两个角动量的耦合

[Jˆ2, Jˆ22] 0
（3）
[ Jˆ
z
,
Jˆ12
]

[
Jˆ z
,
Jˆ
2 2
]

0
[Jˆz , Jˆ12 ] [Jˆ1z Jˆ2z , Jˆ12] [Jˆ1z , Jˆ12 ] [Jˆ2z , Jˆ12] 0
[Jˆz , Jˆ22] 0
（4）
[ Jˆ12
,
Jˆ
2 2
Jˆ1 Jˆ1 i Jˆ1
Jˆ2 Jˆ2 i Jˆ2
[Jˆ12, Jˆ1 ] 0
[Jˆ22, Jˆ2 ] 0 ( x, y, z)
由于 和Jˆ1 属J于ˆ2 不同子体系，所以相互对易，即
[Jˆ1, Jˆ2 ] 0 或
[Jˆ1 , Jˆ2 ] 0 (, x, y, z)
或
[Jˆx , Jˆy ] [Jˆ1x Jˆ2x , Jˆ1y Jˆ2y ] [Jˆ1x , Jˆ1y ] [Jˆ2x , Jˆ2y ]
i Jˆ1z i Jˆ2z i Jˆz
即 Jˆ满足角动量的一般定义。
注意： Jˆ1 不 J是ˆ2 角动量。
(Jˆ1 Jˆ2 ) (Jˆ1 Jˆ2 ) Jˆ1 Jˆ1 Jˆ1 Jˆ2 Jˆ2 Jˆ1 Jˆ2 Jˆ2 Jˆ1 Jˆ1 Jˆ2 Jˆ2 i Jˆ1 i Jˆ2 i (Jˆ1 Jˆ2 ) i (Jˆ1 Jˆ2 )
§7-4 两个角动量的耦合
两个角动量（磁矩）发生耦合，体系便出现附加能量，在此情况 下，可以证明角动量为守恒量。核壳层结构、原子光谱的精细结构、 复杂塞曼效应都必须由角动量耦合才能得到合理解释。
一、两个角动量的相加（耦合）
考虑由两个不同子体系构成的量子体系。设两个子体系的角动量
分别为 和Jˆ1 ，它Jˆ2 们满足
j1m1 j2m2
Jˆ2
z

m2

三、耦合表象与无耦合表象的关系
1．表象变换
耦合表象的基矢可以用无耦合表象的基矢表示出来，即
j1
j2
j1 j2 jm
j1m1 j2m2
m1 j1 m2 j2
j1m1 j2m2 j1 j2 jm
j1
j2

j1m1 j2m2 j1 j2 jm
Jˆ 2
Jˆz Jˆ12

j1 j2 jm

j( j 1) 2
m

j1( j1 1)
2
j1 j2 jm
Jˆ22

j2 ( j2 1) 2
Jˆ12 Jˆ1z Jˆ22

j1m1 j2m2

j1( j1 1) m1
j2 ( j2 1)2 2 来自m1 j1 m2 j2
j1m1 j2m2
展开系数 j1m1 j2m2 j1 j2 jm 称为矢量耦合系数或克来布希-高登系数 （Clebsch—Gorden）系数，简称C-G系数。
因为
[Jˆz , Jˆ1z ] [Jˆ1z , Jˆ1z ] [Jˆ2z , Jˆ1z ] 0
所以 Jˆ、z Jˆ有1z 共同本征矢，因此
定义：体系的总角动量
Jˆ Jˆ1 Jˆ2
则 Jˆ Jˆ (Jˆ1 Jˆ2 ) (Jˆ1 Jˆ2 ) Jˆ1 Jˆ1 Jˆ1 Jˆ2 Jˆ2 Jˆ1 Jˆ2 Jˆ2

Jˆ1 Jˆ2 Jˆ2 Jˆ1
Jˆ1 Jˆ1 Jˆ2 Jˆ2 i Jˆ1 i Jˆ2 i (Jˆ1 Jˆ2 ) i Jˆ
]

0
综上， (Jˆ2, Jˆz , Jˆ是12, 彼Jˆ22此) 对易的，它们了组成第一套力学量完全集，
其共同本征矢
组成了j1 正j2 j交m归一完备基矢组。
2． 、Jˆ12 、Jˆ1z、Jˆ22 彼Jˆ此2z 对易
(Jˆ12, Jˆ1z组, Jˆ22成, Jˆ了2z )第 二 套 力 学 量 完 全 集 ， 它 们 的 共 同 本 征 矢
m2
2．量子数 和j 、j1的关j2 系
（1） jmax j1 j2 给定 、j1 ，j2则
取m1值： 取m2值： 取m值：
j1, j1 1, , j1 j2 , j2 1, , j2 j, j 1,, j
因为 m m1 m2 所以
最大值 m1max j1 最大值 m2max j2 最大值 mmax jmax j mmax m1max m2 max 于是
Jˆz j1m1 j2m2 (Jˆ1z Jˆ2z ) j1m1 j2m2 (m1 m2 ) j1m1 j2m2
即 Jˆ的z 本征值为 (m1 ，m2所) 以
m m1 m2
则
j1 j2 jm j1, m m2, j2, m2 j1, m m2, j2, m2 j1 j2 jm
组成了j1m正1 交j2m归2 一完j1m备1 基j2m矢2 组。
3．耦合表象和无耦合表象
耦合表象：以 (Jˆ2, Jˆ的z , Jˆ共12,同Jˆ22本) 征矢
为基矢j1 j的2 jm表象；
无耦合表象：以 (Jˆ12, Jˆ1z的, Jˆ共22, J同ˆ2z本) 征矢
为基矢j1m的1 j2表m2象。
二、角动量算符之间的的对易关系
1． 、Jˆ 2 、Jˆz 、Jˆ12彼Jˆ此22 对易
Jˆ2 Jˆ12 Jˆ22 2Jˆ1 Jˆ2
（1） [Jˆ 2 , Jˆz ] 0
Jˆz Jˆ1z Jˆ2z
[Jˆ2, Jˆz ] [Jˆx2 Jˆy2 Jˆz2, Jˆz ] [Jˆx2, Jˆz ] [Jˆy2, Jˆz ]
Jˆx[Jˆx, Jˆz ] [Jˆx, Jˆz ]Jˆx Jˆy[Jˆy , Jˆz ] [Jˆy , Jˆz ]Jˆy
i JˆxJˆy i Jˆy Jˆx i Jˆy Jˆx i JˆxJˆy 0
（2） [Jˆ2, Jˆ12] [Jˆ2, Jˆ22] 0 [Jˆ2, Jˆ12 ] [Jˆ12, Jˆ12 ] [Jˆ22, Jˆ12 ] 2[Jˆ1 Jˆ2, Jˆ12 ] 0