) g x f x t g t dt f t g x t dt


则 Fຫໍສະໝຸດ Baidu f g F f F g
4.1 傅立叶变换的概念和性质
5) 乘积运算
F f g 1 F f F g.
2 ➢傅立叶变换在乘积运算和卷积运算之间建立 了一个对偶关系。
1. t 0, f (t) 0 2. t 0, f (t) 在任意有限区间上分段连续 3. f (t) 的增长速度不超过一个指数函数，即
| f (t ) | Mes0t , 0 t , M , s0 0 则：f (t)的Laplace变换在半平面Re p s0 存在。
F ei x f x dx.
称为f(t)的傅立叶变换。 记作：F () F[ f ( x)]
即是区间[a,b] (,) 上，核为 K , x ei x
的积分变换
4.1 傅立叶变换的概念和性质
➢傅立叶积分定理：当 f(x) 满足上述条件时，有
4.2 傅立叶变换的应用
解得 U ,t F e2t .
为了求出原方程的解,下面对 U ,t 关于 进行
傅立叶逆变换. t是参数
u x, t f x F 1 e2t
f x
1
x2
e 4t
2 t
1
s2
4.2 傅立叶变换的应用
可解得 U , t e2t t fˆ (, )e2 (t ) d . 0
而
F
1
x2
e 4t


e2t
2 t
则

U ,t F
1
x2

e 4t
t
fˆ (,
f
sds

1 F
p
p
5) 对拉普拉斯变换求导 F (n)( p) L[(t )n f (t )]
6) 位移性质 L eat f t F p a
7) 延迟性质 L f t s e psF p
4.3 拉普拉斯变换的概念和性质
1
t
d

f
(
,
( x )2
)e 4(t )
d
2 t
2 0 t
4.2 傅立叶变换的应用
例 用积分变换法求解初值问题：

utt a2uxx
u |t0 x
f
(x,t)
ut |t0 x
( x , t 0)
2
而
F
1
sina t


gat
(x)
其中：
gat
(x)

1 2
,

at

x

at
0, 其它
4.2 傅立叶变换的应用
所以 U (,t) 取傅立叶逆变换，得
u x,t 1 [ x at x at ]
2
t是参数

1
a
L
:
f
t

F

p


0
f
t e ptdt.
拉普拉斯变换的积分核为 e pt , t 0, ,
4.3 拉普拉斯变换的概念和性质
（单边）拉普拉斯变换对函数 f(t) 的要求：
f (t) 在 [0,) 上有定义,且积分 f t e ptdt. 0
在复参数 p 的某个区域内收敛。 定理：若函数f(t)满足下列条件：
拉普拉斯变换
傅立叶变换要求函数 f 在 (,)有定义并且绝对 可积。很多常见函数，如常函数，多项式，三角 函数等都不满足条件。以时间 t 为自变量的函数 在区间 (,0) 也无意义。这些都限制了傅立叶变 换的应用。为此引入拉普拉斯 (Laplace) 变换。
（单边）拉普拉斯变换： F( p) L[ f (t)]