黑龙江省哈尔滨市第六中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题(解析版)

【答案】（1）
；
（2）
.
【解析】
【分析】
（1）将 和
化成 和 的形式，求解出基本量后得到 ；根据 和 求解出 和 ，
从而得到 ；（2）根据（1）得到 ，采用分组求和的方法分别求解等差和等比数列的和，加和
得到结果.
【详解】（1）由题意得：
，即
又
，可知：
，
（2）由（1）得：
，即
【点睛】本题考查等差数列、等比数列通项公式 求解、分组求和法求数列的前 项和的问题，
【详解】
，
， ，则
B.
C.
；再通过平方运算可得 ，可求得所求最大值.
的最大值为（ ） D.
，根据
又
本题正确选项： 【点睛】本题考查向量模长最值的运算，解题关键是能够通过平方运算将问题转化为模长和夹 角的运算问题，再根据夹角余弦值的范围得到所求模长的最值.
12.已知数列 ，
，且对于任意
都有
，则实数 的取值范
向得到符号.
4.各项不为零的等差数列 中，
，数列 是等比数列，且
，则
（）
A. 4
B. 8
C. 16
【答案】D
【解析】
【分析】
根据等差数列性质可求得 ，再利用等比数列性质求得结果.
D. 64
【详解】由等差数列性质可得：
又 各项不为零
，即
由等比数列性质可得：
本题正确选项： 【点睛】本题考查等差数列、等比数列性质的应用，属于基础题.
22.已知数列 前 项和为 ，满足
(1)证明：数列
是等差数列，并求 ；
（2）设
，求证：
【 答 案 】（ 1 ） 由
知，当
时，
，即
，所以
，对 成立．又
，所以
是首项为 1，公差为 1 等差数列．所以
，即
．
的 （2）因为
，所以
【解析】 （1）由
可得，当 时，
． ，两式相减可
等差数列，结合等差数列的通项公式可求 利用裂项相消法可求和，即可证明． 试题分析：（1）（2）
进而可求（2）由（1）可得
是 ，
试题解析：（1）由
知，当
即
所以
而
故数列
是以 1 为首项，1 为公差的等差数列，且
（2）因为 所以
考点：数列递推式；等差关系的确定；数列的求和
，那么数列 C.
前 项和 为（ ） D.
【答案】B 【解析】 【分析】 归纳总结出数列 的通项公式，从而得到 ；采用裂项相消的方式求得 .
【详解】由题意可知：
本题正确选项： 【点睛】本题考查裂项相消法求数列的前 项和的问题，关键是能够通过归纳总结得到数列的通 项公式.
11.向量 的夹角为 A. 【答案】C 【解析】 【分析】 首先求解出
围是（ ）
A.
B.
【答案】D 【解析】 【分析】
根据等比数列求和公式可得：
【详解】
的C.
D.
；由
可知 .
，则： 本题正确选项： 【点睛】本题考查等比数列求和问题，关键是能够通过 的通项公式得到 为等比数列，从而 利用等比数列求和公式求得结果.
第 II 卷（非选择题共 90 分） 二.填空题（本大题共 4 小题,每题 5 分.）
加法来求解通项公式.
16.若数列 各项均不为零，前 n 项和为 ，且
，则
______
【答案】 .
【解析】
【分析】
根据递推关系式可整理得：
；由此可知数列的奇数项和偶数项分别成等差数列，
通过等差数列求和公式分别求得结果，加和即可.
【详解】由
得：
，且
，即
又 数列
数列
的奇数项是以 为首项， 为公差的等差数列；偶数项是以 为首项， 为公差的等差
【详解】（1）由题意知：
又
（2）由（1）得：
则： 上下两式作差得：
即：
整理可得： 【点睛】本题考查等差数列、等比数列通项公式的求解，错位相减法求数列的前 项和的问题， 关键是通过得到通项公式后，根据通项公式为等差数列与等比数列乘积的形式，可确定采用错 位相减法求和.
20.在锐角 中，角 所对的边是 ，若向量
【详解】（1）由题意得：
由正弦定理得： （2）延长 到 ，使得
，如下图所示：
由向量运算可知： 即四边形 为平行四边形，又
在 中，由余弦定理可得：
由（1）知：
，解得： ，
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用问题，关键是能够通 过向量关系将三角形扩展到平行四边形，从而在扩展后所得三角形中利用余弦定理构造方程， 从而求解出所需的边长.
故： 据此可得：
，且
，则
__________.
，
，
， .
15.在数列 中，
，
，则 _________________
【答案】
.
【解析】
【分析】
通过变形可得
；通过累加的方式求得 .
【详解】由题意得：
则
，
，
，……
左右两侧分别作和可得：
又
本题正确结果：
【点睛】本题考查根据递推关系求解数列的通项公式，关键是根据递推关系的形式确定采用累
8.在 中，内角 所对应的边分别为 ，若
，且三边 成等比数列，
则 的值为（ ）
A.
B.
【答案】C 【解析】 试题分析：在
中，由
以
，得 ，由余弦定理得
成等比数列，所以
，所以
考点：正弦定理与余弦定理的应用．
C. 2
D. 4
，利用正弦定理得
，所以
，故选 C．
，所 ，又
9.数列 满足：
，若数列
是等比数列，则 的值是（ ）
属于基础题型.
18.解关于 的不等式 【答案】见解析. 【解析】 【分析】 将不等式变为 同取值范围下的解集. 【详解】 ①当 时，
的 ；根据二次项系数为零、开口方向、实根个数与大小分别讨论 不
②当 时，
③当
时，
④当
时，
⑤当
时，
【点睛】本题考查含参数不等式的求解问题，要通过二次项系数、开口方向、实根个数和大小 确定参数不同取值下的解集.
本题正确选项： 【点睛】本题考查不等式的性质，可以通过特殊值的方式排除得到结果，也可以利用性质直接 证得结论.
3.已知
，则 的大小关系是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
通过作差得到 ，根据判别式 和开口方向可知
，从而得到结果.
【详解】
，即
本题正确选项：
【点睛】本题考查作差法判断大小问题，关键是通过作差得到二次函数，根据判别式和开口方
由正弦定理得：
【又
（2）由正弦定理得：
则
，
又 为锐角三角形
，
【点睛】本题考查利用正弦定理化简边角关系式、边长范围的求解问题，涉及到向量共线的知 识和三角函数值域的求解，关键是能够将边长的范围通过正弦定理变为角度问题，通过三角函
数的知识进行化简求值.
21.在 中，角 所对的边是 ，若
（1）求 的值；
与
共线.
（1）求角 的大小；
（2）若
，求
的取值范围
【答案】（1） ；
（2）
.
【解析】
【分析】
（1）根据向量共线得到边角关系式，利用正弦定理和两角和差公式可求得 ，进而得到 ；
（2）根据正弦定理可得：
，从而可化简为
；根据锐角三角形求得 的范围，进而求得三角函数的范围，即可得 的
范围.
详解】（1） 与 共线
5.设等比数列 前 项和为 ，若
，则 （ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】B
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【解析】
【分析】
根据等比数列性质可得 ，
，
成等比数列；假设 ，利用等比数列定义可求得
，从而可求得 ，进而得到结果.
【详解】由等比数列前 项和性质可知： ， ， 成等比数列
设
，则
，即
本题正确选项： 【点睛】本题考查等比数列性质的应用，关键是明确数列
本题正确结果： 【点睛】本题考查数列求和的问题，关键是能够通过递推公式得到数列 用分组求和的方式求得结果.
的特点，从而可采
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.）
17.已知等差数列 前 项和为 ，等比数列 前 项和为 ，且满足
（1）求数列 （2）若
及数列 的通项公式； ，若数列 前 项和为 ，求
只有一项是符合题目要求的.
1.关于 的不等式
的解集是
，则关于 的不等式
的解集是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A 【解析】 【分析】
由已知不等式的解集可知 且 ；从而可解得
的根，根据二次函数图象可
得所求不等式的解集.
【详解】由
的解集为
可知： 且
令
，解得：
，
解集为：
本题正确选项：
【点睛】本题考查一元二次不等式的求解问题，关键是能够通过一次不等式的解集确定方程的
依然成等比数列，
进而可通过等比数列定义推得结果.
6.已知数列 是由正数组成的等比数列， 为其前 项和.已知
，则 ( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C 【解析】 【分析】 将已知条件化成等比数列基本量的形式，构成 和 的方程，解方程求得基本量；再利用等比数 列求和公式求得结果.
【详解】由等比数列性质可得：
书写, 字体工整,字迹清楚；
（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、
试题卷上答题无效；
（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
第Ⅰ卷（选择题共 60 分）
一.选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，
A. 1
B.
C.
D.
【答案】B 【解析】 【分析】
根据等比数列的定义，可知
，根据式子恒成立，可知对应项系数相同，从
而求得结果.
【详解】数列
为等比数列
即：
上式恒成立，可知：
本题正确选项： 【点睛】本题考查利用等比数列的定义求解参数问题，关键是能够通过对应项系数相同求解出 结果.
10.已知数列 ：
A.
B.
根和二次函数的开口方向.
2.若 ，则下列不等式成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D 【解析】 【分析】 通过特殊值可依次排除
选项；根据不等式的性质可知 正确.
【详解】 选项：当 ，
时，
，可知 错误；
选项：当 选项：当
时， ，
，可知 错误；
时，
，可知 错误；
选项：
，
，由不等式性质可得：
，可知 正确.
19.已知等差数列 ，等比数列 ，满足
（1）求数列 （2）设
及数列 的通项公式； ，求数列 的前 项和为
【答案】（1）
；
，且
（2）
.
【解析】 【分析】 （1）将已知条件化为基本量的形式，分别求得公差 和公比 ，从而根据等差、等比数列通项公 式求得结果；（2）由（1）可得 ，从而可根据错位相减法求得 .
13.已知数列 前 项和为 ，且
，则 _______
【答案】 .
【解析】
【分析】
当 时，
求得结果，经验证 满足此结果，从而可得 .
【详解】当 时，
当且
时，
综上所述：
，
本题正确结果：
【点睛】本题考查数列通项公式的求解，关键是利用
求得结果，一定要注意验证首
项.
14.设
，向量
【答案】
【解析】
由题意可得：
哈尔滨市第六中学 2018-2019 学年度下学期期中考试
高一数学试卷
考试说明：本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150
分，考试时间 120 分钟．
（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；
（2）选择题必须使用 2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔
又 是由正数组成的等比数列
且
， 本题正确选项： 【点睛】本题考查等比数列求和问题，关键是能够通过已知条件构成关于等比数列基本量的方 程，求解得到首项和公比.
7.已知菱形 的边长为 ，
A.
B.
【答案】D 【解析】 试题分析：由题意得，设
考点：向量的数量积的运算.
，则
C.
D.
，根据向量的平行四边形法则和三角形法则，可知 ，故选 D.
（2）若点 为 的中点，且 【答案】（1） ； （2）2. 【解析】 【分析】
，求 的面积
（1）根据同角三角函数和三角形内角和关系可求得
，根据正弦定理可得
，从
而求得结果；（2）将 延长到 ，使得
，从而可构成平行四边形；在 中利用余弦
定理构造关于 的方程，利用（1）中 关系可求解出 ；代入三角形面积公式求得结果.